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2.3　直线的交点坐标与距离公式
第1课时　两条直线的交点坐标、两点间的距离公式
学习 目标 1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系，体会数与形的完美结合． 3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式并会运用两点间的距离公式解决一些简单问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下：
方程组 的解 一组 无数组 无解
公共点的个数 一个 无数个 零个
位置关系 相交 重合 平行
2. 两点间的距离公式
类别 图示 公式
数轴上两点间的距离公式 |AB|＝ |x2－x1|
平面内两点间的距离公式 |AB|＝
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两直线相交，则交点坐标一定是两直线的方程所组成的二元一次方程组的解．(　√　)
(2) 无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　×　)
(3) 若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　×　)
(4) 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2必相交．(　√　)
(5) 在两点间的距离公式中，x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　两直线的交点问题
视角1　求两直线的交点
例1-1　(教材P71例2补充)分别判断下列各组直线是否相交．若相交，求出交点的坐标．
(1) l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
【解答】 解方程组得因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2) l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
【解答】 方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
(3) l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【解答】 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
对于两直线的方程组成的方程组，若有唯一一组解，则说明这两条直线相交；若无解，则说明这两条直线没有公共点，即这两条直线平行；若有无数组解，则说明这两条直线重合．
视角2　两条直线位置关系的判断
例1-2　若直线l1：mx＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋(m＋1)y＋4＝0平行，则实数m的值为(　B　)
A. 2 B. －3
C. 2或－3 D. －2或－3
【解析】 因为直线l1：mx＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋(m＋1)y＋4＝0平行，且直线l1：mx＋3y＋4＝0的斜率k1＝－，所以直线l2：2x＋(m＋1)y＋4＝0的斜率必存在，从而m≠－1，且k2＝－，故－＝－，解得m＝2或－3.当m＝2时，直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y＋4＝0重合，不符合题意；当m＝－3时，直线l1：x－y－＝0与直线l2：x－y＋2＝0平行，符合题意．故m＝－3.
变式1　已知直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)，则(　B　)
A. l1与l2相交
B. l1与l2平行
C. l1与l2重合
D. l1与l2的位置关系与a的取值有关
【解析】 由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0.因为2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1与l2平行．
探究2　含参直线过定点问题
例2　(教材P80第16题)已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？
【解答】 因为方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0可变形为(2λ＋3)x＋(λ＋4)y－2＋2λ＝0，且2λ＋3，λ＋4不同时为零，所以该方程表示一条直线．联立解得所以当时，直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0恒成立．当λ变化时，方程表示过点(－2，2)的除直线2x＋y＋2＝0外的所有直线．
求含参数的二元一次方程表示的直线所过定点坐标，一般有三种方法．
方法一：将方程化为点斜式方程(或斜截式方程等)形式，利用点斜式方程(或斜截式方程等)求出定点坐标；
方法二：将方程化为过两直线交点的直线系方程形式，利用过两直线交点的直线系方程求出定点坐标．
方法三：给参数取上两个不同的值，分别得到两个不同的方程，解它们组成的方程组，求出交点(定点)坐标．
探究3　两点间距离公式的直接应用
例3　(教材P73例3补充)在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使得点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等．
【解答】 方法一：设P(x，y).由点P在直线l上且点P到点A，B的距离相等，得解得所以点P的坐标为(0，1).
方法二：设P(x，y).由题意知线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0①.又3x－y＋1＝0②，解由①②组成的方程组得所以点P的坐标为(0，1).
利用坐标平面内两点间的距离公式，可以求平面上任意两个已知点之间的距离．反过来，已知两点之间的距离，也可以根据条件求其中某一个点的坐标．
探究4　利用坐标法研究平面几何图形问题
例4　(教材P73例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
【解答】 如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c).由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
(例4答)
利用坐标法解平面几何问题的一般步骤：
(1) 建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3) 将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
变式4　在△ABC中，D是BC边上任意一点(点D与点B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形．
【解答】 如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)，d≠b，且d≠c.因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d).又d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c，从而|AB|＝|AC|，于是△ABC为等腰三角形．
　(变式4答)
随堂内化及时评价
1. 直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点的坐标为(　A　)
A. (－1，1) B. (1，－1)
C. (1，1) D. (－1，－1)
【解析】 由解得所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点的坐标为(－1，1).
2. 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则|PA|＝2．
【解析】 设P(x，0).由|PA|＝|PB|，得＝，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以点P的坐标为(1，0)，从而|PA|＝＝2.
3. 过直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点且与直线4x－3y－7＝0平行的直线的方程是(　B　)
A. 3x＋4y＋17＝0　　　　
B. 4x－3y－6＝0
C. 3x＋4y－17＝0　　　　
D. 4x－3y＋18＝0
【解析】 解方程组得所以直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点的坐标为(3，2).设所求直线的方程为4x－3y＋a＝0，则4x－3y＋a＝0过点(3，2)，从而12－6＋a＝0，解得a＝－6，故所求直线的方程为4x－3y－6＝0.
4. 若直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是∪(3，＋∞)．
【解析】 由可得3a＋1＝(2a－1)y，所以2a－1≠0且y＝，从而x＝.因为直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－　　　
4＝0的交点位于第一象限，所以解得a<－或a>3.故实数a的取值范围是∪(3，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 过两直线l1：x－3y＋4＝0，l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为(　D　)
A. 3x－19y＝0 B. 19x－3y＝0
C. 19x＋3y＝0 D. 3x＋19y＝0
【解析】 方法一：由得所以所求直线的斜率k＝－，从而所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
方法二：设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，将原点坐标代入，得4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
2. 若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0交于一点，则实数k的值为(　B　)
A. －2 B. －
C. 2 D.
【解析】 联立解得所以两直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的坐标为(－1，－2).因为直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，所以－1－2k＝0，解得k＝－.
3. 已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，那么实数a的值为(　C　)
A. 1 B. －5
C. 1或－5 D. －1或5
【解析】 由|AB|＝＝5，可知(a＋2)2＝9，所以a＝1或－5.
4. 已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，那么当|AB|取最小值时，实数a的值为(　D　)
A. － B.
C. － D.
【解析】 由两点间距离公式得|AB|＝＝＝，根据二次函数的性质得，当a＝时，|AB|取得最小值．
二、 多项选择题
5. 若直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的值可能为(　BCD　)
A. 1 B.
C. －2 D. －1
【解析】 因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－，所以直线l1，l2一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为(1，2).当a＝0时，直线l3：x＝3与x轴垂直，不经过点(1，2)，所以三条直线能构成三角形．当a≠0时，直线l3的斜率为.当直线l1与直线l3的斜率相等时，＝3，解得a＝，此时这两条直线平行，因此三条直线不能构成三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，＝－，解得a＝－2，此时这两条直线平行，因此三条直线不能构成三角形；当直线l3过直线l1，l2的交点(1，2)时，1－2a－3＝0，解得a＝－1，此时三条直线不能构成三角形．
6. 在以C(2，3)为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断正确的是(　ACD　)
A. 点A的坐标是(2，1)或(4，3)
B. △ABC的面积等于4
C. 斜边AB的中点的坐标是(3，2)
D. 点C关于直线AB对称的点是(4，1)
【解析】 如图，设AB的中点P的坐标为(x0，y0).因为△ABC为等腰三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，从而kCP＝＝－1，即x0＋y0－5＝0，与x0－y0＝1联立，解得x0＝3，y0＝2，从而AB的中点P的坐标为(3，2)，故C正确．因为＝3①，而3－yA＝3－(xA－1)＝4－xA，3－yB＝3－(xB－1)＝4－xB，且AC⊥BC，所以·＝(2－xA)(2－xB)＋(3－yA)·(3－yB)＝20－6(xA＋xB)＋2xAxB＝0②.联立①②，解得或所以点A的坐标是(2，1)或(4，3)，故A正确．因为|CP|＝＝，|AB|＝2|CP|＝2，所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故B错误．设点C关于直线AB对称的点为C1，则CC1的中点为P，且x0＝＝3，所以xC1＝4.由＝－1，解得yC1＝1，所以点C关于直线AB对称的点是(4，1)，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则实数a的取值范围是．
【解析】 由得由解得所以－8. 已知点A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标为(1，0)．
【解析】 如图，点A(－3，8)关于x轴对称的点为A′(－3，－8)，A′B与x轴的交点，就是使|MA|＋|MB|最短的点M，直线A′B的方程为＝，当y＝0时，x＝1，所以点M的坐标为(1，0).
(第8题答)
四、 解答题
9. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
【解答】 解方程组得所以l1与l2相交，交点是M.
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
【解答】 对于方程组①×2－②得9＝0，矛盾，所以这个方程组无解，从而l1与l2无公共点，l1∥l2.
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
【解答】 对于方程组①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
10. (1) 已知点A(－1，1)，B(4，2)，在y轴上求一点M，使得|MA|＝|MB|，并求|MA|的值．
【解答】 设M(0，b).由|MA|＝|MB|，及两点间的距离公式得＝，解得b＝9，所以点M(0，9)，|MA|＝＝.
(2) 已知点M到点A(1，0)，B(a，2)及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰有一个，求实数a的值．
【解答】 设M(x，y).因为点M到点A(1，0)，B(a，2)及到y轴的距离都相等，所以整理得消去x得(1－a)y2－4y＋a2－a＋4＝0.当a＝1时，由(1－a)y2－4y＋a2－a＋4＝0，得y＝1，则x＝1，M(1，1).当a≠1时，由(1－a)y2－4y＋a2－a＋4＝0，得Δ＝16－4(1－a)(a2－a＋4)＝0，解得a＝0，则y＝2，x＝，M.综上，当a＝0或1时，满足条件的点M恰有一个．
11. (多选)已知平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　ACD　)
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
【解析】 三条直线将平面分成六部分包含两种情况：①三条直线交于一点，因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1，1)，所以直线x＋ky＝0过此交点，从而k＝－1.②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，此时k＝0或－2.所以实数k的取值集合是{0，－1，－2}．
12. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为5.
【解析】 因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为x轴上的点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和．f(x)的最小值可转化为|MA|＋|MB|的最小值，设点A(－2，4)关于x轴对称的点为A′，则A′(－2，－4).由对称思想可知|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.
13. 已知直线y－3＝k(x－4)(k∈R)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1) 若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数k的值；
【解答】 由题意易得直线AB过定点M(4，3)，由M为AB的中点，得A(8，0)，故k＝＝－.
(2) 求|OA|＋|OB|的最小值．
【解答】 设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则直线AB的方程可写成＋＝1.因为直线AB过点M(4，3)，所以＋＝1，从而|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝3＋2时取等号，故|OA|＋|OB|的最小值为7＋4.2.3　直线的交点坐标与距离公式
第1课时　两条直线的交点坐标、两点间的距离公式
学习 目标 1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系，体会数与形的完美结合． 3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式并会运用两点间的距离公式解决一些简单问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下：
方程组 的解 一组 无数组 无解
公共点的个数 一个 零个
位置关系 重合
2. 两点间的距离公式
类别 图示 公式
数轴上两点间的距离公式 |AB|＝
平面内两点间的距离公式 |AB|＝
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两直线相交，则交点坐标一定是两直线的方程所组成的二元一次方程组的解．(　 　)
(2) 无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　 　)
(3) 若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　 　)
(4) 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2必相交．(　 　)
(5) 在两点间的距离公式中，x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　两直线的交点问题
视角1　求两直线的交点
例1-1　(教材P71例2补充)分别判断下列各组直线是否相交．若相交，求出交点的坐标．
(1) l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2) l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3) l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
对于两直线的方程组成的方程组，若有唯一一组解，则说明这两条直线相交；若无解，则说明这两条直线没有公共点，即这两条直线平行；若有无数组解，则说明这两条直线重合．
视角2　两条直线位置关系的判断
例1-2　若直线l1：mx＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋(m＋1)y＋4＝0平行，则实数m的值为(　 　)
A. 2 B. －3
C. 2或－3 D. －2或－3
变式1　已知直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)，则(　 　)
A. l1与l2相交
B. l1与l2平行
C. l1与l2重合
D. l1与l2的位置关系与a的取值有关
探究2　含参直线过定点问题
例2　(教材P80第16题)已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？
求含参数的二元一次方程表示的直线所过定点坐标，一般有三种方法．
方法一：将方程化为点斜式方程(或斜截式方程等)形式，利用点斜式方程(或斜截式方程等)求出定点坐标；
方法二：将方程化为过两直线交点的直线系方程形式，利用过两直线交点的直线系方程求出定点坐标．
方法三：给参数取上两个不同的值，分别得到两个不同的方程，解它们组成的方程组，求出交点(定点)坐标．
探究3　两点间距离公式的直接应用
例3　(教材P73例3补充)在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使得点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等．
利用坐标平面内两点间的距离公式，可以求平面上任意两个已知点之间的距离．反过来，已知两点之间的距离，也可以根据条件求其中某一个点的坐标．
探究4　利用坐标法研究平面几何图形问题
例4　(教材P73例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
利用坐标法解平面几何问题的一般步骤：
(1) 建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3) 将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
变式4　在△ABC中，D是BC边上任意一点(点D与点B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形．
随堂内化及时评价
1. 直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点的坐标为(　 　)
A. (－1，1) B. (1，－1)
C. (1，1) D. (－1，－1)
2. 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则|PA|＝ ．
3. 过直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点且与直线4x－3y－7＝0平行的直线的方程是(　 　)
A. 3x＋4y＋17＝0　　　　
B. 4x－3y－6＝0
C. 3x＋4y－17＝0　　　　
D. 4x－3y＋18＝0
4. 若直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 过两直线l1：x－3y＋4＝0，l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为(　 　)
A. 3x－19y＝0 B. 19x－3y＝0
C. 19x＋3y＝0 D. 3x＋19y＝0
2. 若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0交于一点，则实数k的值为(　 )
A. －2 B. －
C. 2 D.
3. 已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，那么实数a的值为(　 　)
A. 1 B. －5
C. 1或－5 D. －1或5
4. 已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，那么当|AB|取最小值时，实数a的值为(　 　)
A. － B.
C. － D.
二、 多项选择题
5. 若直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的值可能为(　 　)
A. 1 B.
C. －2 D. －1
6. 在以C(2，3)为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断正确的是(　 　)
A. 点A的坐标是(2，1)或(4，3)
B. △ABC的面积等于4
C. 斜边AB的中点的坐标是(3，2)
D. 点C关于直线AB对称的点是(4，1)
三、 填空题
7. 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则实数a的取值范围是 ．
8. 已知点A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标为 ．
四、 解答题
9. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
10. (1) 已知点A(－1，1)，B(4，2)，在y轴上求一点M，使得|MA|＝|MB|，并求|MA|的值．
(2) 已知点M到点A(1，0)，B(a，2)及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰有一个，求实数a的值．
11. (多选)已知平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　 　)
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
12. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为 .
13. 已知直线y－3＝k(x－4)(k∈R)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1) 若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数k的值；
(2) 求|OA|＋|OB|的最小值．(共45张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
第1课时　两条直线的交点坐标、两点间的距离公式
学习 目标 1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系，体会数与形的完美结合．
3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式并会运用两点间的距离公式解决一些简单问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下：
无数个
相交
平行
2. 两点间的距离公式
类别 图示 公式
数轴上两点间的距离公式 |AB|＝
__________
平面内两点间的距离公式 |AB|＝
____________________
|x2－x1|
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两直线相交，则交点坐标一定是两直线的方程所组成的二元一次方程组的解．
(　　)
(2) 无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交． (　　)
(3) 若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交． (　　)
(4) 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2必相交． (　　)
(5) 在两点间的距离公式中，x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．
(　　)
√
×
×
√
√
典例精讲 能力初成
视角1　求两直线的交点
　　　　　(教材P71例2补充)分别判断下列各组直线是否相交．若相交，求出交点的坐标．
(1) l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
两直线的交点问题
【解答】
探究
1
1－1
(2) l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
【解答】
(3) l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【解答】
对于两直线的方程组成的方程组，若有唯一一组解，则说明这两条直线相交；若无解，则说明这两条直线没有公共点，即这两条直线平行；若有无数组解，则说明这两条直线重合．
视角2　两条直线位置关系的判断
　　　　若直线l1：mx＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋(m＋1)y＋4＝0平行，则实数m的值为 (　　)
A. 2 B. －3 C. 2或－3 D. －2或－3
【解析】
B
1－2
　　　　已知直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)，则 (　　)
A. l1与l2相交 B. l1与l2平行
C. l1与l2重合 D. l1与l2的位置关系与a的取值有关
【解析】
由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0. 因为2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1与l2平行．
B
变式1
　　　(教材P80第16题)已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？
2
含参直线过定点问题
【解析】
探究
2
求含参数的二元一次方程表示的直线所过定点坐标，一般有三种方法．
方法一：将方程化为点斜式方程(或斜截式方程等)形式，利用点斜式方程(或斜截式方程等)求出定点坐标；
方法二：将方程化为过两直线交点的直线系方程形式，利用过两直线交点的直线系方程求出定点坐标．
方法三：给参数取上两个不同的值，分别得到两个不同的方程，解它们组成的方程组，求出交点(定点)坐标．
　　　(教材P73例3补充)在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使得点P到两点A(1， －1)，B(2，0)的距离相等．
3
两点间距离公式的直接应用
【解答】
探究
3
利用坐标平面内两点间的距离公式，可以求平面上任意两个已知点之间的距离．反过来，已知两点之间的距离，也可以根据条件求其中某一个点的坐标．
　　　(教材P73例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
4
利用坐标法研究平面几何图形问题
【解析】
如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
探究
4
在□ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c).
由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
利用坐标法解平面几何问题的一般步骤：
(1) 建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3) 将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
　　　　在△ABC中，D是BC边上任意一点(点D与点B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形．
【解答】
如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)，d≠b，且d≠c.因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d).又d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c，从而|AB|＝|AC|，于是△ABC为等腰三角形．
变式4
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点的坐标为 (　　)
A.(－1，1) B.(1，－1)
C.(1，1) D.(－1，－1)
A
【解析】
【解析】
3. 过直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点且与直线4x－3y－7＝0平行的直线的方程是 (　　)
A. 3x＋4y＋17＝0　　　　 B. 4x－3y－6＝0
C. 3x＋4y－17＝0　　　　 D. 4x－3y＋18＝0
B
【解析】
4. 若直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围
是______________________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 过两直线l1：x－3y＋4＝0，l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为
(　　)
A. 3x－19y＝0 B. 19x－3y＝0
C. 19x＋3y＝0 D. 3x＋19y＝0
【解析】
【答案】D
【解析】
B
3. 已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，那么实数a的值为 (　　)
A. 1 B. －5
C. 1或－5 D. －1或5
C
【解析】
【解析】
D
【解析】
当a＝0时，直线l3：x＝3与x轴垂直，不经过点(1，2)，所以三条直线能构成三角形．
【答案】BCD
6. 在以C(2，3)为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断正确的是 (　　)
A. 点A的坐标是(2，1)或(4，3) B. △ABC的面积等于4
C. 斜边AB的中点的坐标是(3，2) D. 点C关于直线AB对称的点是(4，1)
【解析】
【答案】ACD
三、 填空题
7. 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则实数a的取值
范围是___________．
【解析】
8. 已知点A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标为_________．
【解析】
(1，0)
四、 解答题
9. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
【解答】
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
【解答】
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
【解答】
10. (1) 已知点A(－1，1)，B(4，2)，在y轴上求一点M，使得|MA|＝|MB|，并求|MA|的值．
【解答】
(2) 已知点M到点A(1，0)，B(a，2)及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰有一个，求实数a的值．
【解答】
当a＝1时，由(1－a)y2－4y＋a2－a＋4＝0，得y＝1，则x＝1，M(1，1).
11. (多选)已知平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是 (　　　)
A. 0 B. 2 C. －1 D. －2
ACD
【解析】
三条直线将平面分成六部分包含两种情况：①三条直线交于一点，因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1，1)，所以直线x＋ky＝0过此交点，从而k＝－1.②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，此时k＝0或－2.所以实数k的取值集合是{0，－1，－2}．
【解析】
13. 已知直线y－3＝k(x－4)(k∈R)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1) 若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数k的值；
【解答】
(2) 求|OA|＋|OB|的最小值．
【解答】

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