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2027届高二年级10月考试
数学试卷 (B)
考试时间：2025年10月9日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题
卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将答题卡上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知复数 z满足 i2027 z 1 2i ，则复数 z在复平面对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知两单位向量 e ,e 的夹角为 ，若OP 3e OP 1 2 3 1
2e2 ，则
A． 19 B． 17 C． 10 D． 7
3. 已知 l,m,n是空间中三条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若m l ， n l，则m / /n
B．若m ， n ， l m， l n，则 l
C．若m ， n ，m / / ， n / / ，则 / /
D．若 ， m， n ， n m，则 n
1
4. 如图，三棱锥O ABC 中，OM OA， BN CN ，点G为MN 的中点，记
3 OA a
，OB b，

OC c，则OG
1 1 1
A． a b c
1 a 1 1B． b c
4 4 6 6 6 4
1 1 1 1 1 1
C． a b c D． a b c
6 4 4 4 6 6
高二10月数学试卷B 第1页 共4页
5. 某圆锥的底面半径与高之比为 3: 4，其内切球与圆锥的体积之比为
3 9 15 21
A． B． C． D．
8 32 64 128

6. 在空间直角坐标系中，经过点 P0 (x0 , y0 , z0 )，且以 u (a,b,c)(abc 0)为法向量的平面 的方
程为 a(x x0 ) b(y y0 ) c(z z0 ) 0 . 若平面 的方程化简为 x 2y z 3，直线 l的方向向
量为 (1, 1,1)，则直线 l与平面 的所成角的正弦值为
A 3 B 6 C 7 D 2． ． ． ．
3 3 3 3
7. 某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有 6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17 .
若去掉最高分 90和最低分 78后，选手甲得分的方差变为
A． 6.5 B． 7.5 C．8.5 D． 9.5

8. 已知 ABC 满足 2CA CB 5BA BC 3AB AC ，则 cos A的最小值为
1 2
A B C 10 3． ． ． D．
3 5 5 3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 A,B为随机事件， P(A) 0.3， P(B) 0.2，则下列结论正确的有
A．若 A,B为互斥事件，则 P(A B) 0.5 B．若 A,B为互斥事件，则 P(A B) 0.5
C．若 A,B相互独立，则 P(AB) 0.24 D．若 A,B相互独立，则 P(A B) 0.44
10. 已知OA, OB是平面内两个夹角为120°的单位向量，点C在以O为圆心的AB上运动，若
OC = xOA+yOB (x, y∈R).下列说法正确的有
A. 当C位于AB中点时，x=y=1
B. 当C位于AB中点时，x+y的值最大
C. OC在OA 1上的投影向量的模的取值范围为[ 2 , 1]
D. OC (OA OB) 3 3的取值范围为[ 2 , 2 ]
11. 如图，在正方体中 ABCD A1B1C1D1， AB 1，M 为棱 AB上的动点，下面说法正确的是
A 3． D1M 与平面 B1AC 所成角的正弦值的范围为 [ ,1]3
B．三棱锥M DCB
1
1的体积为 6
C．若平面 / /平面 B1AC
3 3
，则平面 截正方体的面积可能为
4
19
D．当M 是 AB的中点时，三棱锥M ACB1外接球的表面积为 4
高二10月数学试卷B 第2页 共4页
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知直线 l的方向向量为 a (1,1,2)，平面 的法向量为 n (2,t 1,4)，若直线 l垂直平面 ，
则 t __________.
13. 将号码为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中

摸出一个小球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为 b，m (a, 2,1)，
n (1,b,4) m n ，则事件“ 与 夹角为锐角”发生的概率为 __________.
14. 如图，六面体 SABCP由两个三棱锥 S ABC和 P ABC拼接而成，其中 SA SB SC 2，

ASC ASB ，
3 BC PA 2 2
， PB PC 2 3 ，
F 是 BS 的中点，则异面直线 PF 与 AC所成的角余弦值为
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
（1）证明：BD1//平面ACE；
（2）求三棱锥D1 AEC的体积．
16.（15分）
如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA 平面
ABCD，且 PA AB 2，动点M ,N 分别在线段 PB和 AC上运动
（不含端点），且 PM AN .
（1）证明：MN / /平面 PAD .
1
（2）当 PM PB时，求点 P到平面DMN 的距离.
3
17.（15分）
如图，在 ABC 中， AB 2， BC 3， AC 7，D是 BC的
中点， E是 AC上靠近 A的三等分点， AD与 BE 相交于点 P .
（1）求 AD的长；
（2）求 DPE 的余弦值.
高二10月数学试卷B 第3页 共4页
18.（17分）
为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取 40名学生参加考核，核成绩的频
率分布直方图如图所示：
（1）由频率分布直方图，求出图中 t的值，并估计考核
得分的上四分位数；
（2）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平
的教练进行授课. 现采用分层抽样的方法（样本量按比例分
配），从得分在 [70,90)内的学生中抽取 5人，再从中挑出两
人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率；
（3）现有体育成绩在 90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考
试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 A,B,C,D,E共五个
等级，若两科笔试成绩均为 A，则直接参加国庆营；若一科成绩为 A，另一科成绩不低于C，则
要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加. 若两人考试互不影响，且甲在每科笔
1 1 3 2 3
试中取得 A,B,C,D,E 五个等级的概率分别是 , , , , ；乙在每科笔试中取得 A,B,C,D,E 五个
3 2 4 3 4
1 1 1 2 3 1
等级的概率分别是 , , , , ，甲、乙面试通过的概率都为 ，求甲、乙能同时参加国庆营的
2 3 3 3 4 2
概率.
19.（17分）
如图①，点 A,B分别在 x轴正半轴和 y轴正半轴上运动，且 AB 4，以 AB为边向外作 ABC ，
使得 ABC 为等边三角形，M 是 AC的中点.
（1）求OC的最大值；
（2）当点 A运动到 (2,0)时，将 ABC 沿 AB折叠至 ABD，如图②.
①当OD 2 2 时，求平面OAB与平面 ABD夹角的余弦值；
3
②当OD为何值时，直线OM 与平面 ABD的夹角正弦值为 ？
4
高二10月数学试卷B 第4页 共4页2027届高二年级10月考试
数学B试卷评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D C A D B C ACD ABD BCD
5
12. 3 13. 14. 15
8 30
15.解：（1）证明：连接 交 于 ，连接 ， ························ 2分
因为 为 1的中点， ······················· 4分
则 是△ 1的中位线，所以 // 1， ······················· 6分
又因为 平面 ，且 1 平面 ， ······················· 8分
所以 1//平面 ； ······················ 9分
(2) ∵ 为 1的中点，
1
则 △ 1 = 2 1 =
1
2 × 1 × 2 = 1， ····················· 10分
又在正方体中， 到平面 1 的距离为 ， ························· 11分
所以 1 =
1
1 = 3 △ 1 =
1
3 × 1 × 2 =
2
3． ························ 13分
16.（1）由 PA 平面 ABCD得 PA AB，PA AD . 又四边形 ABCD为正方形，且 PA AB 2，
则 AB AD， PBA

BPA BAC . ························ 2分
4
如图，以 AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
不妨设 PM AN 2a(0 a 2)，

则M (a,0,2 a) ， N (a,a,0)，所以MN (0,a,a 2) .
又平面 PAD的一个法向量为 (1,0,0)，

所以MN m 0，即证MN / /平面 PAD . ··············· 6分
法二：过点M ,N 分别作 PA,AD的垂线构造平行四边形，借助线
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面平行的判定定理证明;
法三：过点M 作 AB的垂线，垂足为Q，借助相似平行先证平面QMN / /平面 PAD，再用面
面平行的性质定理得证. 以上均给分.
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1 2 4
（2）当 PM PB时，由（1）可得 P(0,0,2)，M ( ,0, )
2
， N ( ,
2 ,0)，D(0,2,0) .
3 3 3 3 3
2
所以 DM ( , 2,
4)，DN (
2 , 4 ,0)，DP (0, 2,2) . · ···················· 9分
3 3 3 3
2
n DM 0 x 2y
4
z 0

DMN n (x, y, z) 3 3设平面 的法向量 ，则 ，即 .
n DN 0 2 x 4 y 0
3 3

令 y 2，则 x 4，代入解得 z 1，即平面 DMN 的一个法向量 n (4，2，1) . ······· 11分

DP n 2 2 2 1 2 2 21
点 P到平面DMN 的距离为 d . ···················· 15分
n 42 22 12 21 21
17. （1）在 ABC 中，由余弦定理得
AB2 BC 2 AC 2cos ABC 4 9 7 1 . ························ 2分
2AB BC 2 2 3 2
3
又 D是 BC的中点，则 BD .
2
9 3 1 13
在 ABD 2 2 2中，由余弦定理得 AD AB BD 2AB BD cos ABC 4 2 2 ，
4 2 2 4
所以 AD 13 . ································· 5分
2
补充方法二：

（2）由题意得， AD BD
1
BA BC BA ， ································· 7分
2
1 1 BE BA AC BA (BC BA) 2 1 BA BC ，· ·································· 9分
3 3 3 3
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1 2 2
所以 AD BE BC
2 BA 7 ， ··································11分
6 3 6
2 1 4 2 4 1 2BE ( BA BC)2 BA BA BC BC 37 ， ····················· 13分
3 3 9 9 9 3

则 cos AD,BE
AD BE 7 481
7 481
AD BE 481 ，即 DPE 的余弦值为 . ·············· 15分 481
18. （1）由题意得，10 (0.01 0.015 0.02 t 0.025) 1 ，解得 t 0.03 .
考核得分的上四分位数即第 75百分位数，从直方图可知，上四分位数为 90 . ········ 4分
（2）按分层抽样，得分在 [70,80)的有 2人，记为 a,b；
得分在 [80,90)的有 3人，记为 A,B,C . ··································· 5分
从 5人中抽取两人进行测试，
样本空间为 {(a,b), (a, A), (a,B), (a,C), (b, A), (b,B), (b,C), (A,B), (A,C), (B,C) }，
则 n( ) 10； ··································· 7分
记“至少有一人得分不低于80分”为事件M ，
则M {(a,A), (a,B), (a,C), (b,A), (b,B), (b,C), (A,B), (A,C), (B,C)} ，
即 n(M ) 9， ··································· 8分
因此 P(M )
n(M ) 9

n( ) 10 . ··································· 9分
1
法二：采用间接法，求其对立事件“两人均低于80分”的概率为 ，则“至少有一人得分不
10
9
低于80分”的概率为 ，同样给分.
10
（3）记甲能参加国庆营的概率为 P甲，乙能参加国庆营的概率为 P乙，
P 1 1 1由题意可得 甲 (
1 3 1
) (1 3) 1 1 19 ； ······················ 12分
3 3 3 2 4 2 2 4 3 2 36
P 1 1 1 1 1同理可得， 甲 ( )
1 (1 1 ) 1 1 7 . ······················ 15分
2 2 2 3 3 2 3 3 2 2 12
由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立，
19 7 133
则甲、乙能同时参加国庆营的概率为 P P甲 P乙 . ·················· 17分36 12 432
请老师们注意：评阅按上述细则来改。跟学生讲解时，请老师们跟学生们说明下，命题时数
据没有设计好，导致概率之和不为1，造成了理解上的困扰
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19. （1）不妨设 BAO

(0 )，则OA 4cos ， OAC .
2 3
2 2
在 OAC中，OC OA AC 2 2OA AC cos OAC 16cos2 16 32cos cos(

)
3
16cos2 16 32cos ( 1cos 3 sin ) 16 8 3sin 2 16 8 3
2 2
当

时取等，此时OC有最大值
4 16 8 3 2 2 3
. ·························· 4分

法二：取 AB的中点 F ，连接OF ,CF ，则 OC OF FC 2 2 3 ，当三点共线时取等.
补充：如果从三点共线得到最大值可以给2分

（2）①当点 A运动到 (2,0)时，OA 2， BAO .
3
过点O,C作 AB的垂线，垂足分别记为 E,F ，则OE 3 ,CF 2 3 , EF 1 .

在空间中，有OD OE EF FD . ·························· 6分
2 2 2 2
所以 OD (OE EF FD)2 OE EF FD 2OE FD 16 12cos OE,FD ，
2
解得 cos OE,FD ， ···································· 8分
3
2
所以平面OAB与平面 ABD夹角的余弦值为 . ····································· 9分
3
②在①的基础上，以 F 为空间原点建系，如下图.
记二面角O AB D的平面角为 (0 ) .
则 D(0, 2 3 cos , 2 3 sin ) ， A(2,0,0)，M (1, 3 cos , 3 sin ) ，O(1, 3,0) .
··································· 11分

所以 FA (2,0,0)， FD (0, 2 3 cos , 2 3 sin ) ，OM (0, 3 3 cos , 3 sin ) .

m FA 0
设平面 BAD的法向量为m (a,b,c)，则 ，
m FD 0

解得平面 BAD的一个法向量为m (0,sin ,cos ) . ·································· 13分

所以有 m 1， OM ( 3 3 cos )2 ( 3 sin )2 6 6cos 2 3sin

，
2

m OM sin ( 3 3 cos ) cos 3sin 3sin

m OM
cos m,OM 3sin 3即 cos m OM 2 4， ································· 15分2 3sin
2
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所以 cos 2cos2

1 1 ，则 cos OE,FD
1
. ································· 16分
2 8 8
2 2
由①得 OD OD (OE EF FD)2 16 12cos OE ,FD
29
，
2

则 OD 58 .· ··················································· 17分
2
选填部分试题解析
7. 不妨记剔除数据的平均数为 x，方差为 s21 ，剩余四个得分的平均数为 y，方差为 s
2
2 ，
x 90 78则 84 s2
1
， 1 [(90 84)
2 (78 84)2 ] 36 y 84 6 90 78， 84，
2 2 4
2s2 4s2
由混合数据的平均数与方差公式得 1 2 17，则 s2 7.5 .
6 6 2

8. 由 2CA CB 5BA BC 3AB AC 可得 2abcosC 5accosB 3bccos A，
a2 5 b2 c2 (a2 c2 b2 3由余弦定理得 ) (b2 c2 a2 ) ，整理得
2 2 5a
2 3b2 .
2 2 2 2 2 2
b2 c2 a2 b c 2 b ccos A 5 5 10 ，当且仅当10a
2 6b2 15c2 时取等.
2bc 2bc 2bc 5
10.【解答】解：由题意，以 为原点， 为 轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设 ( , )，0° ≤ ≤ 120°
可得 (1,0)， ( 1 3 ，2 , 2 )
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：当 为弧 的中点时， = 60°，∴ ( 1 32 , 2 )，
∴由 = (1,0) + ( 1 32 , 2 )得，
1 1 3 32 = 2， = ，∴ = 1， = 1，∴A正确，2 2
：由 = (1,0) + ( 12 ,
3 得，
2 )
12 = ，
3 3
2 = ，∴ 2 = 3 ，
∴ + = + 3 = 2 ( + 30°)，
∵ 0° ≤ ≤ 120°，∴ 30° ≤ + 30° ≤ 150°，
∴当 = 60°时， + 的最大值为2，此时 为弧 的中点，∴B正确，
：当 ⊥ 时， 在 上的投影向量的模为0，∴C错误，
：∵ ( ) = ( , ) ( 32 ,
3 3 3 ，
2 ) = 2 2 = 3cos( + 30°)
∵ 0° ≤ ≤ 120°，∴ 30° ≤ + 30° ≤ 150°，
∴ cos( + 30°) ∈ [ 3 , 3 ]，∴ ( ) ∈ [ 3 , 32 2 ]，∴D正确．2 2
故选： ．
11. D选项，不妨以 D为空间原点， DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
A(1,0,0) M (1, 1则 ， ,0) ，C(0,1,0)， B
2 1
(1,1,1) .
设球心的坐标为O(x, y, z)，则 OA OM OC OB1 ，
(x 1)2 y2 2 1即 z (x 1)2 (y )2 z2 x2 (y 1)2 z2 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 .
2
x 1 1解得 , y , z
3
2，所以 R OA
2 19 19 2，则表面积为 S 4 R .
4 4 4 16 4
第 7 页 共 8 页
14. 补体为平行六面体，建立空间直角坐标系，可得 S( 2,0,0)， B(0, 2,0)， A(0,0, 2)，

C(0, 2,0)，F ( 2 , 2 ,0)，P( 2 2,0, 2)，所以 AC (0, 2, 2) PF (5 2 , 2， , 2)，
2 2 2 2

AC PF
则异面直线 PF 与 AC所成的角余弦值为 cos AC,PF
15
.
AC PF 30
第 8 页 共 8 页

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