资源简介

辽宁省实验中学 2025---2026 学年度上学期 10 月份月考考试
高一数学试卷
考试时间：120 分钟 试题满分：150 分
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小
题 5 分，共 40 分）.
1、已知全集是 R，集合 A x 2 x 2 ,B x x 0或x 3 ，则 A CRB （ ）
A. 2,0 B. 2,3 C. 0,2 D. ,2 3,
2、已知集合M x x 2k 1,k Z ,N y y 4k 1,k Z ，则M N （ ）
A. B.M C.N D.Z
3、若“ 4a x a 3”是“ 3 x 2”的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是（ ）
A. 3 3 1 a B. 1 a C. 1 3 3 a D. 1 a
4 4 4 4
4 2、已知方程 x 2 p 1 x p2 p 0 x , x 2 2的两个实根为 1 2，若 x1 x2 12，则 p （ ）
A.4 B. 1 C. 1或 4 D.1
5、已知 a 0，b 0,且 a b ab，则 2a b的最小值为（ ）
A.2 2 2 B.6 C.3 2 2 D.3 2 2
6、已知集合 A , 1 3, ,B x ax 1 0 ，若 A B B ,则实数 a的取值范围
是（ ）
A. 1 1 1 ,1 B. ,1

C. , 1 0, D.

,0

0,1
3 3 3
7 x 2ax2、若关于 的不等式 4x ax 2有且只有两个整数解，则实数 a的取值范围是（ ）
A. 2 a 1 B. 2 2 a 1 C. a 1 D. 2 a 1
3 3 3 3
8、高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数 y x 称为高
斯函数，其中 x 表示不超过实数 x的最大整数，如 1.2 1, 1.2 2，则关于 x的不
等式 2x 1 x 2的解集为（ ）
A. 1,1 B. 1,0 0, 1 1 C.
3
,1
D. 1, 1 1 2 2 2
1
二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分，有选错的得 0 分）
9、下列命题正确的为（ ）
A.若 a b 0,c c c 0 2，则 B.若实数 a,b满足 a b 1，则 a b 1
a b
C.若 a b 0 b a 2，则 a b D.若bc ac2，则b a
a b
10、已知实数 a,b满足1 a b 5, 1 a b 3，则下列说法正确的是（ ）
A.a的取值范围为 0,4 B.b的取值范围为 1,3
C.3a 2b的取值范围为 6,14 D.2a 3b的取值范围为 1,13
11、已知正实数 a,b满足 ab 2a b 6，则下列说法正确的是（ ）
A.ab的最大值为 2 B.a b的最小值为 2 2 3
C.a 2b 1 1的最小值为3 D. 的最大值为1
a b
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12 2、命题： x 1, , x 2x 2 0的否定为____________
13 2、若关于 x的不等式 x bx c 1的解集为 1,2 ，则b c _________
4 3
14、已知 y x 0,2x y xy，则 的最小值为__________
2x 1 y 2
2
四、解答题（本大题共 5 个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15、（13 分）已知集合 A x
2x 9
1 ,B x 3m 4 x 2m 1
x 2
（1）若命题 p : x A, x B是真命题，求实数m的取值范围
（2）若命题 q : x A, x B是真命题，求实数m的取值范围
2x y 17
16、（15 分）（1）求解方程组 的解集
3x y 2
x2 y2 2
（2）求解方程组 的解集
y x 1
x3 y3 98
（3）求解方程组 的解集
x2 y xy
2 30
17、（15 分）（1）已知 x R 2，使得 ax ax 1 0恒成立，求实数 a的取值范围
2
（2）解关于 x不等式 ax ax 1 0
3
18、（17 分）（1）已知 c 1,M c 1 c ,N c c 1，试比较M 与N 大小，并
用分析法证明
x, y a
2 b2 a b 2
（2）已知正数 ，求证权方和不等式：
x y x y ，并说明取等条件
（3）已知 a,b R, a4求证： b4 2b2 1 2 2成立的充要条件是 a b 1
19、（17 分）已知二次函数 y ax2 bx c
（1）设 y 0的解集为 1,2 2，若存在 x R，使得不等式 x cx b 4 0成立，求
实数 a的取值集合
2
（2）设 y 0的解集为 c,a ，且 a,b,c 4, 1,1,3 ，求不等式 cx bx 2a 0的
解集
（3）若对任意 x R， 2x 2 y 2x2 2x 4恒成立，求 ab的最大值
4
一、 选择题
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.A 8.D
9.BCD 10.ABD 11.AC
二、 填空题
12. x ∈ (1,+∞), x2 + 2x 2 > 0
13.-2
√
14.2 3 3
4
三、 解答题
15. (13 分)
由题意：A = {x | 2 < x < 7} , B = {x | 3m+ 4 ≤ x ≤ 2m 1} 3m+ 4 ≤ 2
(1) 由 p : x ∈ A, x ∈ B 为真命题可知：A B, 故： 解得：m ≥ 42m 1 ≥ 7
(2) 由 q : x ∈ A, x ∈ B 为真命题可知：A ∩B = , 只需：2m 1 > 2，即 m > 3
2
16. (15 分)x = 3
(1) y = 11 √ √ x = 1 3 (2) 2√ 或y = 1 3
x = 1+ 3
2
√
y = 1+ 3
2 2 (x+ y)(x2 xy + y2) = 98 1(3) 原方程组化为： (x+ y)xy = 30 2
1 + 3 2 得：(x+ y)3 = 8, 即：( x+ y) = 2, 带入 2 式得：xy = 15,x = 5 x = 3
消 y 得：x(2 x) = 15, 解得： 或y = 3 y = 5
17. (15 分)
第 1 页 共 4 页
a > 0
(1)由题意： x ∈ R, ax2 ax+1 ≥ 0恒成立，则： 解得：0 < a ≤ 4 = a2 4a ≤ 0
(2) 1 当 a = 0 时，原不等式为：1 > 0，恒成立，此时解集为 R
当 a = 0 时： = a2 4a
2 当 a < 0 时： = a2 4a > 0 恒成立，此时，方程：ax2 ax+1 = 0 有两根:
√ √
1 a2 4a 1 a2x = + x = 4a1 2 , x < x2 2a 2 2a 1 2
√ √
此时：不等式解集为： 1 a2( + 4a 2, 1 a 4a)
2 2a 2 2a
3 当 a > 0 时：
(i) 当 < 0, 即 0 < a < 4 时，ax2 ax+ 1 > 0 恒成立，此时，不等式解集为 R
(ii) 当 = 0, 即 a = 4 时，不等式解集为：( ∞, 4) ∪ (4,+∞)
(iii) 当 > 0, 即 a > 4 时，方程：ax2 ax+ 1 = 0 有两根:
√ √
x = 1 a
2
+ 4a
2
1 x =
1 a 4a2 , x2 2a 2 2a 1 > x2
√ √
此时，不等式解集为： 2 2( ∞, 1 a 4a) ∪ ( 1 + a 4a ,+∞)
2 2a 2 2a
√ √
综上： 1 当 a < 0 时：不等式解集为：( 1 + a2 4a , 1 a2 4a)
2 2a 2 2a
2 当 0 ≤ a < 4 时，不等式解集为：R
3 当 a = 4 时，不等式解集为：( ∞, 4) ∪ (4,+∞)
√ √
4 当 a > 4 时，不等式解集为：( ∞, 1 a2 4a 2) ∪ ( 1 + a 4a ,+∞)
2 2a 2 2a
18. (17 分)
(1) 证明：M < N
√ √ √ √
= c+ 1 c < c c 1
= √ 1 √ < √ √1
√c+1+√c c+√c 1 √
= c+ c 1 < c+ 1 + c
√ √
= c 1 < c+ 1
√ √
由 c 1 < c+ 1 成立，故：M < N
2 2
(2) x2证明： + (y ≥ (x+y)a b a+)b
2= (a+ b) x + y
2
≥ 2(x+ y)
a b
= x2 + ay2 + bx2 + y2 ≥ x2 + y2 + 2xy
b a
第 2 页 共 4 页
= ay2 + bx2 ≥√2xyb a
因为 ay2 + bx2 ≥ 2 ay2 · bx2 = 2xy
b a b a
2 2 2
所以 x + y ≥ (x+y)
a b a+b
当且仅当 x = y , 即 bx = ay 时取等号
a b
(3) 证明: 因为 a2 + b2 + 1 = 0 ,
所以 a4 b4 2b2 = 1
a4 (b4 + 2b2 + 1) = 0
(a2 2) (b2 2+ 1) = 0
(a2+ b2 + 1) (a2 b2 1) = 0
a2 b2 1 = 0
a2 b2 = 1 .
所以 a4 b4 2b2 = 1 成立的充要条件是 a2 b2 = 1 .
19. (17 分)
( 1 ) 因为 ax2 + bx + c < 0 的解集是 (1,2), 所以 ax2 + bx + c = 0 的根为 1 和 2, 且
a > 0 .
所以 1 + 2 = b , 1× 2 = c , 故 b = 3a, c = 2a ,
a a
所以 x2 + cx+ b+ 4 < 0 , 即 x2 + 2ax+ 4 3a < 0 ,
因为存在实数 x , 使得不等式成立,
所以 = 4a2 4 (4 3a) > 0 , 解得 a > 1 或 a < 4 ,
又 a > 0 , 所以 a > 1 ,
所以实数 a 的取值集合为 (1,+∞) .
( 2 ) 因{为 ax2 + bx+ c < 0 的解集为 {x | c < x < a} , 且 {a, b, c} { 4, 1, 1, 3} ,
a > 0
所以 且 ax2 + bx+ c = a (x c) (x a) = ax2 a (a+ c)x+ a2c ,
{ a > c = 0 {
b = a (a+ c) a = 1
所以 , 故 c ∈ { 1, 4},
c = a2c b = (c+ 1)
若 c = 1 , 则 b = 0 ∈/ { 4, 1, 1, 3} , 不合题意;
若 c = 4 , 则 b = 3 , 此时 = b2 4ac = 9 4× ( 4) = 25 > 0 满足题意,
综上, a = 1, b = 3, c = 4,
所以不等式 cx2 + bx 2a < 0 , 即为 4x2 3x+ 2 > 0
由 = 9 32 = 23 < 0 , 知: 不等式的解集为 R .
第 3 页 共 4 页
(3) 令 x = 1 , 则 4 ≤ a+ b+ c ≤ 4 , 所以 a+ b+ c = 4 ,
对任意 x ∈ R, 2x+ 2 ≤ ax2 + bx+ c 恒成立,
所以 ax2 + (b 2)x+ c 2 ≥ 0 恒成立,
所以 2 2 2a > 0 且 = (b 2) 4a (c 2) = (a+ c 2) 4a (c 2) = (a c+ 2) ≤ 0
, 所以 c = a+ 2 , 此时 b = 2 2a, ( )
所以 ab = a (2 22a) = 2a (1 a) = 2 a 1 + 1 ≤ 1 ,
2 2 2
当且仅当 a = 1 , b = 1(, c = 5 时取等) 号,2 2
此时 2x2 2x+ 4 1x2 + x+ 5 = 3x2 3x+ 3 3 2= (x 1) ≥ 0 成立;
2 2 2 2 2
故 ab 的最大值为 1 .
2
第 4 页 共 4 页

展开更多......

收起↑