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4.4一次函数的应用
基础对点练习
知识点一　确定一次函数的表达式
1．一次函数的图象经过点(1，2)，且y的值随着x值的增大而减小，那么这个函数的表达式可能是(　　)
A．y＝－2x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－3x＋1 D．y＝3x－1
2．若A(0，8)，B(－4，0)，C(x，－4)三点在同一条直线上，则x的值是(　　)
A．6 B．－6
C．－2 D．2
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0，b为常数)的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 1 2a 2a＋3 …
则该一次函数的表达式为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2x＋1
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
4．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点A，则一次函数y＝kx＋b的表达式为 ．
5．已知A，B都是 x轴上的点，点A的坐标是(3，0)，且线段AB的长等于4，点C的坐标是(0，2)．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求直线BC的函数表达式．
知识点二　单个一次函数图象的应用
6．(2024·聊城检测)如图，直线y＝ax＋b过点A(0，3)和点B(－7，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　)
A．x＝0 B．x＝3
C．x＝－7 D．x＝－4
第6题图
7．如图，一个条形测力计不挂重物时长5 cm，挂上重物后，在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y(cm)关于所挂物体质量x(kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是(　　)
　
第7题图
A．15 B．18
C．20 D．33
8．一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数y＝0.5x＋1的图象与 的横坐标．
9．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B，求这个一次函数的表达式．
10．甲、乙两地的路程为290 km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地的路程为240 km时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x h后离甲地的路程为y km，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知休息前汽车行驶的速度为 80 km/h；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的关系式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达乙地？请说明理由．
知识点三　两个一次函数图象的应用
11．已知A，B两地相距60 km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3 h到达，乙骑摩托车，比甲迟1 h出发，行至30 km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶的时间x之间的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地(　　)
A．15 km B．16 km
C．44 km D．45 km
12．某市将市内一条污染多年的河流进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张金卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗为x棵，方案一所需费用y1＝k1x＋b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)k1＝ ，b1＝ ；
(2)求每棵树苗的原价；
(3)求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
(4)该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
能力提升练习
13．已知实数x，y满足＋(y－3)2＝0，则经过点(x，y)的直线表达式可能是(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝x－4
C．y＝2x＋1 D．y＝2x－2
14．(2024·济宁期末)甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升 60 min，气球所在位置距离地面的高度y(单位：m)与气球上升的时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝2x＋5
B．10 min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15 m时，上升时间为50 min
D．上升60 min时，乙气球距离地面的高度为40 m
15．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则14 min时的温度是 ℃．
16．A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 (填“l1”或“l2”)；甲的速度是 ，乙的速度是 ．
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km
【创新运用】
17．甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装，甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间共同完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲车间每小时加工服装件数为 件，这批服装的总件数为 件；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的关系式；
(3)求甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时，甲车间所用的时间．
4.4一次函数的应用
基础对点练习
知识点一　确定一次函数的表达式
1．一次函数的图象经过点(1，2)，且y的值随着x值的增大而减小，那么这个函数的表达式可能是(　A　)
A．y＝－2x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－3x＋1 D．y＝3x－1
2．若A(0，8)，B(－4，0)，C(x，－4)三点在同一条直线上，则x的值是(　B　)
A．6 B．－6
C．－2 D．2
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0，b为常数)的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 1 2a 2a＋3 …
则该一次函数的表达式为(　C　)
A．y＝x＋1 B．y＝2x＋1
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
4．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点A，则一次函数y＝kx＋b的表达式为 y＝2x－4 ．
5．已知A，B都是 x轴上的点，点A的坐标是(3，0)，且线段AB的长等于4，点C的坐标是(0，2)．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求直线BC的函数表达式．
解：(1)因为A，B都是x轴上的点，点A的坐标是(3，0)，且线段AB的长等于4，
所以B(7，0)或B(－1，0)．
(2)设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b．
因为直线经过C(0，2)，
所以直线BC的函数表达式为y＝kx＋2．
当点B的坐标为(7，0)时，0＝7k＋2，
解得k＝－．
当点B的坐标为(－1，0)时，0＝－k＋2，
解得k＝2．
所以直线BC的函数表达式为y＝－x＋2或y＝2x＋2．
知识点二　单个一次函数图象的应用
6．(2024·聊城检测)如图，直线y＝ax＋b过点A(0，3)和点B(－7，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　C　)
A．x＝0 B．x＝3
C．x＝－7 D．x＝－4
第6题图
7．如图，一个条形测力计不挂重物时长5 cm，挂上重物后，在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y(cm)关于所挂物体质量x(kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是(　C　)
　
第7题图
A．15 B．18
C．20 D．33
8．一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数y＝0.5x＋1的图象与 x轴交点 的横坐标．
9．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B，求这个一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
因为一次函数的图象平行于直线y＝x，
所以k＝．
又因为一次函数的图象经过点A(2，3)，
所以3＝×2＋b，解得b＝2．
所以这个一次函数的表达式为y＝x＋2．10．甲、乙两地的路程为290 km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地的路程为240 km时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x h后离甲地的路程为y km，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知休息前汽车行驶的速度为 80 km/h；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的关系式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达乙地？请说明理由．
解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80÷1＝80(km/h)．故答案为80．
(2)设直线DE所表示的y与x之间的关系式为y＝kx＋b．
因为休息后按原速继续前进，所以k＝80．所以y＝80x＋b．
又因为直线DE经过点(1.5，80)，所以1.5×80＋b＝80，解得b＝－40．所以y＝80x－40．当y＝240时，x＝3.5．
故线段DE所表示的y与x之间的关系式为y＝80x－40(1.5≤x≤3.5)．
(3)不能．理由如下：
接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为290÷80＋0.5＝4.125(h)，而8：00到12：00共有4 h，4.125>4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达乙地．
知识点三　两个一次函数图象的应用
11．已知A，B两地相距60 km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3 h到达，乙骑摩托车，比甲迟1 h出发，行至30 km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶的时间x之间的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地(　A　)
A．15 km B．16 km
C．44 km D．45 km
12．某市将市内一条污染多年的河流进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张金卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗为x棵，方案一所需费用y1＝k1x＋b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)k1＝ 21 ，b1＝ 3 000 ；
(2)求每棵树苗的原价；
(3)求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
(4)该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
解：(2)由(1)可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
所以每棵树苗的原价是21÷0.7＝30(元)．
(3)因为方案二中的树苗按九折优惠，
所以按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9＝27(元)．
因为方案二不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，即当x＝0时，y2＝0，
所以y2＝27x．
k2的实际意义：每棵树苗打九折后的价格．
(4)该市需要购买景观树树苗600棵，采用方案一购买所需费用更少．理由如下：
由(1)(3)可知，y1＝21x＋3 000，y2＝27x．
当x＝600时，
y1＝21×600＋3 000＝15 600，
y2＝27×600＝16 200．
因为15 600元＜16 200元，
所以该市需要购买景观树树苗600棵，采用方案一购买所需费用更少．
能力提升练习
13．已知实数x，y满足＋(y－3)2＝0，则经过点(x，y)的直线表达式可能是(　A　)
A．y＝x＋4 B．y＝x－4
C．y＝2x＋1 D．y＝2x－2
14．(2023·济宁期末)甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升 60 min，气球所在位置距离地面的高度y(单位：m)与气球上升的时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是(　C　)
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝2x＋5
B．10 min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15 m时，上升时间为50 min
D．上升60 min时，乙气球距离地面的高度为40 m
15．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则14 min时的温度是 52 ℃．
16．A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l2 (填“l1”或“l2”)；甲的速度是 30 km/h ，乙的速度是 20 km/h ．
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km
解：(2)由图可求出y1＝－30x＋60，
y2＝20x－10．
相遇前：由y1－y2＝5，得x＝1.3；
相遇后：由y2－y1＝5，得x＝1.5．
答：甲出发1.3 h或者1.5 h时，两人恰好相距5 km．
【创新运用】
17．甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装，甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间共同完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲车间每小时加工服装件数为 80 件，这批服装的总件数为 1 140 件；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的关系式；
(3)求甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时，甲车间所用的时间．
解：(2)乙车间的工作效率为120÷2＝60(件/时)，
所以可设乙车间维修设备后，乙车间加工服装的数量y与x之间的关系式为y＝60x＋b．
将x＝9，y＝420代入y＝60x＋b，得420＝60×9＋b,
解得b＝－120，即y＝60x－120．
将y＝120代入y＝60x－120，解得x＝4．
所以y＝60x－120(4≤x≤9)．
(3)设甲车间加工服装的数量y与x之间的关系式为y＝ax(a≠0)．
将点(9，720)代入y＝ax，得9a＝720，解得a＝80．
所以y＝80x(0≤x≤9)．
由题图，得当0≤x≤4时，甲、乙两车间不能共同加工完1 000件服装，所以4≤x≤9，
则80x＋(60x－120)＝1 000，解得x＝8．
所以甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时，甲车间所用的时间为8 h．
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