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第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
第1课时　倾斜角与斜率
学习 目标 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系． 3. 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
新知初探基础落实
＝一、 概念表述
1. 倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图，直线l的倾斜角是α，为锐角；直线l′的倾斜角是α′，为钝角．
2. 倾斜角的定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
3. 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
4. 倾斜角与斜率的关系：设直线的倾斜角为α，则直线的斜率k＝tan α．
注意：(1) 垂直于x轴的直线没有斜率；
(2) 斜率k>0时，倾斜角α∈；斜率k<0时，倾斜角α∈；斜率k＝0时，倾斜角α＝0；斜率k不存在时，倾斜角α＝.
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 任何一条直线都有倾斜角．(　√　)
(2) 不同的直线对应的倾斜角一定不相同．(　×　)
(3) 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　×　)
(4) 坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的倾斜角
例1　(1) 若直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1，则(　D　)
A. 直线l1的倾斜角为α＋45°
B. 直线l1的倾斜角为α－135°
C. 直线l1的倾斜角为135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，直线l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，直线l1的倾斜角为α－135°
【解析】 由题意知，如图(1)，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；如图(2)，当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
图(1)
图(2)
(例1(1)答)
(2) 已知直线l经过第二、四象限，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　D　)
A. B. (0，π)
C. D.
【解析】 直线倾斜角的取值范围是[0，π).因为直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是.
直线倾斜角的求法和取值范围：
(1) 主要根据定义来求直线的倾斜角，求解的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时还需要根据情况分类讨论．
(2) 直线倾斜角的取值范围为[0，π).
探究2　直线的斜率
例2　(1) (教材P54例1补充)过点P(－2，－2)，Q(2，2)的直线的倾斜角为．
【解析】 直线PQ的斜率kPQ＝＝1.设直线PQ的倾斜角为α，因为0≤α<π，所以α＝.
(2) 已知过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是(　A　)
A. 1 B. 4
C. 1或3 D. 1或4
【解析】 由题意知，过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得＝1，解得m＝1.
求直线斜率的注意点：
设直线经过两点(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2) 斜率公式与两点P1，P2的顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
变式2　(1) 若过两点A(m，2)，B(－m，－2m－1)的直线的倾斜角是60°，则实数m的值为．
【解析】 由题意知kAB＝＝＝tan 60°＝，解得m＝.
(2) 若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k的值为6．
【解析】 因为点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，所以该直线的斜率存在，且kBC＝kAB，即＝，解得k＝6.
探究3　斜率与倾斜角的应用
例3　已知点A(－3，4)，B(5，10)，直线l过点O(0，0)且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是(　B　)
A.
B. ∪[2，＋∞)
C. [2，＋∞)
D.
【解析】 如图，直线OB，OA的斜率分别为kOA＝－，kOB＝2，结合图形可知，直线l过点O(0，0)且与线段AB相交时，直线l的斜率kl∈∪[2，＋∞).
(例3答)
变式3　已知直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是∪[1，＋∞)．
【解析】 如图，设过点M且与x轴垂直的直线交线段PQ于点A，直线l与线段PQ交于点B.设直线l的斜率为k，由题意知kPM＝＝1，kQM＝＝－.当点B从点P移动到点A(不包括点A)的过程中，直线l的倾斜角为锐角，此时k≥kPM＝1；当点B从点A(不包括点A)移动到点Q的过程中，直线l的倾斜角为钝角，此时k≤kQM＝－.综上，直线l的斜率的取值范围是∪[1，＋∞).
(变式3答)
在研究直线的斜率k与倾斜角α的关系时，有时借助函数y＝tan x，x∈∪的图象可以顺利准确地得到答案．
随堂内化及时评价
1. 已知点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，则经过其中的两点所作的3条直线中，倾斜角为钝角的直线的条数为(　B　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 kAB＝＝，kBC＝＝－，kCA＝＝1.由kAB>0，kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角．
2. 已知点A(－3，2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角和一个方向向量分别为(　C　)
A. 30°，(1，－1) B. 45°，(－1，1)
C. 135°，(1，－1) D. 120°，(－1，1)
【解析】 因为直线过点A(－3，2)，B(0，－1)，所以kAB＝＝－1.设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－1，所以α＝135°.直线AB的一个方向向量为(1，k)＝(1，－1)，与之平行的非零向量都是直线AB的方向向量．
3. 若过A(3，y)，B(2，－4)两点的直线的倾斜角为45°，则实数y的值为(　D　)
A. － B.
C. 3 D. －3
【解析】 经过A(3，y)，B(2，－4)两点的直线的斜率k＝＝y＋4.因为该直线的倾斜角为45°，所以y＋4＝tan 45°＝1，解得y＝－3.
4. (多选)若直线l经过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率可以是(　ABC　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. －
【解析】 如图，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2].
(第4题答)
5. 若△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，点A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，则AB所在直线的斜率为－，AC所在直线的斜率为．
【解析】 如图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，所以直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，从而kAB＝tan 150°＝－，kAC＝tan 30°＝.
(第5题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列说法正确的是(　D　)
A. 一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B. 直线的倾斜角是锐角或钝角
C. 与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D. 每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
2. 经过A(－1，3)，B(1，9)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则实数k的值为(　D　)
A. － B.
C. －3 D. 3
【解析】 由点A(－1，3)，B(1，9)，可得直线AB的斜率kAB＝＝3.因为经过A，B两点的直线的一个方向向量为(1，k)，所以k＝3.
3. 若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　C　)
(第3题)
A. k1B. k2C. k1D. k2【解析】 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<04. 若过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是(　B　)
A. (0，2] B. (0，4)
C. [2，4) D. (0，2)∪(2，4)
【解析】 当m＝2时，直线的倾斜角为，满足题意；当m≠2时，直线AB的斜率为>tan ＝1或0或<0，解得2二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　CD　)
A. 直线的倾斜角是第一或第二象限角
B. 一条直线的倾斜角为－30°
C. 若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D. 任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
【解析】 对于A，B，因为直线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以A，B错误；对于C，由直线的倾斜角α的范围可知sin α≥0，故C正确；对于D，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，故D正确．
6. 若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率可能是(　ACD　)
A. －2 B.
C. 1 D.
【解析】 当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1.如图，要使直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线的斜率满足k≥1或k≤－.
　(第6题答)
三、 填空题
7. 已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－)(答案不唯一)．
【解析】 设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α.因为tan α＝＝，0°≤α<180°，所以α＝60°，2α＝120°，从而kAC＝＝tan 120°＝－，解得m＝2－3.直线AC的一个方向向量为(1，－).
8. 已知θ∈，试用含θ的式子表示经过P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)两点的直线l的倾斜角：－θ．
【解析】 设直线l的倾斜角为α.因为θ∈，所以sin θ≠0，tan α＝＝＝tan ，可得α＝－θ.
四、 解答题
9. (1) 已知直线l过A(－a，8)，B(2，2a)两点，且kAB＝12，求实数a的值．
【解答】 因为kAB＝12＝，所以a＝－.
(2) 已知过点A(5，m)，B(m，8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
【解答】 由＞1，得(m－5)＜0，解得510. 已知两点A(－1，2)，B(m，3).
(1) 求直线AB的斜率；
【解答】 当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；当m≠－1时，直线AB的斜率k＝＝.
(2) 若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
【解答】 当m＝－1时，α＝.当m≠－1时，k＝.因为m∈，且m≠－1，所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，从而 ≤－或≥，即tan α≤－或tan α≥，因此α∈∪.综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是.
11. (多选)已知△ABC为等边三角形，直线AB，AC的斜率分别为0，，则(　ABC　)
A. 直线BC的斜率为－
B. BC边上的高所在直线的斜率为
C. AB边上的高所在直线的倾斜角为
D. AC边上的高所在直线的倾斜角为
【解析】 因为直线AB，AC的斜率分别为0，，所以直线AB的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为60°.不妨将三角形的顶点A放到坐标原点，则点B在x轴上(如图所示)，∠BAC＝∠ABC＝，所以直线BC的倾斜角为π－∠CBA＝.A中，直线BC的斜率为tan ＝－，故A正确．B中，因为BC边上的高也为∠BAC的平分线，所以BC边上的高所在直线的斜率为tan ＝，故B正确．C中，AB边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确．D中，AC边上的高所在直线的倾斜角为＋＝，故D错误．
(第11题答)
12. 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　C　)
(第12题)
A. 0° B. 1°
C. 2° D. 3°
【解析】 因为O，O3分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小五角星的一个角．由五角星的一个角为36°，知∠BAO3＝18°.如图，过点O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°.所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.
(第12题答)
13. 已知坐标平面内三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1).
(1) 求直线AB的斜率和倾斜角；
【解答】 因为直线AB的斜率为＝1，所以直线AB的倾斜角为.
(2) 若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
【解答】 当点D在第一象限时，如图(1)，在 ABDC中，kCD＝kAB＝＝1，kBD＝kAC＝＝5.设D(x，y)，则解得故点D的坐标为(3，5).
图(1) 图(2)
(第13题答)
(3) 若E(m，n)是线段AC上一动点，求的取值范围．
【解答】 由题意得为直线BE的斜率．如图(2)，当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，为kBC＝＝－；当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，为kAB＝1.故直线BE的斜率的取值范围为，即的取值范围为.第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
第1课时　倾斜角与斜率
学习 目标 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系． 3. 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
新知初探基础落实
＝一、 概念表述
倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图，直线l的倾斜角是α，为锐角；直线l′的倾斜角是α′，为钝角．
2. 倾斜角的定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
3. 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝ ．
4. 倾斜角与斜率的关系：设直线的倾斜角为α，则直线的斜率k＝ ．
注意：(1) 垂直于x轴的直线没有斜率；
(2) 斜率k>0时，倾斜角α∈；斜率k<0时，倾斜角α∈；斜率k＝0时，倾斜角α＝0；斜率k不存在时，倾斜角α＝.
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 任何一条直线都有倾斜角．(　 　)
(2) 不同的直线对应的倾斜角一定不相同．(　 　)
(3) 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　 　)
(4) 坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的倾斜角
例1　(1) 若直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1，则(　 　)
A. 直线l1的倾斜角为α＋45°
B. 直线l1的倾斜角为α－135°
C. 直线l1的倾斜角为135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，直线l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，直线l1的倾斜角为α－135°
(2) 已知直线l经过第二、四象限，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　 　)
A. B. (0，π)
C. D.
直线倾斜角的求法和取值范围：
(1) 主要根据定义来求直线的倾斜角，求解的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时还需要根据情况分类讨论．
(2) 直线倾斜角的取值范围为[0，π).
探究2　直线的斜率
例2　(1) (教材P54例1补充)过点P(－2，－2)，Q(2，2)的直线的倾斜角为 ．
(2) 已知过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是(　 　)
A. 1 B. 4
C. 1或3 D. 1或4
求直线斜率的注意点：
设直线经过两点(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2) 斜率公式与两点P1，P2的顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
变式2　(1) 若过两点A(m，2)，B(－m，－2m－1)的直线的倾斜角是60°，则实数m的值为 ．
(2) 若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k的值为 ．
探究3　斜率与倾斜角的应用
例3　已知点A(－3，4)，B(5，10)，直线l过点O(0，0)且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 　)
A.
B. ∪[2，＋∞)
C. [2，＋∞)
D.
变式3　已知直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是 ．
在研究直线的斜率k与倾斜角α的关系时，有时借助函数y＝tan x，x∈∪的图象可以顺利准确地得到答案．
随堂内化及时评价
1. 已知点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，则经过其中的两点所作的3条直线中，倾斜角为钝角的直线的条数为(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. 已知点A(－3，2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角和一个方向向量分别为(　 　)
A. 30°，(1，－1) B. 45°，(－1，1)
C. 135°，(1，－1) D. 120°，(－1，1)
3. 若过A(3，y)，B(2，－4)两点的直线的倾斜角为45°，则实数y的值为(　 )
A. － B.
C. 3 D. －3
4. (多选)若直线l经过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率可以是(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. －
5. 若△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，点A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，则AB所在直线的斜率为 ，AC所在直线的斜率为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列说法正确的是(　 　)
A. 一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B. 直线的倾斜角是锐角或钝角
C. 与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D. 每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
2. 经过A(－1，3)，B(1，9)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则实数k的值为(　 　)
A. － B.
C. －3 D. 3
3. 若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　 　)
(第3题)
A. k1B. k2C. k1D. k24. 若过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，2] B. (0，4)
C. [2，4) D. (0，2)∪(2，4)
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　　)
A. 直线的倾斜角是第一或第二象限角
B. 一条直线的倾斜角为－30°
C. 若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D. 任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率可能是(　　)
A. －2 B.
C. 1 D.
三、 填空题
7. 已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为 ，直线AC的一个方向向量为 ．
8. 已知θ∈，试用含θ的式子表示经过P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)两点的直线l的倾斜角： ．
四、 解答题
9. (1) 已知直线l过A(－a，8)，B(2，2a)两点，且kAB＝12，求实数a的值．
(2) 已知过点A(5，m)，B(m，8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
10. 已知两点A(－1，2)，B(m，3).
(1) 求直线AB的斜率；
(2) 若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
11. (多选)已知△ABC为等边三角形，直线AB，AC的斜率分别为0，，则(　　)
A. 直线BC的斜率为－
B. BC边上的高所在直线的斜率为
C. AB边上的高所在直线的倾斜角为
D. AC边上的高所在直线的倾斜角为
12. 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　)
(第12题)
A. 0° B. 1°
C. 2° D. 3°
13. 已知坐标平面内三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1).
(1) 求直线AB的斜率和倾斜角；
(2) 若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
(3) 若E(m，n)是线段AC上一动点，求的取值范围．(共49张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
第1课时　倾斜角与斜率
学习 目标 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系．
3. 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_______与直线l_______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图，直线l的倾斜角是α，为锐角；直线l′的倾斜角是α′，为钝角．
正向
向上
2. 倾斜角的定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
3. 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝________．
tan α
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 任何一条直线都有倾斜角． (　　)
(2) 不同的直线对应的倾斜角一定不相同． (　　)
(3) 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　)
(4) 坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率． (　　)
√
×
×
√
典例精讲 能力初成
　　　(1) 若直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1，则 (　　)
A. 直线l1的倾斜角为α＋45°
B. 直线l1的倾斜角为α－135°
C. 直线l1的倾斜角为135°－α
D. 当0°≤α＜135°时，直线l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，直线l1的倾斜角为α－135°
1
直线的倾斜角
探究
1
由题意知，如图(1)，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
如图(2)，当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
【解析】
图(1)
图(2)
(2) 已知直线l经过第二、四象限，那么直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　)
【解析】
D
直线倾斜角的求法和取值范围：
(1) 主要根据定义来求直线的倾斜角，求解的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时还需要根据情况分类讨论．
(2) 直线倾斜角的取值范围为[0，π).
　　　(1) (教材P54例1补充)过点P(－2，－2)，Q(2，2)的直线的倾斜角为_____．
2
直线的斜率
【解析】
探究
2
(2) 已知过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是 (　　)
A. 1 B. 4
C. 1或3 D. 1或4
【解析】
A
求直线斜率的注意点：
设直线经过两点(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2) 斜率公式与两点P1，P2的顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
　　　　(1) 若过两点A(m，2)，B(－m，－2m－1)的直线的倾斜角是60°，则实数m
的值为_________．
【解析】
变式2
(2) 若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k的值为____．
【解析】
6
　　　已知点A(－3，4)，B(5，10)，直线l过点O(0，0)且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
3
斜率与倾斜角的应用
探究
3
【答案】B
【解析】
　　　　已知直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是_________________．
【解析】
变式3
当点B从点P移动到点A(不包括点A)的过程中，直线l的倾斜角为锐角，此时k≥kPM＝1；
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，则经过其中的两点所作的3条直线中，倾斜角为钝角的直线的条数为 (　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
B
【解析】
直线AB的一个方向向量为(1，k)＝(1，－1)，与之平行的非零向量都是直线AB的方向向量．
2. 已知点A(－3，2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角和一个方向向量分别为
(　　)
A. 30°，(1，－1) B. 45°，(－1，1)
C. 135°，(1，－1) D. 120°，(－1，1)
C
【解析】
3. 若过A(3，y)，B(2，－4)两点的直线的倾斜角为45°，则实数y的值为 (　　)
D
【解析】
4. (多选)若直线l经过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率可以是
(　　　)
ABC
【解析】
5. 若△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，点A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴
上，则AB所在直线的斜率为_______，AC所在直线的斜率为_____．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列说法正确的是 (　　)
A. 一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B. 直线的倾斜角是锐角或钝角
C. 与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D. 每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
D
2. 经过A(－1，3)，B(1，9)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则实数k的值为
(　　)
D
【解析】
3. 若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A. k1B. k2C. k1D. k2C
【解析】
设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0【解析】
B
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是 (　　)
A. 直线的倾斜角是第一或第二象限角
B. 一条直线的倾斜角为－30°
C. 若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D. 任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
CD
【解析】
对于A，B，因为直线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以A，B错误；
对于C，由直线的倾斜角α的范围可知sin α≥0，故C正确；
对于D，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，故D正确．
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【解析】
四、 解答题
9. (1) 已知直线l过A(－a，8)，B(2，2a)两点，且kAB＝12，求实数a的值．
【解答】
(2) 已知过点A(5，m)，B(m，8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
【解答】
10. 已知两点A(－1，2)，B(m，3).
(1) 求直线AB的斜率；
【解答】
【解答】
【解析】
【答案】ABC
12. 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为 (　　)
A. 0°
B. 1°
C. 2°
D. 3°
【解析】
因为O，O3分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小五角星的一个角．由五角星的一个角为36°，知∠BAO3＝18°.
如图，过点O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°.所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.
【答案】C
13. 已知坐标平面内三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1).
(1) 求直线AB的斜率和倾斜角；
【解答】
(2) 若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
【解答】
图(1)
【解答】
图(2)

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