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数 学
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．将抛物线 y＝2x2向右平移 1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+1） D．y＝2（x﹣1）2
4．二次函数 y＝x2﹣2x的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，1）
5．方程 x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣3，﹣2 B．1，3，2 C．1，3，﹣2 D．0，﹣3，﹣2
6．如图的图案绕其中心 O旋转一定角度α后能与自身重合，则该角度α可以为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7. 据国家统计局公布的《中华人民共和国 2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从 2021年到 2023
年增长了5.1%，设这两年的平均增长率为 x，下列方程正确的是（ ）
A. (1 x)2 105.1% B. (1 x)2 5.1%
C. (1 x)
2 5.1% D. 1 x2 105.1%
7．已知 y是关于 x的二次函数，部分 y与 x的对应值如表所示：则当 0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 6 3 2 3 m …
A．2＜y＜6 B．2≤y＜6 C．3＜y＜6 D．3≤y＜6
8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在一定条件下，可食用
p at2率 P 与加工时间 t（分钟）满足的函数关系式为： bt c(a 0)，如图记录了
三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A.3.5分钟 B.3.75分钟 C.4分钟 D.4.25分钟
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二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9．若点 A（﹣1，3）与点 B关于原点对称，则点 B的坐标为 ．
10．关于 x的一元二次方程：（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的一个解是 0，则 a的值为 ．
11．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八
尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱 AB，在木柱的上端系有绳索 AC，绳索从木柱上端顺木柱
下垂后，堆在地面部分还有 3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索 AC用完，问绳索长是多少？如果
设绳索长为 x尺，根据题意列方程为 ．
11. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点 1,0 ，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析
式________________．
14．若抛物线 y x2 x c（c是常数）的顶点在 x轴上，则 c的值是 ．
14．已知抛物线 y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过 A（﹣1，0），B（3，0）两点．若 P（﹣2，y1），Q（m，y2）是抛
物线上的两点，且 y1＜y2，则 m的值可以是 ．（写出一个即可）
15．如图，在△ABC中， BAC 100 ，将VABC 绕点 A逆时针旋转 ，得到VADE， E 60 ．若点 B，C，
D恰好在同一条直线上，则 __________ ．
16 2．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点M m,0 ，N n,0 ，其中m n 2，抛物线 y ax bx c a 0
经过点M 和 N ，以下四个结论：
① abc 0；②3a c 0；
③关于 x的一元二次方程 ax2 bx 2c 0无实根；
④点 1, 1 ， 2, 2 在抛物线上且在对称轴的同侧，
3
当 x1 x2 2时，总有 y1 y2 3时，则 a ．其中所有正确结论的序号是_________．4
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17．解方程：x2﹣2x＝1．
18．已知实数 a是 x2﹣3x﹣1＝0的根，求（a+1）（2a﹣1）﹣（a+2）2+1的值．
19． 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象和对称轴如图所示.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若方程ax2 bx c k总有两个正实数根，直接写出 k的取值范围.
20．如图，△ABC中， ACB 90 ，AC BC，点D是边 AC上一点，连接 BD，将△DCB绕点C旋转得到△ECA，
点 E，C， B在同一条直线上，延长 BD交 AE于点 F ．
（1）求 BFE的度数；
（2）若 BDC 67.5 ，求证： AF EF ．
21．已知：关于 x的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k﹣3＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个整数 k的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解．
22．特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克 60元出售，平均每天可售出 100千克，后来经过市场
调查发现，单价每降低 2元，则平均每天的销售可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240
元，请回答：
（1）单价每降低 1元，则平均每天的销售可增加______千克；
（2）每千克核桃应降价多少元？
（3）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的______折出售．
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23．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y kx （1 k 0 6）与双曲线 y = （x＞0）的交点是 A(a, 3)．
x
（1）求 a和k的值；
6
（2）当 x＞3时，对于 x的每个值，函数 y m（x m 0)既大于函数 y = （x＞0）的值，又小于函数 y kx 1的值，
x
直接写出 m的取值范围．
24．如图，矩形 ABCD中，点 E为边 AB上任意一点，连接CE ，点 F为线段CE 的中点，过点 F作 CE的垂线，
分别与 AB ,CD分别相交于点 M、N，连接CM ,EN ．
（1）求证：四边形CNEM为菱形；
（2）若 AB 10， AD 4，当 AE 2时，求EM的长．
25．赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图 1是比赛途中经过的一座拱桥，图 2
是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，桥拱上的点
到水面的竖直高度 y（单位：m）与到点 O的水平距离 x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度 OA为
60米；拱桥最高处到水面的距离 BC为 9米．
（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度 y（单位：m）与到点 O的水平距离 x（单位：m）满足的二次函数解析式；
（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为 9m．龙舟最高处距离水面 2.5m为
保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为 2.5m．问 5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否
可以同时通过桥洞？
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26．已知二次函数 y=x2+bx+1．
（1）若 b= -1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；
（2）若对于任意的0 x 2，都有 y 1，求 b的取值范围．
27．等边△ABC中，点D是边 AC上的一个动点（点D不与点A，C重合），作射线 BE 交射线 AC于点 E，且
DBE 30 ，将线段DB绕点D逆时针旋转60 得到线段DP，作 PF BD于点 H ，分别交 AB，BE 于点 F ，
G ，连接 PC．
1
（1）如图，若 AD AC，
2
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 PC， BF ， AE之间的数量关系，并证明；
（2）若等边△ABC的边长为 5 ，直接写出线段GP长的最小值．
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28．对于平面直角坐标系 xOy中的两点 1, 1 和 2, 2 给出如下定义：如果 x1 x2 1，或者 y1 y2 1，则
称点 M到点 N的距离很远．
已知点 A 3,0 ， B 3,3 ．
5
（1）在点C ,
1
，D 1,2
1
，E 4, 中到点 A的距离很远的是点______；
2 2 2
（2）若抛物线 y ax2上的任意一点到 A，B两点的距离都很远，则 a的取值范围是______；
2
（3）点 P在△OAB的内部或边上，点 Q在直线 y x上，若点 P到 O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出
3
点 P运动区域的面积的最小值及此时的点 Q的坐标.
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