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第2课时　两条直线平行和垂直的判定
学习 目标 1. 理解两条直线平行或垂直的充要条件． 2. 能根据两条直线的斜率判定两条直线平行或垂直，能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，l1，l2的斜率存在时，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则对应关系及图示如下：
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，则l1⊥l2
图示
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 如果两直线平行，那么它们的斜率一定相等．(　×　)
(2) 如果两直线斜率相等，那么它们一定平行．(　×　)
(3) 如果两直线的斜率之积为－1，那么它们互相垂直．(　√　)
(4) 在平面直角坐标系中，矩形的邻边所在直线的斜率之积为－1.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　两条直线平行
例1　(1) (教材P56例2补充)满足下列条件的各组直线互相平行的是(　A　)
A. 直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(－1，3)，N(2，0)
B. 直线l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)
C. 直线l1经过点A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过点M(1，－1)，N(1，4)
D. 直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，－1)，N(3，2)
【解析】 对于A，k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，结合图形知l1∥l2；对于B，k1＝＝2，k2＝＝－，k1≠k2，所以l1与l2不平行；对于C，因为l1经过点(1，2)，(1，3)，l2经过点(1，－1)，(1，4)，所以l1与l2重合，从而l1与l2不平行；对于D，l1的斜率不存在，k2＝＝，所以l1与l2不平行．
(2) (教材P56例3补充)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，那么顶点D的坐标为(3，4)．
【解析】 设顶点D的坐标为(x，y).因为AB∥DC，AD∥BC，所以解得从而点D的坐标为(3，4).
判断两条直线平行的注意事项
(1) 判断两条直线平行，首先应看两条直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等．
(2) 判断两条直线的斜率是否相等，实际是看两条直线的倾斜角是否相等，根本依据是平行线的判定定理中的同位角相等，两直线平行．
(3) 在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合．
变式1　已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值为(　B　)
A. 0 B. －8
C. 2 D. 10
【解析】 由题意得＝－2，解得m＝－8.
探究2　两条直线垂直
例2　(教材P57例4补充)(1) 已知直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直．
【解答】 因为直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2) 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2).若l1⊥l2，求实数a的值．
【解答】 由题意知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，l1⊥l2，满足题意．当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝.由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0.综上，实数a的值为0或5.
判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线的斜率都存在时，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；当一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，这两条直线也垂直．
变式2　(教材P57例5改编)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　C　)
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 以点A为直角顶点的直角三角形
D. 以点B为直角顶点的直角三角形
【解析】 因为kAB＝＝－，kAC＝＝，所以kAB·kAC＝－1，从而AB⊥AC，∠A为直角．所以△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形．
探究3　直线平行与垂直关系的综合应用
例3　(教材P57例5补充)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
【解答】 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，所以kAB＝kCD.由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
(例3答)
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：
变式3　在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
【解答】 四边形OPQR是矩形．证明如下：因为t>0，OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－，PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－，所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ，于是四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×＝－1，所以QR⊥OR，从而平行四边形OPQR是矩形．当t≠时，kOQ＝，kPR＝，令kOQ·kPR＝－1，即·＝－1，t无解，所以t≠时，OQ与PR不垂直，故矩形OPQR不是正方形．当t＝时，kPR≠0，此时矩形OPQR不是正方形．综上，四边形OPQR是矩形．
随堂内化及时评价
1. 已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　C　)
A. － B.
C. － D.
【解析】 由题意可得直线l1的斜率为.由直线l1⊥l2，得直线l2的斜率为－.
2. 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　C　)
A. 0 B. 1
C. 6 D. 0或6
【解析】 因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ＝－1.因为直线l与l1平行，所以＝－1，解得a＝6.
3. 顺次连接A(2，－3)，B，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．
【解析】 因为kAB＝kCD＝－，所以AB∥CD.因为kBC＝－，kDA＝－，所以kBC≠kDA，因此BC与DA不平行．所以四边形ABCD是梯形．
4. 已知点A(m，1)，B(－1，m)，P(1，2)，Q(－5，0)，若AB∥PQ，则m＝．
【解析】 由题意可得kPQ＝＝，若AB∥PQ，则kAB＝＝，解得m＝.
5. 已知直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝－1，y＝7．
【解析】 因为l1⊥l2，且l1的斜率为2，所以l2的斜率为－，从而＝＝－，解得x＝－1，y＝7.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 过点A(，)，B(0，3)的直线与过点C(，)，D(2，0)的直线的位置关系为(　A　)
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 以上都不正确
【解析】 因为kAB＝＝－＋，kCD＝＝＝，所以kAB·kCD＝(－)×＝－1，故两直线的位置关系为垂直．
2. 已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(x，6)两点．若l1∥l2，则x等于(　A　)
A. 2 B. －2
C. 4 D. 1
【解析】 因为直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，所以直线l1的斜率不存在．又因为l1∥l2，直线l2经过(2，1)，(x，6)两点，所以x＝2.
3. 已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3).若l1∥l2，则实数a的值为(　C　)
A. －3 B. 1
C. D.
【解析】 因为l1∥l2，所以直线l2的斜率k2＝k1.又因为直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)，所以k2＝＝，解得a＝.
4. 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，那么实数a的值为(　B　)
A. －1或0 B. 1或0
C. －2或0 D. 2或0
【解析】 l1的斜率k1＝＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上，实数a的值为1或0.
二、 多项选择题
5. 已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则实数m的值可能是(　BC　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 当m＝0时，A(0，3)，B(0，4)，C(1，2)，D(1，0)，直线AB⊥x轴，直线CD⊥x轴，此时直线AB与CD平行．当m≠0时，kAB＝，kCD＝，因为直线AB与CD平行，所以＝，解得m＝1.综上，m＝0或1.
6. 若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值可以为(　AB　)
A. 1 B. 3
C. 0 D. 4
【解析】 因为直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，所以l2的斜率k2必存在，且k1·k2＝－1，即×＝－1，化简得a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
三、 填空题
7. 若过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l平行，则直线l的倾斜角为135°．
【解析】 由题意知kPQ＝＝＝－1.又过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l平行，所以kl＝kPQ＝－1，从而直线l的倾斜角为135°.
8. 已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).当m＝6时，直线l1与l2的位置关系为l1∥l2；若l1⊥l2，则实数m的值为3或－4．
【解析】 当m＝6时，A(3，6)，B(5，2)，C(1，2)，D(－2，8)，则kl1＝＝－2，kl2＝＝－2，故kl1＝kl2.又kAD＝＝－，所以kAD≠kl1，从而l1∥l2.若l1⊥l2，由kl2＝＝－，知l2的斜率存在．当kl2＝－＝0时，m＝0，则A(3，0)，B(－1，2)，直线l1的斜率存在，不符合题意，舍去；当kl2＝－≠0时，kl1＝，故－·＝－1，解得m＝3或m＝－4.综上，若l1⊥l2，则实数m的值为3或－4.
四、 解答题
9. 试确定m的值，使过点A(2m，2)，B(－2，3m)的直线与过点P(1，2)，Q(－6，0)的直线分别满足以下条件：
(1) 平行；
【解答】 当AB∥PQ时，kPQ＝kAB.因为kPQ＝＝，所以kAB＝＝，解得m＝.
(2) 垂直．
【解答】 由(1)得直线PQ的斜率存在且不为0，当AB⊥PQ时，kAB·kPQ＝－1，即·＝－1，解得m＝－.
10. 已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1) ∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
【解答】 设P(x，0).因为∠MOP＝∠OPN，所以OM∥NP，从而kOM＝kNP.又因为kOM＝＝1，kNP＝＝(x≠5)，所以1＝，解得x＝7，即点P的坐标为(7，0).
(2) ∠MPN是直角．
【解答】 因为∠MPN＝90°，所以MP⊥NP.由题意知MP，NP的斜率均存在，所以kMP·kNP＝－1，显然x≠2且x≠5.因为kMP＝(x≠2)，kNP＝(x≠5)，所以×＝－1，即x2－7x＋6＝0，解得x＝1或x＝6，故点P的坐标为(1，0)或(6，0).
11. 已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，点A(1，m－1)，B(m，2)，则实数m的值为4＋．
【解析】 因为直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2的斜率为.因为l2是线段AB的垂直平分线，所以直线AB的斜率为－＝＝，解得m＝4＋.
12. 已知点A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1).
(1) 若直线AB与CD平行，则实数m的值为；
【解析】 由题意得kAB＝kCD.又因为点A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)，所以＝，解得m＝.又kAB＝＝－，kAD＝＝－，kAB≠kAD，所以A，B，C，D四点不共线，故m＝符合题意．
(2) 若△ABC为直角三角形，则实数m的所有可能值为－1或12或．
【解析】 若A为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，所以kAB·kAC＝－1，即×＝－1，解得m＝12.若B为直角，则kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝－1.若C为直角，易知AC，BC的斜率存在且不为0，则kAC·kBC＝－1，即×＝－1，整理得2m2－7m＋4＝0，解得m＝.综上，m的值为－1或12或.
13. 如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD为50 m，宽AB为30 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.请建立合适的平面直角坐标系，在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM垂直，并求BM的长．
(第13题)
【解答】 以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，30)，D(50，30)，C(50，0).设M(x，0)，0(第13题答)第2课时　两条直线平行和垂直的判定
学习 目标 1. 理解两条直线平行或垂直的充要条件． 2. 能根据两条直线的斜率判定两条直线平行或垂直，能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，l1，l2的斜率存在时，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则对应关系及图示如下：
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线的
图示
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2 l1与l2中的一条的斜率 ，另一条的斜率为0，则l1⊥l2
图示
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 如果两直线平行，那么它们的斜率一定相等．(　 　)
(2) 如果两直线斜率相等，那么它们一定平行．(　 　)
(3) 如果两直线的斜率之积为－1，那么它们互相垂直．(　 　)
(4) 在平面直角坐标系中，矩形的邻边所在直线的斜率之积为－1.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　两条直线平行
例1　(1) (教材P56例2补充)满足下列条件的各组直线互相平行的是(　 　)
A. 直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(－1，3)，N(2，0)
B. 直线l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)
C. 直线l1经过点A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过点M(1，－1)，N(1，4)
D. 直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，－1)，N(3，2)
(2) (教材P56例3补充)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，那么顶点D的坐标为 ．
判断两条直线平行的注意事项
(1) 判断两条直线平行，首先应看两条直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等．
(2) 判断两条直线的斜率是否相等，实际是看两条直线的倾斜角是否相等，根本依据是平行线的判定定理中的同位角相等，两直线平行．
(3) 在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合．
变式1　已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值为(　 　)
A. 0 B. －8
C. 2 D. 10
探究2　两条直线垂直
(教材P57例4补充)(1) 已知直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直．
(2) 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2).若l1⊥l2，求实数a的值．
判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线的斜率都存在时，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；当一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，这两条直线也垂直．
变式2　(教材P57例5改编)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　 　)
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 以点A为直角顶点的直角三角形
D. 以点B为直角顶点的直角三角形
探究3　直线平行与垂直关系的综合应用
例3　(教材P57例5补充)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：
变式3　在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
随堂内化及时评价
1. 已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　 　)
A. － B.
C. － D.
2. 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. 6 D. 0或6
3. 顺次连接A(2，－3)，B，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是 ．
4. 已知点A(m，1)，B(－1，m)，P(1，2)，Q(－5，0)，若AB∥PQ，则m＝ ．
5. 已知直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝ ，y＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 过点A(，)，B(0，3)的直线与过点C(，)，D(2，0)的直线的位置关系为(　 　)
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 以上都不正确
2. 已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(x，6)两点．若l1∥l2，则x等于(　 　)
A. 2 B. －2
C. 4 D. 1
3. 已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3).若l1∥l2，则实数a的值为(　 　)
A. －3 B. 1
C. D.
4. 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，那么实数a的值为(　 　)
A. －1或0 B. 1或0
C. －2或0 D. 2或0
二、 多项选择题
5. 已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则实数m的值可能是(　 　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
6. 若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值可以为(　 　)
A. 1 B. 3
C. 0 D. 4
三、 填空题
7. 若过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l平行，则直线l的倾斜角为 ．
8. 已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).当m＝6时，直线l1与l2的位置关系为 ；若l1⊥l2，则实数m的值为 ．
四、 解答题
9. 试确定m的值，使过点A(2m，2)，B(－2，3m)的直线与过点P(1，2)，Q(－6，0)的直线分别满足以下条件：
(1) 平行；
(2) 垂直．
10. 已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1) ∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
(2) ∠MPN是直角．
11. 已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，点A(1，m－1)，B(m，2)，则实数m的值为 ．
12. 已知点A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1).
(1) 若直线AB与CD平行，则实数m的值为
(2) 若△ABC为直角三角形，则实数m的所有可能值为 ．
13. 如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD为50 m，宽AB为30 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.请建立合适的平面直角坐标系，在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM垂直，并求BM的长．
(第13题)(共45张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
第2课时　两条直线平行和垂直的判定
学习 目标 1. 理解两条直线平行或垂直的充要条件．
2. 能根据两条直线的斜率判定两条直线平行或垂直，能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，l1，l2的斜率存在时，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则对应关系及图示如下：
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 _________ l1∥l2 两直线的_______________
图示
k1＝k2
斜率都不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2 _____________ l1与l2中的一条的斜率_________，另一条的斜率为0，则l1⊥l2
图示
k1·k2＝－1
不存在
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 如果两直线平行，那么它们的斜率一定相等． (　　)
(2) 如果两直线斜率相等，那么它们一定平行． (　　)
(3) 如果两直线的斜率之积为－1，那么它们互相垂直． (　　)
(4) 在平面直角坐标系中，矩形的邻边所在直线的斜率之积为－1. (　　)
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
　　　(1) (教材P56例2补充)满足下列条件的各组直线互相平行的是 (　　)
A. 直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(－1，3)，N(2，0)
B. 直线l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)
C. 直线l1经过点A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过点M(1，－1)，N(1，4)
D. 直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，－1)，N(3，2)
1
两条直线平行
探究
1
对于C，因为l1经过点(1，2)，(1，3)，l2经过点(1，－1)，(1，4)，所以l1与l2重合，从而l1与l2不平行；
【解析】
【答案】A
(2) (教材P56例3补充)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，那么顶点D的坐标为_________．
【解析】
(3，4)
判断两条直线平行的注意事项
(1) 判断两条直线平行，首先应看两条直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等．
(2) 判断两条直线的斜率是否相等，实际是看两条直线的倾斜角是否相等，根本依据是平行线的判定定理中的同位角相等，两直线平行．
(3) 在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合．
　　　　　已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值为 (　　)
A. 0 B. －8
C. 2 D. 10
【解析】
B
变式1
　　　(教材P57例4补充)(1) 已知直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直．
2
两条直线垂直
【解答】
因为直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
探究
2
(2) 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2).若l1⊥l2，求实数a的值．
【解答】
由题意知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，l1⊥l2，满足题意．
判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线的斜率都存在时，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；当一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，这两条直线也垂直．
　　　　(教材P57例5改编)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是
(　　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 以点A为直角顶点的直角三角形 D. 以点B为直角顶点的直角三角形
【解析】
C
变式2
　　　(教材P57例5补充)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
3
直线平行与垂直关系的综合应用
【解答】
探究
3
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：
　　　　在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
【解答】
变式3
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 (　　)
C
【解析】
C
【解析】
梯形
【解析】
4. 已知点A(m，1)，B(－1，m)，P(1，2)，Q(－5，0)，若AB∥PQ，则m＝_____．
【解析】
5. 已知直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝______，y＝____．
－1
7
配套新练案
【解析】
A
2. 已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(x，6)两点．若l1∥l2，则x等于 (　　)
A. 2 B. －2
C. 4 D. 1
A
【解析】
因为直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，所以直线l1的斜率不存在．又因为l1∥l2，直线l2经过(2，1)，(x，6)两点，所以x＝2.
【解析】
C
4. 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，那么实数a的值为 (　　)
A. －1或0 B. 1或0 C. －2或0 D. 2或0
B
【解析】
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上，实数a的值为1或0.
二、 多项选择题
5. 已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则实数m的值可能是 (　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
BC
【解析】
当m＝0时，A(0，3)，B(0，4)，C(1，2)，D(1，0)，直线AB⊥x轴，直线CD⊥x轴，此时直线AB与CD平行．
【解析】
AB
三、 填空题
7. 若过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l平行，则直线l的倾斜角为_____．
135°
【解析】
8. 已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).当m＝6时，直线l1与l2的位置关系为_______；若l1⊥l2，则实数m的值为_______．
【解析】
【答案】l1∥l2　3或－4
四、 解答题
9. 试确定m的值，使过点A(2m，2)，B(－2，3m)的直线与过点P(1，2)，Q(－6，0)的直线分别满足以下条件：
(1) 平行；
【解答】
(2) 垂直．
【解答】
10. 已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1) ∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
【解答】
(2) ∠MPN是直角．
【解答】
11. 已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，点A(1，m－1)，B(m，2)，则实数m的值为________．
【解析】
12. 已知点A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1).
(1) 若直线AB与CD平行，则实数m的值为_____；
【解析】
(2) 若△ABC为直角三角形，则实数m的所有可能值为__________________．
【解析】
13. 如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD为50 m，宽AB为30 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.请建立合适的平面直角坐标系，在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM垂直，并求BM的长．
【解答】

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