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5.1.2　弧度制
基础过关练
知识点1　弧度制的定义、弧度与角度互化
1.角的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.下列转化结果错误的是(　　)
A.67°30'化成弧度是π rad
B.-π化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是π rad
D.化成角度是15°
3.与角终边相同的角的表达式中,正确的是(　　)
A.45°+2kπ,k∈Z
B.k·360°+,k∈Z
C.k·360°+315°,k∈Z
D.2kπ-,k∈Z
4.(我国采用的“密位制”是6 000密位制,即将一个圆周分为6 000等份,每一等份是一个密位,那么300密位等于　　　　　 rad.
知识点2　用弧度表示角的范围
5.(多选)下列表示中正确的是(　　)
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合是α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z
C.终边在坐标轴上的角的集合是αα=,k∈Z
D.终边在直线y=x上的角的集合是αα=+2kπ,k∈Z
知识点3　扇形的弧长及面积
6.在半径为10的圆中,的圆心角所对弧长为(　　)
A. B. C. D.
7.在扇形AOB中,∠AOB=2,弦AB的长为2,则扇形AOB的面积是(　　)
A. B.
C.sin 1 D.sin21
8.在单位圆中,长度为的弦所对的劣弧长是(　　)
A. B. C. D.
9.已知扇形的圆心角是α,半径为r,弧长为l.
(1)若α=105°,r=8 cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为10 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大,最大值是多少 并求出此时的半径r.
能力提升练
10.如果一个扇形的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的倍,那么该弧所对的圆心角是原来的(　　)
A. B.2倍 C. D.3倍
11.若角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β间的关系为(　　)
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z)
D.α-β=+2kπ(k∈Z)
12.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的下嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6 cm,BC=6 cm,AC=10.392 cm.根据测量得到的结果推算《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于(　　)
A. B. C. D.
13.已知A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={x|-4≤x≤4},则A∩B=　　　　.
14.勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形,它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的,其画法是:先画一个正三角形,再以正三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,如图所示,若正三角形ABC的边长为2,则该勒洛三角形的面积为　　　　.
15.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm,所形成的扇形面积为S cm2,分别求d与S关于时间t(s)的函数关系式,其中t∈[0,60].
16.如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
答案
1.A　=2π+,易知角是第一象限角,故角的终边所在的象限是第一象限.
2.C　对于A,因为67°30'=°,所以67°30'=× rad=π rad,A中转化结果正确.
对于B,-π=-π×=-600°,B中转化结果正确.
对于C,-150°=-×150 rad=-π rad≠π rad,C中转化结果错误.
对于D,=×=15°,D中转化结果正确.
故选C.
3.D　在同一个表达式中,角度制与弧度制不能混用,所以A,B错误.
与角终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)的形式,
k=-2时,2kπ+=-,315°换算成弧度制为,所以C错误,D正确.
故选D.
4.答案　
解题思路　设300密位等于x rad,由题意得=,解得x=,
故答案为.
5.ABC　A,B显然正确;
对于C,终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合是,两集合的并集是,故C正确;
对于D,终边在直线y=x上的角的集合是或,两集合的并集是,故D不正确.
6.A　∵半径r=10,圆心角α=,
∴弧长l=αr=.
故选A.
7.B　设扇形AOB的半径为r,
由题意可知,AB=2rsin =2rsin 1=2,
所以r=,所以扇形AOB的面积S=×2×=.故选B.
8.A　在单位圆O中,设弦AB的长度为,取AB的中点C,连接OC,OA,OB,
则OC⊥AB,BC==,sin∠BOC==,
易知0<∠BOC<,所以∠BOC=,
则∠AOB=2∠BOC=,
又弦AB所对的圆心角为∠AOB,圆O的半径为1,
所以弦AB所对的劣弧长等于.
故选A.
9.解题思路　(1)α=105°= rad,
所以l=αr=×8=(cm).
(2)由已知得l+2r=10,
所以该扇形的面积(单位:cm2)S=lr=(10-2r)r=-r2+5r=-+,r∈(0,5),
所以当r= cm时,面积S取得最大值,为 cm2,
此时l=5 cm,r= cm,所以α==2.
故当α为2时,这个扇形的面积最大,最大值是 cm2,此时半径r= cm.
10.D　设扇形原来的半径为r,弧长为l,则圆心角的弧度数为,
将半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则弧度数变为=,即圆心角变为原来的3倍.
故选D.
11.D　由题意得α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),
所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z).
因为k1∈Z,k2∈Z,所以k1-k2∈Z,所以α-β=+2kπ(k∈Z).
12.A　设∠ABC=2θ,∵AB=BC=6 cm,
∴sin θ===0.866≈.
易知θ为锐角,
∴θ≈,
设《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,
则α+2θ=π,∴α=π-2θ≈π-=.
故选A.
13.答案　[-4,-π]∪[0,π]
解题思路　当k≥1,k∈Z时,A∩B= ,
当k=0时,A={α|0≤α≤π},A∩B=[0,π],当k=-1时,A={α|-2π≤α≤-π},A∩B=[-4,-π],
当k<-1,k∈Z时,A∩B= .
综上,A∩B=[-4,-π]∪[0,π].
故答案为[-4,-π]∪[0,π].
14.答案　2π-2
解题思路　因为正三角形ABC的边长为2,所以BC=2,∠ABC=60°,
所以S△ABC=×22=,
易知勒洛三角形的面积为3个圆心角为60°的扇形面积减去2个正三角形面积,
故勒洛三角形的面积为π×22-2=2π-2.
故答案为2π-2.
15.解题思路　∵秒针的旋转方向为顺时针,
∴t s后秒针端点A转过的角α=- rad,
又半径r=5 cm,
∴d=|α|·r=,
∴S=|α|·r2=.
∴d=(t∈[0,60]),S=(t∈[0,60]).
16.解题思路　易知所在的圆半径是2 dm,所对的圆心角为;所在的圆半径是1 dm,所对的圆心角为;所在的圆半径是 dm,所对的圆心角为,所以点A走过的路径长是三段圆弧长之和,即2×+1×+×=(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).

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