资源简介

章检测　第二章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．若直线过两点(－1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角是(　A　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】因为直线过点(－1，1)，(2，1＋)，所以直线的斜率k＝＝，即直线的倾斜角α满足tan α＝．又因为0°≤α＜180°，所以α＝30°．
2．圆x2＋y2－4y－1＝0的圆心坐标和半径分别为(　C　)
A．(0，2)，5 B．(0，－2)，5
C．(0，2)， D．(0，－2)，
【解析】由题意知圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝5，该圆的圆心坐标是(0，2)，半径r＝．
3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　C　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
【解析】若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则2m2－6m＋4＝0且4(m－1)2＋4(m－1)2－4(2m2－6m＋4)＞0，解得m＝2．
4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则实数k，b的值分别为(　C　)
A．k＝－，b＝－4 B．k＝，b＝4
C．k＝，b＝－4 D．k＝4，b＝3
【解析】因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心(2，0)，从而k×(－2)＝－1，2×2＋0＋b＝0，解得k＝，b＝－4．
5．若过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为(　C　)
A． B．
C．∪ D．∪
【解析】由题意知圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以其圆心坐标为(2，0)，半径r＝1．若过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，则直线l的斜率必然存在．不妨设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，则＜r，即＜1，整理得k2＜，解得－＜k＜．记l的倾斜角为θ，则－＜tan θ＜．又θ∈[0，π)，所以θ∈∪．
6．已知直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，当直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，等于(　D　)
A．2 B．
C． D．
【解析】因为直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，所以＋＝1，从而a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a＝2＋时等号成立，此时直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值3＋2，且＝＝．
7．已知直线m：x－2y＋2＝0，n：2x－y＋1＝0，若直线l过点P(1，3)，且与直线m，n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是(　A　)
A．－1 B．－
C．－ D．2
【解析】设直线l的斜率为k．由题意知直线m：x－2y＋2＝0与n：2x－y＋1＝0交于点(0，1)．如图，设A(0，1)，点P(1，3)在直线n上，直线l与直线m交于点B．由△PAB为等腰三角形，且为锐角三角形，得tan ∠PAB＝＝＜1，所以∠PAB＜45°，故A必为等腰三角形的顶角顶点，必有k＜0，且∠APB＝∠ABP，从而＝－，解得k＝－1．
(第7题答)
8． 已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心、1为半径的圆上，则|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的最小值为(　D　)
A．18－8 B．18－8
C．19－8 D．19－8
【解析】以正方形ABCD的中心O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)．因为|AP|＝1，所以可设P(1＋cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＋(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2＋cos 2θ＋(2＋sin θ)2＝8sin θ＋8cos θ＋19＝8sin ＋19．因为θ∈[0，2π)，所以θ＋∈，因此，当θ＋＝，即θ＝时，sin 取得最小值－1，|PB|2＋|PC|2＋|PD|2取得最小值19－8．
(第8题答)
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法中正确的有(　AD　)
A． 直线l恒过定点(3，1)
B． 圆C被y轴截得的弦长为4
C． 直线l与圆C可能相离
D． 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
【解析】对于A，l的方程(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0可变形为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，由解得则直线l恒过定点A(3，1)，故A正确；对于B，在(x－1)2＋(y－2)2＝25中，令x＝0，得y＝2±2，故圆C被y轴截得的弦长为2＋2－(2－2)＝4，故B错误；对于C，将点A的坐标(3，1)代入圆C的方程，得(3－1)2＋(1－2)2＜25，可知点A(3，1)在圆C内，则直线l与圆C相交，故C错误；对于D，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心为C(1，2)，当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，而kAC＝＝－，所以直线l的斜率kl＝2，直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确．
10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，下列结论中正确的是(　ABD　)
A．不论a为何值，l1与l2垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
【解析】对于A，因为a×1＋(－1)×a＝0恒成立，所以l1与l2垂直，故A正确；对于B，易知直线l1：ax－y＋1＝0恒过定点A(0，1)，l2：x＋ay＋1＝0恒过定点B(－1，0)，故B正确；对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，该点关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，将其代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不满足不论a为何值，2ax＝0成立，故C不正确；对于D，联立解得所以M，从而|MO|＝＝≤，于是|MO|的最大值是，故D正确．
11．已知曲线Ω：x2＋y2＝|x|－|y|，点P(m，n)在曲线Ω上，则下列结论中正确的有(　BCD　)
A．曲线Ω有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的面积为－1
C．n的最大值为
D．的最小值为－
【解析】当x＞0，y＞0时，Ω：2＋2＝；当x＞0＞y时，Ω：2＋2＝；当x＜0，y＜0时，Ω：2＋2＝；当x＜0＜y时，Ω：2＋2＝．又曲线过原点，所以曲线围成的图形由四个全等的弓形组成，令y＝0，得x＝0或x＝±1．如图，曲线Ω的对称轴只有x轴与y轴，故A错误；曲线Ω围成的图形的面积为4×＝－1，故B正确；由上分析，易知n的最大值为－＝，故C正确；表示曲线上的点与点(2，0)所成直线的斜率，结合图象知，当过(2，0)的直线与圆2＋2＝在第一象限相切时斜率最小，设直线方程为y＝k(x－2)且k＜0，则＝，化简得7k2－6k－1＝(7k＋1)(k－1)＝0，可得k＝－(k＝1舍去)，故D正确．
(第11题答)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为－或－．
【解析】　由题意可知点(－2，3)在反射光线上，设反射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，由直线与圆相切的性质可得＝1，解得k＝－或－．
13．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴的正半轴交于两点A，B(点B在点A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，圆C在点B处的切线在x轴上的截距为－－1．(第一空2分，第二空3分)
【解析】　过点C作CM⊥AB于点M，连接AC(图略)，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝|AB|＝1，所以圆C的半径r＝|AC|＝＝，从而圆心C的坐标为(1，)，于是圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2．在圆C的方程中，令x＝0，得y＝±1，又点B在点A的上方，所以点B的坐标为(0，＋1)，连接BC(图略)，则直线BC的斜率k＝＝－1．由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，所以圆C在点B处的切线的方程为y－(＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋＋1．令y＝0，得x＝－－1，所以所求切线在x轴上的截距为－－1．
14． “曼哈顿距离”由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“曼哈顿距离”为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|．已知动点N在圆x2＋y2＝16上，定点M(4，5)，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为9＋4．
【解析】　方法一：由题意不妨设N(4cos θ，4sin θ)，θ∈[0，2π)，则M，N两点的“曼哈顿距离”为d(M，N)＝|4－4cos θ|＋|5－4sin θ|＝9－4(sin θ＋cos θ)＝9－4sin ≤9＋4，当且仅当sin ＝－1，即θ＝时等号成立．综上，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为9＋4．
方法二：设N(x0，y0)，则x＋y＝16，－4≤x0≤4，－4≤y0≤4，从而d(M，N)＝|4－x0|＋|5－x0|＝9－x0－y0．问题转化为直线x＋y－9＋t＝0与圆x2＋y2＝16有交点，则≤4，解得9－4≤t≤9＋4，因此d(M，N)max＝9＋4．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知直线mx＋y－3m－1＝0恒过定点A．
(1) 若直线l经过点A且与直线2x＋y－5＝0垂直，求直线l的方程；
【解答】　mx＋y－3m－1＝0可化为m(x－3)＋y－1＝0，由可得所以点A的坐标为(3，1)．设直线l的方程为x－2y＋n＝0．因为直线l经过点A(3，1)，所以3－2×1＋n＝0，可得n＝－1，从而直线l的方程为x－2y－1＝0．
(2) 若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3，求直线l的方程．
【解答】　①当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点A，所以直线l的方程为x＝3，符合原点到直线l的距离等于3．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，即kx－y－3k＋1＝0．因为原点到直线l的距离为3，所以＝3，解得k＝－，从而直线l的方程为4x＋3y－15＝0．综上，直线l的方程为x＝3或4x＋3y－15＝0．
16．(15分)已知直线l：x－y＋1＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．
(1) 若直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长；
【解答】　由题意知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径r＝3．因为圆心C(1，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以弦长|AB|＝2＝2＝2．
(2) 求过点(4，－1)且与圆C相切的直线的方程．
【解答】　①当直线的斜率不存在时，过点(4，－1)的直线为x＝4，是圆C的一条切线；②当直线的斜率存在时，设圆C的切线的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，所以圆心C(1，－2)到直线kx－y－4k－1＝0的距离为r，即＝3，解得k＝－，从而切线方程为y＋1＝－(x－4)，化简得4x＋3y－13＝0．综上，所求直线的方程为x＝4或4x＋3y－13＝0．
17．(15分)如图，某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD(包含边界和内部)，AD长为10 m，在AB边上距离A点4 m的点F处放置一只电子狗，在距离A点2 m的点E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v．若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．
(第17题)
(1) 求这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
【解答】　以A为坐标原点，AD，AB所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图，则E(0，2)，F(0，4)．设成功点M(x，y)，则＝，即＝，化简得x2＋2＝．因为点M需在矩形场地内，所以0≤x≤，故成功点M的轨迹方程为x2＋2＝．
(第17题答)
(2) 设P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求点P的横坐标的取值范围．
【解答】　设P(a，0)，0≤a≤10，则直线FP的方程为4x＋ay－4a＝0．因为直线FP与点M的轨迹没有公共点，所以圆心到直线FP的距离大于．由题意知动点P需满足两个条件：①点M的轨迹所在圆的圆心到直线FP的距离d1∈，即＜d1＝＜2，解得＜a＜；②点M的轨迹与y轴的交点N到直线FP的距离d2≥，即d2＝≥，解得a≥．综上，点P的横坐标的取值范围是．
18．(17分)已知半径为的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x－9y－1＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的标准方程．
【解答】　由题意设圆心坐标为(0，b)(b＞0)，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝(b＞0)．因为直线12x－9y－1＝0与圆C相切，所以点C(0，b)到直线l：12x－9y－1＝0的距离d＝＝．又因为b＞0，所以b＝，故圆C的标准方程为x2＋2＝．
(2) 已知A(0，－1)，P为圆C上任意一点，试问：在 y 轴上是否存在定点B(异于点A)，使得为定值？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】　假设存在定点B满足题意，设B的坐标为(0，m)(m≠－1)，P的坐标为(x，y)，则x2＝－2＝－y2＋y－，
所以＝＝＝，
当＝＞0，即m＝3(m＝－1舍去)时，为定值，且定值为．故存在定点B使得为定值，且点B的坐标为(0，3)．
(第18题答)
(3) 在(2)的条件下，若点D(4，6)，试求 |PA|＋|PD|的最小值．
【解答】　由(2)知＝，所以|PB|＝|PA|，从而|PA|＋|PD|＝|PB|＋|PD|，当且仅当P，B，D三点共线时，|PB|＋|PD|最小，且(|PB|＋|PD|)min＝|BD|＝＝5，故|PA|＋|PD|的最小值为5．
19．(17分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，4)，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点Q．
(第19题)
(1) 若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程．
【解答】　当l1的斜率不存在时，易得l1的方程为x＝2，符合题意．当l1的斜率存在时，设l1：y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0．由题设知圆心O到直线l1的距离d＝＝r＝2，解得k＝，此时l1：3x－4y＋10＝0．综上，直线l1的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0．
(2) 设过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．
①设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，试问：k1＋k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】　设l2：y－4＝k(x－2)，联立可得(1＋k2)x2－4k(k－2)x＋(2k－4)2－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝16(4k－3)＞0，即k＞，所以k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＋＝2k＋＝2k＋＝2k－＝－1．
②设线段AB的中点为M，点N(1，0)，若|MN|＝|OM|，求直线AB的方程．
【解答】　设M(x0，y0)，由①知x0＝＝，代入直线方程，可得y0＝．由|MN|＝|OM|，得(x0－1)2＋y＝(x＋y)，化简为15x＋15y－32x0＋16＝0，把x0，y0代入，可得15＋15－32＋16＝0，解得k＝4或k＝，所以直线AB的方程为y－4＝4(x－2)或y－4＝(x－2)，即4x－y－4＝0或16x－3y－20＝0．章检测　第二章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．若直线过两点(－1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角是(　 　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．圆x2＋y2－4y－1＝0的圆心坐标和半径分别为(　 　)
A．(0，2)，5 B．(0，－2)，5
C．(0，2)， D．(0，－2)，
3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　 　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则实数k，b的值分别为(　 　)
A．k＝－，b＝－4 B．k＝，b＝4
C．k＝，b＝－4 D．k＝4，b＝3
5．若过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为(　 　)
A． B．
C．∪ D．∪
6．已知直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，当直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，等于(　 　)
A．2 B．
C． D．
7．已知直线m：x－2y＋2＝0，n：2x－y＋1＝0，若直线l过点P(1，3)，且与直线m，n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是(　 　)
A．－1 B．－
C．－ D．2
8． 已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心、1为半径的圆上，则|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的最小值为(　 　)
A．18－8 B．18－8
C．19－8 D．19－8
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法中正确的有(　 　)
A． 直线l恒过定点(3，1)
B． 圆C被y轴截得的弦长为4
C． 直线l与圆C可能相离
D． 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，下列结论中正确的是(　 　)
A．不论a为何值，l1与l2垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
11．已知曲线Ω：x2＋y2＝|x|－|y|，点P(m，n)在曲线Ω上，则下列结论中正确的有(　 　)
A．曲线Ω有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的面积为－1
C．n的最大值为
D．的最小值为－
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ．
13．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴的正半轴交于两点A，B(点B在点A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为 ，圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 ．
14． “曼哈顿距离”由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“曼哈顿距离”为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|．已知动点N在圆x2＋y2＝16上，定点M(4，5)，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知直线mx＋y－3m－1＝0恒过定点A．
(1) 若直线l经过点A且与直线2x＋y－5＝0垂直，求直线l的方程；
(2) 若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3，求直线l的方程．
16．(15分)已知直线l：x－y＋1＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．
(1) 若直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长；
(2) 求过点(4，－1)且与圆C相切的直线的方程．
17．(15分)如图，某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD(包含边界和内部)，AD长为10 m，在AB边上距离A点4 m的点F处放置一只电子狗，在距离A点2 m的点E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v．若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．
(第17题)
(1) 求这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
(2) 设P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求点P的横坐标的取值范围．
18．(17分)已知半径为的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x－9y－1＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的标准方程．
(2) 已知A(0，－1)，P为圆C上任意一点，试问：在 y 轴上是否存在定点B(异于点A)，使得为定值？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 在(2)的条件下，若点D(4，6)，试求 |PA|＋|PD|的最小值．
19．(17分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，4)，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点Q．
(第19题)
(1) 若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程．
(2) 设过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．
①设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，试问：k1＋k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
②设线段AB的中点为M，点N(1，0)，若|MN|＝|OM|，求直线AB的方程．

展开更多......

收起↑