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2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程
学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 2. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意：当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0．特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能运用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0．
2. 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意：(1) 截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数或0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(2) 斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)可以看成一条直线的斜截式方程．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) y轴所在直线的方程为y＝0.(　×　)
(2) 直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(　√　)
(3) 直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离．(　×　)
(4) 直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的点斜式方程
例1　(教材P60例1补充)根据下列条件，求直线的方程．
(1) 经过点A(2，5)，斜率是4；
【解答】 由点斜式方程可知所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
(2) 经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
【解答】 因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率k＝tan 45°＝1，从而直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即y＝x＋1.
(3) 经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
【解答】 因为直线与x轴平行，所以此直线的倾斜角为0°，斜率k＝0，从而直线的方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.
(4) 经过点D(1，1)，与x轴垂直．
【解答】 因为直线与x轴垂直，所以此直线的斜率不存在，从而不能用点斜式表示这条直线的方程．又直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x＝1.
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1) 求直线的点斜确定直线所过的定点(x0，y0)→确定直线的斜率k→写出直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0).
(2) 点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的除直线x＝x0外的所有直线．
探究2　直线的斜截式方程
例2　求满足下列条件的直线的方程．
(1) 斜率为2，在y轴上的截距为－1；
【解答】 由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线的方程为y＝2x－1.
(2) 倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；
【解答】 因为直线y＝x＋1的斜率为，所以其倾斜角为60°，从而所求直线的倾斜角为30°，k＝tan 30°＝.又b＝－2，所以直线的方程为y＝x－2.　
(3) 倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解答】 因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或－3，从而所求直线的方程为y＝x＋3或y＝x－3.
求直线的斜截式方程的策略
(1) 运用斜截式方程的前提是直线的斜率存在．
(2) 直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数k，b，因此要确定直线方程一般只需两个独立的条件．
变式2　(1) 已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　C　)
A. y＝－x－1 B. y＝－x＋1
C. y＝x－1 D. y＝x＋1
【解析】 因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝.又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2) 已知直线y＝kx＋4与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则实数k的值是(　D　)
A. ±3 B.
C. － D. ±
【解析】 因为直线y＝kx＋4能与两坐标轴围成三角形，所以k≠0.令x＝0，得y＝4，所以直线与y轴的交点的坐标为(0，4)；令y＝0，得x＝－，所以直线与x轴的交点的坐标为.所以直线y＝kx＋4与两坐标轴围成的三角形的面积为×4×＝6，解得k＝±.
探究3　直线斜截式方程的应用
例3　(教材P61例2补充)(1) 当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
【解答】 由题意可知kl1＝－1，kl2＝a2－2.因为l1∥l2，所以解得a＝－1，故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2) 当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解答】 由题意可知kl1＝2a－1，kl2＝4.因为l1⊥l2，所以4(2a－1)＝－1，解得a＝，故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
随堂内化及时评价
1. 已知直线的倾斜角为30°，过点(0，1)，则该直线的斜截式方程为(　A　)
A. y＝x＋1 B. y＝－x＋1
C. y＝x＋1 D. y＝－x＋1
【解析】 因为直线的倾斜角为30°，所以该直线的斜率k＝tan 30°＝.又直线过点(0，1)，所以该直线的斜截式方程为y＝x＋1.
2. 已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为(　A　)
A. y－3＝(x＋4)
B. y＋3＝(x－4)
C. y－3＝－(x＋4)
D. y＋3＝－(x－4)
【解析】 由直线l的一个方向向量为 n＝(2，3)，知直线l的斜率为.又直线l过点A(－4，3)，所以直线l的方程为y－3＝(x＋4).
3. 直线y＝k(x－1)(k∈R)可以表示(　D　)
A. 过点(1，0)的一切直线
B. 过点(－1，0)的一切直线
C. 过点(1，0)且除x轴外的一切直线
D. 过点(1，0)且除直线x＝1外的一切直线
4. (多选)若直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则该直线的斜率k和在y轴上的截距b满足的条件是(　BC　)
A. k>0 B. k<0
C. b<0 D. b>0
【解析】 由图可知k<0，b<0.
(第4题答)
5. 已知直线l的点斜式方程是y＋4＝－(x－2)，那么直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是2．
【解析】 因为直线l的点斜式方程是y＋4＝－(x－2)，其斜截式方程为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2.设直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率k＝－＝tan α.又0≤α<π，所以直线l的倾斜角α＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，那么此直线的方程为(　B　)
A. y＝－x－2 B. y＝x－2
C. y＝x＋2 D. y＝－x＋2
【解析】 因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且该直线过点(2，0)，从而该直线的方程为y＝x－2.
2. 已知直线l与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4，则直线l的斜截式方程是(　D　)
A. y＝x＋4 B. y＝2x＋4
C. y＝－2x＋4 D. y＝－x＋4
【解析】 因为直线l与直线y＝2x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b.又因为直线l在y轴上的截距为4，所以b＝4，从而直线l的斜截式方程为y＝－x＋4.
3. 在△ABC中，点A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线的方程是(　A　)
A. 2x＋y－7＝0 B. 2x－y－1＝0
C. x＋2y－8＝0 D. x－2y＋4＝0
【解析】 设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得kAB＝＝，所以直线l的斜率kl＝－2.又l过C(2，3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，整理可得2x＋y－7＝0.
4. 若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　B　)
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0
C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
【解析】 由图知k>0，b<0.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　BC　)
A. 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线
B. 若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C. 若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【解析】 对于A，方程k＝表示的直线不过点(－1，2)，与方程y－2＝k(x＋1)不表示同一条直线，故A错误．易知B，C正确．对于D，当直线的斜率不存在时，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误．
6. 下列说法正确的是(　ABC　)
A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B. 直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C. 过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3
【解析】 对于A，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，知直线的斜率k<0，截距b>0，所以点(k，b)在第二象限，故A正确；对于B，由y＝ax－3a＋2，得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)的坐标都满足方程，故B正确；对于C，由点斜式方程可知，过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，故C正确；对于D，由斜截式方程可知，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x＋3，故D错误．
三、 填空题
7. 与直线y＝x平行且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是y－3＝(x＋4)，斜截式方程是y＝x＋9．
【解析】 直线y＝x的斜率为，又所求直线过点(－4，3)，故所求直线的点斜式方程是y－3＝(x＋4)，斜截式方程是y＝x＋9.
8. 已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为．
【解析】 由题意知直线在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则解得k≥.
四、 解答题
9. 已知△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).
(1) 求边BC上的中线所在直线的方程；
【解答】 边BC的中点的坐标为＝(3，5)，则边BC上的中线所在直线的方程为y＝×(x－4)，即y＝－5x＋20.
(2) 求边BC上的高所在直线的方程；
【解答】 边BC所在直线的斜率为＝，则边BC上的高所在直线的斜率为－.又边BC上的高所在的直线过A(4，0)，则边BC上的高所在直线的方程为y＝－(x－4)，即y＝－x＋6.
(3) 求边BC的垂直平分线的方程．
【解答】 由(1)知边BC的中点的坐标为(3，5)，由(2)知边BC上的高所在直线的斜率为－，则边BC的垂直平分线的方程为y－5＝－(x－3)，即y＝－x＋.
10. 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问：m为何值时，l1与l2平行或垂直？
【解答】 当m＝0时，l1：4y－5＝0，l2：x－4＝0，l1与l2垂直．当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋.若l1∥l2，则有－＝－，且≠，解得m＝－.当l1⊥l2时，－·＝－1，m无解．故当m＝－时，l1与l2平行；当m＝0时，l1与l2垂直．
11. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　D　)
A B
C D
【解析】 对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故D正确．
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，那么△ABC的欧拉线方程为(　D　)
A. 2x－4y－3＝0 B. 2x＋4y＋3＝0
C. 4x－2y－3＝0 D. 2x＋4y－3＝0
【解析】 因为B(－1，0)，C(0，2)，所以线段BC的中点的坐标为，线段BC所在直线的斜率kBC＝2，从而线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－，即2x＋4y－3＝0.因为AB＝AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，从而△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.
13. 已知直线l经过点C(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O是坐标原点．
(1) 当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
【解答】 由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y－1＝k(x－2).由题意知k<0.令x＝0，得y＝－2k＋1；令y＝0，得x＝2－.所以S△OAB＝·(1－2k)·＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当k＝－时取等号，因此，当△OAB的面积最小时，直线l的方程为y＝－(x－2)＋1，即y＝－x＋2.
(2) 当CA·CB取最小值时，求直线l的方程，并求此最小值．
【解答】 由(1)知A，B(0，1－2k)，所以|CA|＝，|CB|＝，从而|CA|·|CB|＝＝2≥4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y＝－x＋3，|CA|·|CB|的最小值为4.2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程
学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 2. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 方程 由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式．
注意：当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为 ．特别地，x轴的方程是 ；当直线与y轴平行或重合时，不能运用点斜式方程，此时可将方程写成 .特别地，y轴的方程是 ．
2. 直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距．方程 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意：(1) 截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数或0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(2) 斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)可以看成一条直线的斜截式方程．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) y轴所在直线的方程为y＝0.(　 　)
(2) 直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(　 　)
(3) 直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离．(　 　)
(4) 直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的点斜式方程
例1　(教材P60例1补充)根据下列条件，求直线的方程．
(1) 经过点A(2，5)，斜率是4；
(2) 经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3) 经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4) 经过点D(1，1)，与x轴垂直．
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1) 求直线的点斜确定直线所过的定点(x0，y0)→确定直线的斜率k→写出直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0).
(2) 点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的除直线x＝x0外的所有直线．
探究2　直线的斜截式方程
例2　求满足下列条件的直线的方程．
(1) 斜率为2，在y轴上的截距为－1；
(2) 倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；
(3) 倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
求直线的斜截式方程的策略
(1) 运用斜截式方程的前提是直线的斜率存在．
(2) 直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数k，b，因此要确定直线方程一般只需两个独立的条件．
变式2　(1) 已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　 　)
A. y＝－x－1 B. y＝－x＋1
C. y＝x－1 D. y＝x＋1
(2) 已知直线y＝kx＋4与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则实数k的值是(　 　)
A. ±3 B.
C. － D. ±
探究3　直线斜截式方程的应用
例3　(教材P61例2补充)(1) 当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2) 当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
随堂内化及时评价
1. 已知直线的倾斜角为30°，过点(0，1)，则该直线的斜截式方程为(　 　)
A. y＝x＋1 B. y＝－x＋1
C. y＝x＋1 D. y＝－x＋1
2. 已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为(　 　)
A. y－3＝(x＋4)
B. y＋3＝(x－4)
C. y－3＝－(x＋4)
D. y＋3＝－(x－4)
直线y＝k(x－1)(k∈R)可以表示(　　)
A. 过点(1，0)的一切直线
B. 过点(－1，0)的一切直线
C. 过点(1，0)且除x轴外的一切直线
D. 过点(1，0)且除直线x＝1外的一切直线
4. (多选)若直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则该直线的斜率k和在y轴上的截距b满足的条件是(　 　)
A. k>0 B. k<0
C. b<0 D. b>0
5. 已知直线l的点斜式方程是y＋4＝－(x－2)，那么直线l的倾斜角是 ，在y轴上的截距是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，那么此直线的方程为(　 　)
A. y＝－x－2 B. y＝x－2
C. y＝x＋2 D. y＝－x＋2
2. 已知直线l与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4，则直线l的斜截式方程是(　 　)
A. y＝x＋4 B. y＝2x＋4
C. y＝－2x＋4 D. y＝－x＋4
3. 在△ABC中，点A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线的方程是(　 　)
A. 2x＋y－7＝0 B. 2x－y－1＝0
C. x＋2y－8＝0 D. x－2y＋4＝0
4. 若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　 　)
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0
C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　 　)
A. 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线
B. 若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C. 若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
6. 下列说法正确的是(　 　)
A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B. 直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C. 过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3
三、 填空题
7. 与直线y＝x平行且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是 ，斜截式方程是 ．
8. 已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为 ．
四、 解答题
9. 已知△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).
(1) 求边BC上的中线所在直线的方程；
(2) 求边BC上的高所在直线的方程；
(3) 求边BC的垂直平分线的方程．
10. 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问：m为何值时，l1与l2平行或垂直？
11. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　 　)
A B
C D
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，那么△ABC的欧拉线方程为(　 　)
A. 2x－4y－3＝0 B. 2x＋4y＋3＝0
C. 4x－2y－3＝0 D. 2x＋4y－3＝0
13. 已知直线l经过点C(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O是坐标原点．
(1) 当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当CA·CB取最小值时，求直线l的方程，并求此最小值．(共44张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程
学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．
2. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 方程__________________由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的_____________，简称点斜式．
注意：当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为________．特别地，x轴的方程是_______；当直线与y轴平行或重合时，不能运用点斜式方程，此时可将方程写成________.特别地，y轴的方程是_______．
y－y0＝k(x－x0)
点斜式方程
y＝y0
y＝0
x＝x0
x＝0
2. 直线l与y轴的交点(0，b)的__________叫做直线l在y轴上的截距．方程___________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意：(1) 截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数或0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(2) 斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)可以看成一条直线的斜截式方程．
纵坐标b
y＝kx＋b
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) y轴所在直线的方程为y＝0. (　　)
(2) 直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3). (　　)
(3) 直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离． (　　)
(4) 直线y＝kx－b在y轴上的截距为b. (　　)
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
　　　(教材P60例1补充)根据下列条件，求直线的方程．
(1) 经过点A(2，5)，斜率是4；
1
直线的点斜式方程
【解答】
由点斜式方程可知所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
探究
1
(2) 经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
【解答】
因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率k＝tan 45°＝1，从而直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即y＝x＋1.
(3) 经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
【解答】
因为直线与x轴平行，所以此直线的倾斜角为0°，斜率k＝0，从而直线的方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.
(4) 经过点D(1，1)，与x轴垂直．
【解答】
因为直线与x轴垂直，所以此直线的斜率不存在，从而不能用点斜式表示这条直线的方程．又直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x＝1.
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1) 求直线的点斜确定直线所过的定点(x0，y0)→确定直线的斜率k→写出直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0).
(2) 点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的除直线x＝x0外的所有直线．
　　　求满足下列条件的直线的方程．
(1) 斜率为2，在y轴上的截距为－1；
2
直线的斜截式方程
【解答】
由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线的方程为y＝2x－1.
探究
2
【解答】
(3) 倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解答】
求直线的斜截式方程的策略
(1) 运用斜截式方程的前提是直线的斜率存在．
(2) 直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数k，b，因此要确定直线方程一般只需两个独立的条件．
【解析】
变式2
C
【解析】
D
　　　(教材P61例2补充)(1) 当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
3
直线斜截式方程的应用
【解答】
探究
3
(2) 当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解答】
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知直线的倾斜角为30°，过点(0，1)，则该直线的斜截式方程为 (　　)
A
【解析】
2. 已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为
(　　)
A
3. 直线y＝k(x－1)(k∈R)可以表示 (　　)
A. 过点(1，0)的一切直线
B. 过点(－1，0)的一切直线
C. 过点(1，0)且除x轴外的一切直线
D. 过点(1，0)且除直线x＝1外的一切直线
D
【解析】
由图可知k<0，b<0.
4. (多选)若直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则该直线的斜率k和在y轴上的截距b满足的条件是 (　　)
A. k>0 B. k<0 C. b<0 D. b>0
BC
【解析】
2
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，那么此直线的方程为 (　　)
A. y＝－x－2 B. y＝x－2
C. y＝x＋2 D. y＝－x＋2
B
【解析】
因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝ tan 45°＝1，且该直线过点(2，0)，从而该直线的方程为y＝x－2.
2. 已知直线l与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4，则直线l的斜截式方程是
(　　)
D
【解析】
3. 在△ABC中，点A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线的方程是
(　　)
A. 2x＋y－7＝0 B. 2x－y－1＝0
C. x＋2y－8＝0 D. x－2y＋4＝0
A
【解析】
4. 若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有 (　　)
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0
C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
B
【解析】
由图知k>0，b<0.
【解析】
易知B，C正确．
对于D，当直线的斜率不存在时，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误．
【答案】BC
【解析】
对于A，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，知直线的斜率k<0，截距b>0，所以点(k，b)在第二象限，故A正确；
对于B，由y＝ax－3a＋2，得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)的坐标都满足方程，故B正确；
对于D，由斜截式方程可知，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝ －2x＋3，故D错误．
【答案】ABC
【解析】
8. 已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为_________．
【解析】
四、 解答题
9. 已知△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).
(1) 求边BC上的中线所在直线的方程；
【解答】
(2) 求边BC上的高所在直线的方程；
【解答】
(3) 求边BC的垂直平分线的方程．
【解答】
【解答】
当m＝0时，l1：4y－5＝0，l2：x－4＝0，l1与l2垂直．
11. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 (　　)
D
【解析】
对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；
对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；
对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；
对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故D正确．
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，那么△ABC的欧拉线方程为
(　　)
A. 2x－4y－3＝0 B. 2x＋4y＋3＝0
C. 4x－2y－3＝0 D. 2x＋4y－3＝0
【解析】
因为AB＝AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，从而△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.
【答案】D
13. 已知直线l经过点C(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O是坐标原点．
(1) 当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
【解答】
(2) 当CA·CB取最小值时，求直线l的方程，并求此最小值．
【解答】

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