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4.2认识一次函数
基础对点练习
知识点一　一次函数与正比例函数的定义
1．下列函数：y＝－4x，y＝－3，y＝，y＝－1，y＝－x2＋1，y＝－2，y＝3，3x＋2y＝5．其中，y是x的一次函数的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．(2023·北京西城区校考)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．下列函数中是正比例函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝2(x－1) D．y＝
4．(2024·枣庄检测)若函数y＝(k＋2)x＋k2－4是正比例函数，则k的值为(　　)
A．0 B．2
C．±2 D．－2
5．若函数y＝(k－2)x|k|-1＋1是关于x的一次函数，则k＝ ．
知识点二　一次函数与正比例函数的应用
6．已知汽车油箱内有油50 L，每行驶100 km耗油10 L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(L)与行驶路程s(km)之间的关系式是(　　)
A．Q＝50－ B．Q＝50＋
C．Q＝50－ D．Q＝50＋
7．下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是(　　)
A．汽车以80 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系
B．圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系
C．某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，x h后水池有水y m3
D．有一个棱长为x的正方体，则它的表面积S与棱长x之间的函数关系
8．已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y(cm)，腰长为x(cm)，y与x之间的关系式为y＝20－2x，那么自变量x的取值范围是(　　)
A．x＞0 B．0＜x＜10
C．0＜x＜5 D．5＜x＜10
9．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是　　(　　)
A．正比例函数 B．一次函数
C．反比例函数 D．二次函数
10．为迎接在某市召开的省运会，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站60排，第一排40人，后面每一排都比前一排多站一人，则每排人数y与该排排数x之间的关系式为 ．(写出自变量的取值范围)
能力提升练习
11．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以C为起点、沿C→B→A的路径移动的动点，设点P经过的路径长为x，△APD的面积是y，则y与x之间的关系式为 ．
12．写出下列各题中y与x的关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数．
(1)某村耕地面积为106 m2，该村人均占有耕地面积y(m2)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度每升高1 km，气温下降6 ℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．
13．某商贩购进一批香蕉，到集贸市场零售，已知卖出的香蕉质量x(kg)与收入 y(元)的关系如表所示：
质量x/kg 1 2 3 4 5
收入y/元 2＋0.1 4＋0.2 6＋0.3 8＋0.4 10＋0.5
(1)求y与x之间的关系式，并指出y是否是x的一次函数；
(2)求当卖出的香蕉质量是2.5 kg时的收入．
14．(2024·潍坊检测)某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y(元)，用水量为x(m3)．
用水量/m3 收费/元
不超过10 m3 每立方米2.5元
超过10 m3 超过的部分每立方米3.5元
(1)写出每月用水量不超过10 m3和超过10 m3时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10 m3时，y＝ ；
②每月用水量超过10 m3时，y＝ ．
(2)若某户居民某月用水量为6 m3，则应交水费为多少？
(3)若某户居民某月交水费32元，求该户居民该月的用水量．
【创新运用】
15．某公司计划10月组织员工到外地旅游，人数为10～30人．甲、乙两个旅行社的服务质量相同，且价格都是每人500元．甲旅行社表示可先免去两位游客的旅游费用，其余人九折优惠；乙旅行社表示给予每位游客八折优惠．如果你是这次出游的组织者，当去多少人时两家旅行社的总费用相同？当去17人时，选哪家旅行社更优惠？请说明理由．
4.2认识一次函数
基础对点练习
知识点一　一次函数与正比例函数的定义
1．下列函数：y＝－4x，y＝－3，y＝，y＝－1，y＝－x2＋1，y＝－2，y＝3，3x＋2y＝5．其中，y是x的一次函数的有(　C　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．(2023·北京西城区校考)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　C　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．下列函数中是正比例函数的是(　D　)
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝2(x－1) D．y＝
4．(2024·枣庄检测)若函数y＝(k＋2)x＋k2－4是正比例函数，则k的值为(　B　)
A．0 B．2
C．±2 D．－2
5．若函数y＝(k－2)x|k|-1＋1是关于x的一次函数，则k＝ －2 ．
知识点二　一次函数与正比例函数的应用
6．已知汽车油箱内有油50 L，每行驶100 km耗油10 L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(L)与行驶路程s(km)之间的关系式是(　C　)
A．Q＝50－ B．Q＝50＋
C．Q＝50－ D．Q＝50＋
7．下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是(　A　)
A．汽车以80 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系
B．圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系
C．某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，x h后水池有水y m3
D．有一个棱长为x的正方体，则它的表面积S与棱长x之间的函数关系
8．已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y(cm)，腰长为x(cm)，y与x之间的关系式为y＝20－2x，那么自变量x的取值范围是(　D　)
A．x＞0 B．0＜x＜10
C．0＜x＜5 D．5＜x＜10
9．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是　　(　B　)
A．正比例函数 B．一次函数
C．反比例函数 D．二次函数
10．为迎接在某市召开的省运会，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站60排，第一排40人，后面每一排都比前一排多站一人，则每排人数y与该排排数x之间的关系式为 y＝x＋39(1≤x≤60，且x是整数) ．(写出自变量的取值范围)
能力提升练习
11．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以C为起点、沿C→B→A的路径移动的动点，设点P经过的路径长为x，△APD的面积是y，则y与x之间的关系式为 ．
12．写出下列各题中y与x的关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数．
(1)某村耕地面积为106 m2，该村人均占有耕地面积y(m2)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度每升高1 km，气温下降6 ℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．
解：(1)根据题意，得y＝，不是一次函数．
(2)根据题意，得28－6y＝x，则y＝－x＋，是一次函数．
13．某商贩购进一批香蕉，到集贸市场零售，已知卖出的香蕉质量x(kg)与收入 y(元)的关系如表所示：
质量x/kg 1 2 3 4 5
收入y/元 2＋0.1 4＋0.2 6＋0.3 8＋0.4 10＋0.5
(1)求y与x之间的关系式，并指出y是否是x的一次函数；
(2)求当卖出的香蕉质量是2.5 kg时的收入．
解：(1)y＝2x＋0.1x＝2.1x，y是x的一次函数．
(2)当x＝2.5时，y＝2.1×2.5＝5.25．
14．(2024·潍坊检测)某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y(元)，用水量为x(m3)．
用水量/m3 收费/元
不超过10 m3 每立方米2.5元
超过10 m3 超过的部分每立方米3.5元
(1)写出每月用水量不超过10 m3和超过10 m3时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10 m3时，y＝ 2.5x ；
②每月用水量超过10 m3时，y＝ 3.5x－10 ．
(2)若某户居民某月用水量为6 m3，则应交水费为多少？
(3)若某户居民某月交水费32元，求该户居民该月的用水量．
解：(2)当x＝6时，y＝2.5×6＝15．
答：应交水费15元．
(3)因为2.5×10＝25(元)，32＞25，
所以该户居民该月用水量超出10 m3．
当y＝32时，3.5x－10＝32，
解得x＝12．
答：该户居民该月的用水量为12 m3．
【创新运用】
15．某公司计划10月组织员工到外地旅游，人数为10～30人．甲、乙两个旅行社的服务质量相同，且价格都是每人500元．甲旅行社表示可先免去两位游客的旅游费用，其余人九折优惠；乙旅行社表示给予每位游客八折优惠．如果你是这次出游的组织者，当去多少人时两家旅行社的总费用相同？当去17人时，选哪家旅行社更优惠？请说明理由．
解：当去18人时，两家旅行社的总费用相同；当去17人时，选甲旅行社更优惠．理由如下：
设该公司组织x名员工到外地旅游，则选择甲旅行社所需总费用为[500×0.9(x－2)]元，选择乙旅行社所需总费用为(500×0.8x)元．
依题意，得500×0.9(x－2)＝500×0.8x，
解得x＝18．
当x＝17时，500×0.9(x－2)＝500×0.9×(17－2)＝6 750，500×0.8x＝500×0.8×17＝6 800，
因为6 750＜6 800，
所以当去17人时，选甲旅行社更优惠．
答：当去18人时，两家旅行社的总费用相同；当去17人时，选甲旅行社更优惠．
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