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第3课时　直线的一般式方程
学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程． 2. 会选择适当的方程形式求直线的方程，会进行直线方程五种形式间的转化．
新知初探基础落实
一、 概念表述
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0，即A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意：(1) A，B不全为0时，方程才能表示一条直线．若A，B全为0，则方程不能表示一条直线．
当B≠0时，方程可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．
当B＝0，A≠0时，方程可变形为Ax＋C＝0，即x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．
(2) 在平面直角坐标系中，一个关于x，y的二元一次方程对应唯一的一条直线；反过来，一条直线可以对应无数个关于x，y的一次方程．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内任意一条直线都可以用直线的一般式方程表示．(　√　)
(2) 所有其他形式的直线方程(如点斜式、斜截式、两点式、截距式)都能化为一般式．(　√　)
(3) 直线的一般式方程可以化为点斜式和截距式．(　×　)
(4) 直线y＝1在y轴上的截距为1，在x轴上的截距不存在．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的一般式方程
例1　(教材P65例5补充)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式．
(1) 斜率为，且经过点A(5，3)；
【解析】 由点斜式方程得y－3＝(x－5)，即x－y＋3－5＝0.
(2) 过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
【解析】 x＝－3，即x＋3＝0.
(3) 斜率为4，在y轴上的截距为－2；
【解析】 y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4) 在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
【解析】 y＝3，即y－3＝0.
(5) 经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
【解析】 由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0.
(6) 在x轴、y轴上截距分别是－3，－1.
【解析】 由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
探究2　含参数的直线的一般式方程
例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1) 若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝－；
【解析】 由题意知m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.令y＝0，得x＝，所以＝－3，即3m2－4m－15＝0，解得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－.
(2) 若直线l的斜率为1，则m＝－2．
【解析】 将直线l的方程化为斜截式，得y＝x＋，则＝1，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2.
(1) 当A，B不同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0才能表示直线．
(2) 令x＝0，可得直线在y轴上的截距．令y＝0，可得直线在x轴上的截距．若确定直线的斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3) 解分式方程时要注意验根．
变式2　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足a≠－2．
【解析】 由得a＝－2.因为方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，所以a≠－2.
探究3　利用一般式解决直线平行或垂直问题
例3　(1) 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值．
【解析】 方法一：①当m＝0时，l1与l2显然不平行．②当m≠0时，由l1∥l2，得＝≠，解得m＝2或m＝－3，所以m的值为2或－3.
方法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，l1与l2显然不重合，所以l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2.综上，m的值为2或－3.
(2) 当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直？
【解答】 方法一：①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②当2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③当 1－a≠0且2a＋3≠0时，直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，若l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝－1.综上，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
方法二：由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
(1) 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，B1C2－B2C1≠0
.
(2) 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可以设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程可以设为Bx－Ay＋D＝0.
随堂内化及时评价
1. 直线x－3y－5＝0的倾斜角为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 由直线x－3y－5＝0的斜率为，得该直线倾斜角θ的正切值tan θ＝.又θ∈[0，π)，所以θ＝.
2. 下列直线中与直线l：x＋5y－3＝0垂直的是(　B　)
A. x－5y＝0 B. 5x－y＝0
C. 5x＋y＝0 D. x＋5y＝0
【解析】 因为直线l：x＋5y－3＝0的斜率为－，所以与直线l：x＋5y－3＝0垂直的直线的斜率为5，结合选项可知B符合题意．
3. (多选)已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－6＝0，则(　BD　)
A. 当a＝3时，l1∥l2
B. 直线l1恒过点(3，0)
C. 存在a∈R，使l1∥l2
D. 若l1⊥l2，则a＝
【解析】 对于A，当a＝3时，直线l1：3x＋y－9＝0，直线l2：2x＋2y－6＝0，显然kl1＝－3，kl2＝－1，则kl2≠kl1，故A错误．对于B，直线l1：(x－3)a＋y＝0，令解得所以直线l1恒过点(3，0)，故B正确．对于C，若存在a∈R，使l1∥l2，则a(a－1)－2＝0，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1：2x＋y－6＝0，l2：2x＋y－6＝0，两直线重合，舍去；当a＝－1时，直线l1：x－y－3＝0，直线l2：2x－2y－6＝0，两直线重合，舍去．故不存在a∈R，使l1∥l2，故C错误．对于D，若l1⊥l2，则2a＋a－1＝0，解得a＝，故D正确．
4. 若直线l1：ax＋y＝0与直线l2：x＋(2－a)y＋6＝0平行，则a＝1．
【解析】 因为直线l1：ax＋y＝0与直线l2：x＋(2－a)y＋6＝0平行，所以a(2－a)－1＝0，解得a＝1.当a＝1时，直线l1：x＋y＝0，直线l2：x＋y＋6＝0，l1与l2不重合，符合题意，所以a＝1.
5. 过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是2x－5y＝0或x＋y－7＝0．
【解析】 当直线过原点时，直线的斜率k＝，所以直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，由直线过点(5，2)，得＋＝1，解得a＝7，所以直线的一般式方程为x＋y－7＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或x＋y－7＝0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线MN的斜率为2，点N(1，－1)，若点M在直线y＝x＋1上，则(　B　)
A. 点M的坐标为(5，7) B. 点M的坐标为(4，5)
C. 点M的坐标为(2，1) D. 点M的坐标为(2，3)
【解析】 设点M的坐标为(a，b)，由点M在直线y＝x＋1上，得b＝a＋1 ①.因为直线MN的斜率为2，所以＝2 ②.联立①②解得a＝4，b＝5，所以点M的坐标为(4，5).
2. “a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的(　A　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
【解析】 若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行，则有解得a＝0或a＝.所以当a＝时，直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行；当直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行时，a＝0或a＝.
3. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m的值为(　D　)
A. －12 B. －10
C. 0 D. 10
【解析】 由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，得2m－20＝0，解得m＝10.
4. 已知直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线恒过的定点的坐标为(　C　)
A. (0，0) B. (0，1)　　　　
C. (3，1) D. (2，1)
【解析】 直线方程可整理为k(x－3)－y＋1＝0，令解得所以直线恒过定点(3，1).
二、 多项选择题
5. 已知直线l的方程为3x＋y－5＝0，则下列选项正确的有(　ABC　)
A. l的斜率为－3 B. l的一个方向向量为(1，－3)
C. l在y轴上的截距为5 D. l在x轴上的截距为5
【解析】 对于A，直线l的方程为3x＋y－5＝0，即y＝－3x＋5，所以直线l的斜率为－3，故A正确；对于B，根据直线l的斜率，可以确定(1，－3)为直线l的一个方向向量，故B正确；对于C，根据直线的斜截式方程，可知l在y轴上的截距为5，故C正确；对于D，令y＝0，解得x＝，所以l在x轴上的截距为，故D错误．
6. 已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则下列说法正确的是(　BCD　)
A. 若l1⊥l2，则＝－3
B. 若l1∥l2，则ab＝3
C. 若l1与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a＝±
D. 当b<0时，l2不经过第一象限
【解析】 对于A，当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误；对于B，当l1∥l2时，－ab＋3＝0，即ab＝3，故B正确；对于C，在直线l1：ax－3y＋1＝0中，易知a≠0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝1，解得a＝±，故C正确；对于D，当b<0时，l2：y＝x＋的大致图象如图所示，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知直线l：3x＋4y－7＝0，直线l2与直线l1平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l2的方程为3x＋4y±12＝0．
【解析】 如图，由题意可设直线l2的方程为3x＋4y＋m＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.由题意知××＝6，得m＝±12，故l2的方程为3x＋4y±12＝0.
(第7题答)
8. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为－1或－；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是．
【解析】 因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以k≠0.在kx－y＋1＋2k＝0中，令x＝0，得y＝1＋2k；令y＝0，得x＝－2－.由1＋2k＝－2－，即2k2＋3k＋1＝0，解得k＝－或k＝－1.直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，令解得所以直线l过定点M(－2，1)，从而kOM＝－.由直线l的方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y＝kx＋2k＋1.如图，若l不经过第三象限，则解得－≤k≤0.
(第8题答)
四、 解答题
9. 根据下列条件，求直线的一般式方程．
(1) 过点(2，1)且与直线2x＋3y＝0平行；
【解答】 由题意可设直线的方程为2x＋3y＋c＝0.因为直线过点(2，1)，所以4＋3＋c＝0，解得c＝－7，故所求直线的一般式方程为2x＋3y－7＝0.
(2) 与直线y＝x垂直，且在两坐标轴上的截距之和为－4.
【解答】 设直线的方程为＋＝1.由题意可得解得所以所求直线的方程为＋＝1，化为一般式为x＋y＋2＝0.
10. 已知直线l：mx－y－m＋4＝0.
(1) 证明直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】 方法一：由mx－y－m＋4＝0得(x－1)m＋(－y＋4)＝0.令得故直线l恒过定点(1，4).
方法二：由mx－y－m＋4＝0得y－4＝m(x－1)，该方程表示过点(1，4)的直线的点斜式方程，所以直线恒过定点(1，4).
(2) 是否存在实数m，使得直线l与x轴和y轴的正半轴都相交？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】 由(1)知直线l恒过第一象限的点(1，4).假设存在实数m满足题意，l与x轴和y轴的交点分别为A，B(0，4－m)(m≠0)，令解得m＜0.故当m∈(－∞，0)时，直线l与x轴和y轴的正半轴都相交．
11. (教材P65 探究)(多选)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，下列说法正确的是(　BD　)
A. 当C1≠C2时，直线l1与l2不重合
B. 当A1B2－A2B1≠0时，直线l1与l2相交
C. 当A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2
D. 当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2
【解析】 对于A，当C1≠C2时，若A1A2≠0，B1＝B2＝0，且＝，则直线l1：x＝－与l2：x＝－重合，故A错误．对于B，联立可得(A1B2－A2B1)x＝B1C2－B2C1，当A1B2－A2B1≠0时，x＝，此时方程组有唯一一组解，直线l1与l2相交，故B正确．对于C，当A1B2－A2B1＝0时，若B1C2－B2C1≠0，则无解，此时l1∥l2；若B1C2－B2C1＝0，则有无数多组解，此时l1，l2重合，故C错误．对于D，若B1B2≠0，则由A1A2＋B1B2＝0可得·＝－1，即两直线的斜率之积等于－1，故l1⊥l2；若B1＝0(B2＝0)，则可得A2＝0(A1＝0)，此时满足A1A2＋B1B2＝0，直线l1：A1x＋C1＝0(B1y＋C1＝0)，l2：B2y＋C2＝0(A2x＋C2＝0)，l1⊥l2，故D正确．
12. 已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　D　)
A. 2 B. 4
C. D.
【解析】 因为l1⊥l2，所以2b＋a－4＝0，即a＋1＋2b＝5.因为a>0，b>0，所以a＋1>0，2b>0，从而＋＝×(a＋1＋2b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立．
13. 若直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则mn的最大值为(　B　)
A. B.
C. 1 D. 2
【解析】 由kx－y＋2k－1＝0，得k(x＋2)－(y＋1)＝0，令解得所以直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A(－2，－1).又因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，可得2m＋n＝2，且m>0，n>0，从而2m＋n＝2≥2，即0学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程． 2. 会选择适当的方程形式求直线的方程，会进行直线方程五种形式间的转化．
新知初探基础落实
一、 概念表述
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0，即A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意：(1) A，B不全为0时，方程才能表示一条直线．若A，B全为0，则方程不能表示一条直线．
当B≠0时，方程可变形为y＝－x－，它表示过点 ，斜率为 的直线．
当B＝0，A≠0时，方程可变形为 ，即 ，它表示一条与x轴垂直的直线．
(2) 在平面直角坐标系中，一个关于x，y的二元一次方程对应唯一的一条直线；反过来，一条直线可以对应无数个关于x，y的一次方程．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内任意一条直线都可以用直线的一般式方程表示．(　 　)
(2) 所有其他形式的直线方程(如点斜式、斜截式、两点式、截距式)都能化为一般式．(　 　)
(3) 直线的一般式方程可以化为点斜式和截距式．(　 　)
(4) 直线y＝1在y轴上的截距为1，在x轴上的截距不存在．(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　直线的一般式方程
例1　(教材P65例5补充)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式．
(1) 斜率为，且经过点A(5，3)；
(2) 过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3) 斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4) 在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5) 经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6) 在x轴、y轴上截距分别是－3，－1.
探究2　含参数的直线的一般式方程
例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1) 若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝ ；
(2) 若直线l的斜率为1，则m＝ ．
(1) 当A，B不同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0才能表示直线．
(2) 令x＝0，可得直线在y轴上的截距．令y＝0，可得直线在x轴上的截距．若确定直线的斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3) 解分式方程时要注意验根．
变式2　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足 ．
探究3　利用一般式解决直线平行或垂直问题
例3　(1) 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值．
(2) 当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直？
(1) 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，B1C2－B2C1≠0
.
(2) 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可以设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程可以设为Bx－Ay＋D＝0.
随堂内化及时评价
1. 直线x－3y－5＝0的倾斜角为(　 　)
A. B.
C. D.
2. 下列直线中与直线l：x＋5y－3＝0垂直的是(　 　)
A. x－5y＝0 B. 5x－y＝0
C. 5x＋y＝0 D. x＋5y＝0
3. (多选)已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－6＝0，则(　 　)
A. 当a＝3时，l1∥l2
B. 直线l1恒过点(3，0)
C. 存在a∈R，使l1∥l2
D. 若l1⊥l2，则a＝
4. 若直线l1：ax＋y＝0与直线l2：x＋(2－a)y＋6＝0平行，则a＝ ．
5. 过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线MN的斜率为2，点N(1，－1)，若点M在直线y＝x＋1上，则(　 　)
A. 点M的坐标为(5，7) B. 点M的坐标为(4，5)
C. 点M的坐标为(2，1) D. 点M的坐标为(2，3)
2. “a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
3. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m的值为( 　)
A. －12 B. －10
C. 0 D. 10
4. 已知直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线恒过的定点的坐标为(　 　)
A. (0，0) B. (0，1)　　　　
C. (3，1) D. (2，1)
二、 多项选择题
5. 已知直线l的方程为3x＋y－5＝0，则下列选项正确的有(　 　)
A. l的斜率为－3 B. l的一个方向向量为(1，－3)
C. l在y轴上的截距为5 D. l在x轴上的截距为5
6. 已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则下列说法正确的是(　 　)
A. 若l1⊥l2，则＝－3
B. 若l1∥l2，则ab＝3
C. 若l1与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a＝±
D. 当b<0时，l2不经过第一象限
三、 填空题
7. 已知直线l：3x＋4y－7＝0，直线l2与直线l1平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l2的方程为 ．
8. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 根据下列条件，求直线的一般式方程．
(1) 过点(2，1)且与直线2x＋3y＝0平行；
(2) 与直线y＝x垂直，且在两坐标轴上的截距之和为－4.
10. 已知直线l：mx－y－m＋4＝0.
(1) 证明直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
(2) 是否存在实数m，使得直线l与x轴和y轴的正半轴都相交？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
11. (教材P65 探究)(多选)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，下列说法正确的是(　 )
A. 当C1≠C2时，直线l1与l2不重合
B. 当A1B2－A2B1≠0时，直线l1与l2相交
C. 当A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2
D. 当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2
12. 已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　 　)
A. 2 B. 4
C. D.
13. 若直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则mn的最大值为(　 　)
A. B.
C. 1 D. 2(共42张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2　直线的方程
第3课时　直线的一般式方程
学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程．
2. 会选择适当的方程形式求直线的方程，会进行直线方程五种形式间的转化．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0，即A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意：(1) A，B不全为0时，方程才能表示一条直线．若A，B全为0，则方程不能表示一条直线．
Ax＋C＝0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内任意一条直线都可以用直线的一般式方程表示． (　　)
(2) 所有其他形式的直线方程(如点斜式、斜截式、两点式、截距式)都能化为一般式． (　　)
(3) 直线的一般式方程可以化为点斜式和截距式． (　　)
(4) 直线y＝1在y轴上的截距为1，在x轴上的截距不存在． (　　)
√
√
×
√
典例精讲 能力初成
　　　(教材P65例5补充)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式．
1
直线的一般式方程
【解析】
探究
1
(2) 过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
【解析】
x＝－3，即x＋3＝0.
(3) 斜率为4，在y轴上的截距为－2；
【解析】
y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4) 在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
【解析】
y＝3，即y－3＝0.
(5) 经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
【解析】
(6) 在x轴、y轴上截距分别是－3，－1.
【解析】
　　　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1) 若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_______；
2
含参数的直线的一般式方程
【解析】
探究
2
(2) 若直线l的斜率为1，则m＝______．
【解析】
－2
(1) 当A，B不同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0才能表示直线．
(2) 令x＝0，可得直线在y轴上的截距．令y＝0，可得直线在x轴上的截距．若确定直线的斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3) 解分式方程时要注意验根．
　　　　　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足_________．
【解析】
变式2
a≠－2
　　　(1) 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值．
3
利用一般式解决直线平行或垂直问题
【解析】
方法一：①当m＝0时，l1与l2显然不平行．
探究
3
方法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，l1与l2显然不重合，所以l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2. 综上，m的值为2或－3.
(2) 当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直？
【解答】
方法一：①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
方法二：由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
(1) 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，B1C2－B2C1≠0
(2) 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可以设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程可以设为Bx－Ay＋D＝0.
随堂内化 及时评价
【解析】
A
【解析】
2. 下列直线中与直线l：x＋5y－3＝0垂直的是 (　　)
A. x－5y＝0 B. 5x－y＝0
C. 5x＋y＝0 D. x＋5y＝0
B
【解析】
对于A，当a＝3时，直线l1：3x＋y－9＝0，直线l2：2x＋2y－6＝0，显然kl1＝－3，kl2＝－1，则kl2≠kl1，故A错误．
3. (多选)已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－6＝0，则 (　　)
A. 当a＝3时，l1∥l2 B. 直线l1恒过点(3，0)
C. 存在a∈R，使l1∥l2
对于C，若存在a∈R，使l1∥l2，则a(a－1)－2＝0，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1：2x＋y－6＝0，l2：2x＋y－6＝0，两直线重合，舍去；当a＝－1时，直线l1：x－y－3＝0，直线l2：2x－2y－6＝0，两直线重合，舍去．故不存在a∈R，使l1∥l2，故C错误．
【答案】BD
【解析】
因为直线l1：ax＋y＝0与直线l2：x＋(2－a)y＋6＝0平行，所以a(2－a)－1＝0，解得a＝1.当a＝1时，直线l1：x＋y＝0，直线l2：x＋y＋6＝0，l1与l2不重合，符合题意，所以a＝1.
4. 若直线l1：ax＋y＝0与直线l2：x＋(2－a)y＋6＝0平行，则a＝____．
1
【解析】
综上，所求直线方程为2x－5y＝0或x＋y－7＝0.
5. 过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________________________．
2x－5y＝0或x＋y－7＝0
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线MN的斜率为2，点N(1，－1)，若点M在直线y＝x＋1上，则 (　　)
A. 点M的坐标为(5，7) B. 点M的坐标为(4，5)
C. 点M的坐标为(2，1) D. 点M的坐标为(2，3)
B
【解析】
【解析】
A
3. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m的值为 (　　)
A. －12 B. －10
C. 0 D. 10
D
【解析】
由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，得2m－20＝0，解得m＝10.
4. 已知直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线恒过的定点的坐标为 (　　)
A.(0，0) B.(0，1)　　　　
C.(3，1) D.(2，1)
C
【解析】
二、 多项选择题
5. 已知直线l的方程为3x＋y－5＝0，则下列选项正确的有 (　　　)
A. l的斜率为－3 B. l的一个方向向量为(1，－3)
C. l在y轴上的截距为5 D. l在x轴上的截距为5
ABC
【解析】
对于A，直线l的方程为3x＋y－5＝0，即y＝－3x＋5，所以直线l的斜率为－3，故A正确；
对于B，根据直线l的斜率，可以确定(1，－3)为直线l的一个方向向量，故B正确；
对于C，根据直线的斜截式方程，可知l在y轴上的截距为5，故C正确；
【解析】
对于B，当l1∥l2时，－ab＋3＝0，即ab＝3，故B正确；
【答案】BCD
三、 填空题
7. 已知直线l：3x＋4y－7＝0，直线l2与直线l1平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l2的方程为________________．
【解析】
3x＋4y±12＝0
8. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为____________；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是_____．
【解析】
四、 解答题
9. 根据下列条件，求直线的一般式方程．
(1) 过点(2，1)且与直线2x＋3y＝0平行；
【解答】
由题意可设直线的方程为2x＋3y＋c＝0.因为直线过点(2，1)，所以4＋3＋c＝0，解得c＝－7，故所求直线的一般式方程为2x＋3y－7＝0.
(2) 与直线y＝x垂直，且在两坐标轴上的截距之和为－4.
【解答】
10. 已知直线l：mx－y－m＋4＝0.
(1) 证明直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】
方法二：由mx－y－m＋4＝0得y－4＝m(x－1)，该方程表示过点(1，4)的直线的点斜式方程，所以直线恒过定点(1，4).
(2) 是否存在实数m，使得直线l与x轴和y轴的正半轴都相交？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】
11. (教材P65探究)(多选)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，下列说法正确的是 (　　)
A. 当C1≠C2时，直线l1与l2不重合 B. 当A1B2－A2B1≠0时，直线l1与l2相交
C. 当A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2 D. 当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2
【解析】
【答案】BD
【解析】
D
13. 若直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则mn的最大值为 (　　)
【解析】
B

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