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第4课时　直线与双曲线
学习 目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法． 2．掌握直线与双曲线相交的弦长和相交弦的中点问题的解决方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)①，双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)②．将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点．当b2－a2k2≠0，即k≠±时：Δ＞0 直线l与双曲线C有两个公共点，此时直线l与双曲线C相交；Δ＝0 直线l与双曲线C有一个公共点，此时直线l与双曲线C相切；Δ＜0 直线l与双曲线C没有公共点，此时直线l与双曲线C相离．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 过点A(1，0)作直线l，使l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线l有2条．(　×　)
(2) 直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　√　)
(3) 当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．(　√　)
(4) 直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　直线与双曲线位置关系的判断
例1　(1) 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则实数k的取值范围是．
【解析】　由题意知直线y＝kx恒过原点，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x．因为直线y＝kx与双曲线－＝1相交，所以－＜k＜．
(2) 若直线l：y＝kx－2与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个交点，则k＝±1或±．
【解析】　联立得(1－k2)·x2＋4kx－5＝0．①当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l的方程为y＝±x－2，而等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有且仅有一个交点，满足题意；②当1－k2≠0时，由直线l与双曲线有且仅有一个公共点，可得Δ＝16k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±，此时满足题意．综上，k＝±1或±．
探究2　直线与双曲线的交点坐标
例2　(教材P124例4补充)已知A，B，C是三个观测站，A在B正东方向6 km处，C在B北偏西30°相距4 km处．某时刻A处检测到P地发出的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时检测到这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若从A地向P地发射信号，求发射方向的角度(即方向角)．
(例2答)
【解析】　如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)．由题意知|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设点P的坐标为(x，y)．因为kBC＝－，BC的中点为D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)①．又|PB|－|PA|＝4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，从而双曲线的方程为－＝1(x≥2)②．联立①②两式，得x＝8，y＝5，所以点P的坐标为(8，5)，因此kPA＝＝，故发射方向的角度为北偏东30°．
判断直线与双曲线的位置关系时，通常将直线与双曲线的方程组成方程组，并消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：Δ＞0 直线与双曲线相交；Δ＝0 直线与双曲线相切；Δ＜0 直线与双曲线相离．特别注意：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．
探究3　直线与双曲线相交的弦长问题
例3　(教材P126例6补充)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1．
(1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
【解答】　由得(1－k2)x2－2kx－2＝0(*)．由双曲线C与直线l有两个不同的交点，知方程(*)有两个不同的实数根，所以解得－＜k＜且k≠±1，从而实数k的取值范围是(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为，求|AB|．
【解答】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)得x1＋x2＝＝2，即k2＋k－＝0，解得k＝或k＝－．因为－＜k＜且k≠±1，所以k＝，从而Δ＝－4k2＋8＝6，于是|AB|＝·＝6．
求直线与双曲线相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与双曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2) 设直线与双曲线的两交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则可以利用弦长公式|P1P2|＝·求弦长．
探究4　直线与双曲线相交弦的中点问题
例4　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】　因为双曲线C的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，且直线x＋2y＝0的斜率为－，双曲线C的渐近线为y＝±x，所以－·＝－1，即＝2，从而双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0．因为双曲线的右顶点(a，0)到渐近线y＝2x的距离为，所以＝，解得a＝1，从而b＝2，于是双曲线C的方程为x2－＝1．
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，求直线l的斜率．
【解答】　若直线l⊥x轴，则点A，B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不合题意，所以直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，则两式相减得(x－x)－＝0，所以(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，化简得·＝4．因为线段AB的中点为M(3，2)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，从而·k＝4，解得k＝6，即直线l的斜率为6．
双曲线中点弦问题的解决方法：
(1) 联立直线与双曲线的方程并消元，再用判别式和中点坐标公式求解．
(2) (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点，M(x0，y0)为线段AB的中点，则kAB·＝．
随堂内化及时评价
1．已知过点(0，1)的直线与双曲线x2－y2＝1的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为(　B　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－，－1)∪(1，)
D．(1，)
【解析】　易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去y并整理得(1－k2)x2－2kx－2＝0．若直线与双曲线x2－y2＝1的左、右两支均相交，则方程(1－k2)x2－2kx－2＝0有两个不相等的实数根，且一正一负，所以解得－1＜k＜1．
2．过双曲线x2－＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交双曲线于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　B　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
【解析】　由双曲线的方程x2－＝1可知，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，则直线l的方程为y＝x－2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2．联立消去y得2x2＋4x－7＝0，所以x1x2＝－，x1＋x2＝－2，从而y1y2＝(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－＋4＋4＝，故·＝－＋＝1．
3．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|＝2．
【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，即＝．因为线段AB的中点为M(2，2)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，从而kAB＝＝＝2，于是直线AB的方程为y－2＝2(x－2)，即y＝2x－2．联立消去y得x2－4x＋3＝0，则x1x2＝3，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝×＝2．
4．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，若过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则点B的坐标为，△AFB的面积为．
【解析】　双曲线－＝1的右顶点为A(3，0)，右焦点为F(5，0)，a＝3，b＝4，c＝5，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，将y＝(x－5)代入双曲线方程并整理得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B，从而S△AFB＝|AF|·|yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作与x轴垂直的直线，该直线与双曲线的一个交点为P，且∠PF2F1＝，则双曲线的渐近线方程为(　C　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】　因为F1(－c，0)，F2(c，0)，所以P．又∠PF2F1＝，所以|PF2|＝2|PF1|＝．因为|PF2|－|PF1|＝2a，所以＝2a，从而＝，于是双曲线的渐近线方程为y＝±x．
2．已知直线l过点(2，1)，且与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则满足题意的直线l的条数为(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，点(2，1)在直线y＝x上，所以满足题意的直线有2条，一条与渐近线y＝－x平行，另外一条(直线x＝2)与双曲线相切．
3．过原点的直线l与双曲线x2－y2＝6交于A，B两点，P为双曲线上一点．若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为(　C　)
A．4 B．1
C． D．
【解析】　由题意可设A(m，n)，B(－m，－n)，P(x，y)，则m2－n2＝6，x2－y2＝6，从而y2－n2＝x2－m2，即＝1．由kPA＝，kPB＝，可得kPA·kPB＝＝1．又kPA＝2，所以kPB＝．
4．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，)，那么双曲线E的方程为(　B　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】　设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知c＝3，a2＋b2＝9．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，－＝1，两式作差得＝＝．又直线AB的斜率是＝－，所以2b2＝a2．将2b2＝a2代入a2＋b2＝9，解得a2＝6，b2＝3，所以双曲线E的方程是－＝1．
二、 多项选择题
5．(2025·连云港期末)已知双曲线C的方程为－y2＝1，则(　AC　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为
C．若直线y＝kx＋1与双曲线C没有公共点，则k＞或k＜－
D．若直线y＝kx＋1与双曲线C仅有一个公共点，则k＝±
【解析】　对于A，因为双曲线C的方程为－y2＝1，所以其渐近线方程为y＝±x，故A正确．对于B，双曲线C的焦点到其渐近线的距离d＝b＝1，故B错误．对于C，联立消去y得(1－4k2)x2－8kx－8＝0 ①．若直线y＝kx＋1与双曲线C没有公共点，则解得k＞或k＜－，故C正确．对于D，当直线y＝kx＋1与双曲线C相切时，方程①只有一个实数根，直线y＝kx＋1与双曲线C仅有一个公共点，则Δ＝(－8k)2＋32(1－4k2)＝0，且1－4k2≠0，解得k＝±；当直线y＝kx＋1与双曲线C的渐近线平行，即1－4k2＝0，k＝±时，直线y＝kx＋1与双曲线C仅有一个公共点．综上，若直线y＝kx＋1与双曲线C仅有一个公共点，则k＝±或k＝±，故D错误．
6．已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则(　BC　)
A．|PF1|－|PF2|＝8 B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4 D．∠F1PF2＝
【解析】　由已知得双曲线的实半轴长为a＝4，虚半轴长为b＝3，则右焦点的横坐标为c＝＝5．由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a＝8，故A错误；设点P(xP，yP)，则S△PF1F2＝×2c×|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故C正确；由|yP|＝4可得xP＝±，由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，则|PF2|＝＝，由双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确；由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．
三、 填空题
7．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的直线l，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝3．
【解析】　由题意知双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．设直线AB的方程为y＝(x＋2)，将其代入双曲线的方程得8x2－4x－13＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，|AB|＝·＝×＝3．
8．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若直线y＝±2x与双曲线E无公共点，则双曲线E的离心率e的取值范围是．
【解析】　因为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x．要使直线y＝±2x与双曲线E无公共点，则有≥2，所以0＜≤，从而1＜e＝≤，即e的取值范围是．
四、 解答题
9．已知焦点在x轴上的双曲线W经过点M(，)，N(－2，－)．
(1) 求双曲线W的离心率e；
【解答】　由题意可设双曲线W的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为双曲线W过点M(，)，N(－2，－)，所以－＝1，－＝1，解得a＝，b＝，从而双曲线W的方程为－＝1．由c＝＝，可得e＝＝．
(2) 若直线l：y＝x－1与双曲线W交于A，B两点，求弦长|AB|．
【解答】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得x2＋2x－9＝0，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－9，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝×4＝8．
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点坐标为(－1，0)，离心率e＝，过点P(0，－1)的直线l交双曲线的左支于A，B两点．
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】　由题意得解得故双曲线C的标准方程为x2－y2＝1．
(2) 若O是坐标原点，且S△AOB＝，求直线l的斜率．
【解答】　显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1．联立得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－．因为直线l交双曲线的左支于A，B两点，所以解得－＜k＜－1．因为S△AOB＝|S△AOP－S△BOP|＝|OP|·|x1－x2|＝＝，可得(x1＋x2)2－4x1x2＝8，即－4＝8，解得k＝0或k＝±．又－＜k＜－1，所以k＝－．
(第10题答)
11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为，所以解得a＝1，b＝，c＝2，故双曲线C的方程为x2－＝1．
(2) 已知直线l经过点F2，且与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB的面积为3，求直线l的方程．
【解答】　显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x并整理得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，则即m2≠，且所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝－＝，故△F1AB的面积S＝|F1F2|·|y1－y2|＝×4×＝＝3，整理得9m4－22m2－15＝0，解得m＝±．故直线l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0．第4课时　直线与双曲线
学习 目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法． 2．掌握直线与双曲线相交的弦长和相交弦的中点问题的解决方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)①，双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)②．将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的 平行，直线l与双曲线C相交于一点．当b2－a2k2≠0，即k≠±时：Δ＞0 直线l与双曲线C有 公共点，此时直线l与双曲线C相交；Δ＝0 直线l与双曲线C有 公共点，此时直线l与双曲线C相切；Δ＜0 直线l与双曲线C 公共点，此时直线l与双曲线C相离．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 过点A(1，0)作直线l，使l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线l有2条．(　 　)
(2) 直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　 　)
(3) 当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．(　 　)
(4) 直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．(　 )
典例精讲能力初成
探究1　直线与双曲线位置关系的判断
例1　(1) 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则实数k的取值范围是 ．
(2) 若直线l：y＝kx－2与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个交点，则k＝ ．
探究2　直线与双曲线的交点坐标
例2　(教材P124例4补充)已知A，B，C是三个观测站，A在B正东方向6 km处，C在B北偏西30°相距4 km处．某时刻A处检测到P地发出的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时检测到这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若从A地向P地发射信号，求发射方向的角度(即方向角)．
判断直线与双曲线的位置关系时，通常将直线与双曲线的方程组成方程组，并消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：Δ＞0 直线与双曲线相交；Δ＝0 直线与双曲线相切；Δ＜0 直线与双曲线相离．特别注意：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．
探究3　直线与双曲线相交的弦长问题
例3　(教材P126例6补充)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1．
(1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为，求|AB|．
求直线与双曲线相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与双曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2) 设直线与双曲线的两交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则可以利用弦长公式|P1P2|＝·求弦长．
探究4　直线与双曲线相交弦的中点问题
例4　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，求直线l的斜率．
双曲线中点弦问题的解决方法：
(1) 联立直线与双曲线的方程并消元，再用判别式和中点坐标公式求解．
(2) (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点，M(x0，y0)为线段AB的中点，则kAB·＝．
随堂内化及时评价
1．已知过点(0，1)的直线与双曲线x2－y2＝1的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为(　 　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－，－1)∪(1，)
D．(1，)
2．过双曲线x2－＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交双曲线于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　 　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
3．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|＝ ．
4．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，若过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则点B的坐标为 ，△AFB的面积为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作与x轴垂直的直线，该直线与双曲线的一个交点为P，且∠PF2F1＝，则双曲线的渐近线方程为(　 　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
2．已知直线l过点(2，1)，且与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则满足题意的直线l的条数为(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．过原点的直线l与双曲线x2－y2＝6交于A，B两点，P为双曲线上一点．若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为(　 　)
A．4 B．1
C． D．
4．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，)，那么双曲线E的方程为(　 　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
二、 多项选择题
5．(2025·连云港期末)已知双曲线C的方程为－y2＝1，则(　 　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为
C．若直线y＝kx＋1与双曲线C没有公共点，则k＞或k＜－
D．若直线y＝kx＋1与双曲线C仅有一个公共点，则k＝±
6．已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则(　 　)
A．|PF1|－|PF2|＝8 B．|PF1|＋|PF2|＝
C．点P到x轴的距离为4 D．∠F1PF2＝
三、 填空题
7．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的直线l，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝ ．
8．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若直线y＝±2x与双曲线E无公共点，则双曲线E的离心率e的取值范围是 ．
四、 解答题
9．已知焦点在x轴上的双曲线W经过点M(，)，N(－2，－)．
(1) 求双曲线W的离心率e；
(2) 若直线l：y＝x－1与双曲线W交于A，B两点，求弦长|AB|．
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点坐标为(－1，0)，离心率e＝，过点P(0，－1)的直线l交双曲线的左支于A，B两点．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若O是坐标原点，且S△AOB＝，求直线l的斜率．
11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 已知直线l经过点F2，且与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB的面积为3，求直线l的方程．(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
第4课时　直线与双曲线
学习 目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法．
2．掌握直线与双曲线相交的弦长和相交弦的中点问题的解决方法．
新知初探·基础落实
渐近线
两个
一个
没有
二、概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 过点A(1，0)作直线l，使l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线l有2条． (　　)
(2) 直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点． (　　)
(3) 当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切． (　　)
(4) 直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系． (　　)
×
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
直线与双曲线位置关系的判断
1
【解析】
　　　(2) 若直线l：y＝kx－2与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个交点，则k＝_____________．
1
【解析】
探究
2
直线与双曲线的交点坐标
　　　(教材P124例4补充)已知A，B，C是三个观测站，A在B正东方向6 km处，C在B北偏西30°相距4 km处．某时刻A处检测到P地发出的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时检测到这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若从A地向P地发射信号，求发射方向的角度(即方向角)．
2
【解答】
判断直线与双曲线的位置关系时，通常将直线与双曲线的方程组成方程组，并消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：Δ＞0 直线与双曲线相交；Δ＝0 直线与双曲线相切；Δ＜0 直线与双曲线相离．特别注意：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．
探究
3
直线与双曲线相交的弦长问题
　　　(教材P126例6补充)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1．
(1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
3
【解答】
　　　(教材P126例6补充)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1．
3
【解答】
求直线与双曲线相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与双曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
探究
4
直线与双曲线相交弦的中点问题
4
【解答】
(2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，求直线l的斜率．
【解答】
4
双曲线中点弦问题的解决方法：
(1) 联立直线与双曲线的方程并消元，再用判别式和中点坐标公式求解．
随堂内化·及时评价
1．已知过点(0，1)的直线与双曲线x2－y2＝1的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1)
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】B
【解析】
【解析】
配套新练案
【解析】
C
【解析】
B
3．过原点的直线l与双曲线x2－y2＝6交于A，B两点，P为双曲线上一点．若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为 (　　)
A．4 B．1
【解析】
C
【解析】
【答案】B
【解析】
对于B，双曲线C的焦点到其渐近线的距离d＝b＝1，故B错误．
【答案】AC
【解析】
【答案】BC
【解析】
3
【解析】
四、解答题
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】
(2) 已知直线l经过点F2，且与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB的面积为3，求直线l的方程．
【解答】

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