资源简介

空间向量与立体几何：已知线面角与面面角求其他量问题、最值与范围问题专项训练
考点目录
已知线面角求其他量问题 已知面面角求其他量问题
最值与范围问题
1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②不存在，理由见解析
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，
因，则，，且
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，，
则有：，
即，化简得：，
解得或，
又因为，即，所以，即；

②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.

2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点.将沿AE折起，如图2，连接与，且.

(1)证明：平面平面.
(2)设（），是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)求三棱锥的内切球的半径.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故.
又，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面 ；
（2）由（1）知，，则平面平面.
在平面内过作，由平面平面，平面，
则平面，平面，则.
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，
过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由（），
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
故存在，使直线与平面所成角的正弦值为；

（3）由（1）知，，为直角三角形， .
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
.
其中，
故，
故三棱锥的内切球的半径为.
3．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.

(1)求证：平面ABCD；
(2)求面APB与面PBC所成角的正弦值；
(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，，

所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
所以，则，
且平面平面，平面，平面平面，
所以平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，可得，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设平面的法向量为，，
由，取，
，
又由图可知二面角是钝角，
所以二面角的正弦值为；
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
所以.
4．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，为线段上一动点．

(1)证明：平面；
(2)已知四点均在球的球面上．
（i）证明：三点共线；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）2
【详解】（1）显然，于是有，故，
由平面平面，
所以平面，

由平面可知，
又平面平面，
可得平面.
（2）（i）方法一：建系法：
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图：

则，设，
则由，
即
解得，
于是，
故由可知三点共线.
方法二：几何法：
不妨记为中点，为中点，显然有，如下图所示：

而由知，
由平面平面知平面.
由可知，易知有且仅有直线上任一点到的距离相等，
故，
同理，
可知过点且垂直于平面的直线上任一点到的距离相等，故，
由知点即为点，于是三点共线.
（ii）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示：

不妨设，则，
记平面的法向量，
则，即，令，可得；
即可得，
记直线与平面所成角为；
整理可得，解得或（舍去），
故.
5．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且.

(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，4
【详解】（1）在三棱柱中，取的中点M，中点，连接，
则，四边形为平行四边形，，
由点D是BC的中点，且，得，即四点共面，
连接DM，FM，由点F，M分别为，的中点，得且，
则，，于是四边形FMDB为平行四边形，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）由点D是正边BC的中点，得，过作，而平面ABC，
则平面ABC，以D为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由，得，又，则，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
而平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为θ，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）得，，
设，则，
，取AB的中点G，则，，
由侧棱平面ABC，平面，得平面平面ABC，
而平面平面，平面ABC，则平面，又，
由直线PF与平面所成角的正弦值为，得，
解得，所以.
6．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】（1）因为，所以，
因为为的中点，则，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，
又为棱的中点，且，即，则．
因为平面平面平面平面，
所以平面，平面，
又平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）（ⅰ）因为，所以．
所以，因为，所以，
又平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
则，
设，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则．
设直线与平面所成的角为，所以，
整理得，解得（舍），所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则，
所以点到平面的距离为．
7．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，线段的长为
【详解】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，，可得，
又因为，则，可得.
且平面，所以平面.
（2）因为，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
可得，
所以平面与平面夹角正弦值为.
（3）设，
则，可得，
因为平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
当时，，则；
当时，，则；
综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为.
8．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．

(1)求证：；
(2)当与平面所成角取得最大值时，求；
(3)若二面角的余弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
因为且为的中点，所以，
又因为且为的中点，所以，
由，且平面，所以平面，
又由平面，所以.
（2）解：因为，且，可得，
又因为为的中点，所以，
在直角中，由，可得，
所以，可得，
因为，且，平面，所以平面，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
因为为的中点，所以，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设，因为，可得，
可得，即，所以，
又因为为上的动点，设且，且，
可得，解得，
即，所以，
设与平面所成角为，则，
设，当时，取得最小值，
所以当时，取得最大值，即与平面所成角取得最大值，
即，且，所以.
（3）解：由（1）知，平面的法向量为，且，
所以，且，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设二面角的大小为，可得，
因为二面角的余弦值为，所以，
整理得，解得或，
又因为且，
当时，可得；当时，可得，
即的长为或.

1．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱，上，.
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）由正四棱柱性质知：，
以B为坐标原点，以方向为x轴正方向，
以方向为y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
故，
则，故；
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
则有，即，
取，即取，
设平面的法向量为，设，
，
则有，即，
取，，
则，
化简得，解得或，
故或.
2．（25-26高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线与平面平行，理由见解析；
(2)线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，，理由见解析
【详解】（1）直线与平面平行，理由如下：
取的中点，连接，是线段的中点，
是边长为2的等边三角形，故，，
又，，故，，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面；
（2）线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，，
理由如下：
取的中点，连接，
是边长为2的等边三角形，故⊥，，
因为侧面平面，两平面交线为，平面，
所以⊥平面，又平面，
所以⊥，⊥，
因为，，，所以四边形为矩形，
故⊥，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故，设，则，
，故，故，
所以，，
当时，重合，平面与平面夹角为0，余弦值为1，不合要求；
当，即，设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
显然平面的一个法向量为，
所以，
化简得，解得或3（舍去），故，
线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.
3．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在四棱锥中，是斜边为的等腰直角三角形，．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线所成的角；
(3)在棱上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）证明：取中点，已知，
又，
，
以为原点，所在直线分别为轴建系如图，
，，
又，，面，面，
面，得证；
（2）由（1）坐标系，，
记异面直线，成角．
（3）假设在棱上存在点，使得平面与平面成角余弦值，
由（1）坐标系，，
设，
，
设为平面的一个法向量，
即，取，
平面一个法向量，
设平面与平面夹角，，
．
4．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，.
(1)求证：平面；
(2)设为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为，所以.
因为所以.
因为，所以.
所以，所以.
因为平面，，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以.
因为，所以.所以三线两两垂直.
如图所示，分别所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则所以.
设，则，.
设平面EAC的法向量为，则，
所以，令则.
由题易知是平面的一个法向量，
所以，解得.
所以，即.
5．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角的余弦值为，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，则，即，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则平面平面.
（2）若分别是上的点，且，显然为平行四边形，
由平面，平面，则平面，
由平面，平面，则平面，
因为平面，平面，且为异面直线，
故平面与平面平行或重合，所以可由平面平移得到，
令平移后则，所以，，
又截面始终为平行四边形，所以，
要使截面的面积最大，只需且，此时最大；
（3）由（1）平面，在平面内作，如下图示，
可构建如图示的空间直角坐标系，设，则，，，
故，，，，
若是平面的一个法向量，则，可取，
若是平面的一个法向量，则，可取，
由二面角的余弦值为，则，
所以，可得，解得或（舍），
所以.
6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，．

(1)若平面，证明：；
(2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在中，因为，
可得，所以，
又因为底面，且底面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，平面，且平面平面，
所以，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，因为四点共圆，可得，
以为原点，以所在直线分别为轴和轴，过点平行于的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，
设，则，即，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为二面角的余弦值为，
可得，解得，
因为，所以，即的长为.

7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段练习）如图，在三棱锥中，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，是的中点，
∴，且，
又，
，
则，则，
∵，平面，
∴平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图：

则，
所以，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
即，平面的法向量，
∵二面角为，
，
解得λ或（舍），则平面的法向量，
所以与平面所成角的正弦值
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，

所以.又因为平面平面，
平面平面，
平面，所以平面.
又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）连接，因为为等边三角形，则.

所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以.
故，
.
设，则，
即.，
.
设平面的一个法向量为，
则则，取，则，.
故平面的一个法向量为.
又由（1）可知平面的一个法向量为，
由题意可得，即.
解得.又，所以，线段CF的长为2.
1．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系，
.
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）当是的中点时，，则，
设平面的法向量为，，
令，
设与平面所成角为，则．
与平面所成角的正弦值为．
（3）设，
当时，平面与平面重合，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
2．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点．
(1)求该圆台的体积；
(2)若是线段BC的中点，求证：直线平面；
(3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段BD上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，可得圆台的高，
所以圆台的体积为.
（2）取AB中点H，连接A1H，PH，如图，
因为P为BC中点，所以PHAC，，
在等腰梯形中，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（3）延长，交于点O，作直线BO，因为B，O两点分别在平面与平面内，
所以直线BO即为直线，又平面，所以点O即点D，
∵，则，
以直线，，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，所以为的中位线，
则，，，，，
所以，，，，
依题设，则，
设平面QAC的一个法向量为，
则，故可取，
则有：
，
令，则，且，
当时，，此时；
当时， ，当且仅当，即时取等号.
综上，当时，取得最大值为．
3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i），（ii）
【详解】（1）由于，
故，则，
由于E为AC的中点，所以，
因为平面，
故平面，又平面，
故平面平面.
（2）（i）因为，
所以为边长为2的等边三角形，则，
，
，
又平面，
故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）设则，
所以，
则，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
4．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．

(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，，且的中点为，所以，
又平面，故平面，
由于平面，故.

（2）当时，由则，
取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为，故，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得
而，
由于，故，
所以，从而，
故到平面的距离为.

（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
，
故，
，
则，
设平面的法向量为，则
，
取则，
设平面的法向量
，
，
取则，
设平面与平面的夹角为，
故，
，
令，，故，
由于，故
当且仅当，即时取等号，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.

5．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．

(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)O为三棱锥S—ABC外接球的球心，；
(3).
【详解】（1）取的中点E，连接，，
，且的中点为E，
，
，平面，
平面，
平面，
．
（2）

当时， ，则，
取的中点O，连接，故O到四点的距离相等，
所以O为三棱锥外接球的球心，
，，故，，，
设S到平面的距离为，B到平面的距离为，
由等体积法可得，
，
，
，
，，
O到平面的距离．
（3）

以B为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
过点S作平面的垂线，垂足为Q，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，，，
，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
设平面的法向量为，，，
，
取，则，故，
设平面与平面的夹角为，
，
令，，故，
，，当且仅当，即时取等号，
平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时．
6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．

(1)证明：；
(2)设．
（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
7．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．

(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，，
因为，，且的中点为，所以，，
又，，平面，故平面，
由于平面，故．

（2）当时，由，则，
因为，，故，，，
所以，由于，故，
设三棱锥的高为，
所以，三棱锥体积为．
（3）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
过点S作平面的垂线，垂足为，连接，

设为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，，
故，，，，
，则，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，所以，
设平面的法向量，，，则，
，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
故，
，
令，，故，
由于，故，当且仅当，即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为．
方法二：以E点为原点建立如图所示的空间坐标系，

设，，，，，则，，，
设面法向量，则，
，
令，，
同理可得面法向量，
，
令，
因为，其中取“=”，即此时，所以．
8．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，，
(1)求证：平面；
(2)若，．
①求平面与平面夹角的余弦值的最大值；
②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)①，②
【详解】（1）在长方体中,平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可证，
又平面，
所以平面.
（2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
，
设平面的一个法向量，
则，不妨取，，
由（1）知为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则
，
又，当，即时取等，
又点E，F分别是棱，上的动点，且，，
所以，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
②在平面中，过作，
同（1）的证明理由可得，即平面，
所以当在棱时，截面为四边形，
当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形，
，，
又，，
又在棱（不包含端点），所以，解得，
又不在棱端点，所以，
由①知，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值的范围为.空间向量与立体几何：已知线面角与面面角求其他量问题、最值与范围问题专项训练
考点目录
已知线面角求其他量问题 已知面面角求其他量问题
最值与范围问题
1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点.将沿AE折起，如图2，连接与，且.
(1)证明：平面平面.
(2)设（），是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)求三棱锥的内切球的半径.
3．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.
(1)求证：平面ABCD；
(2)求面APB与面PBC所成角的正弦值；
(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
4．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，为线段上一动点．
(1)证明：平面；
(2)已知四点均在球的球面上．
（i）证明：三点共线；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
5．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱平面ABC，，点D是BC的中点，点F是的中点，点E在AC上，且.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)在线段上是否存在一点P，使得直线PF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
6．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
7．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
8．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)当与平面所成角取得最大值时，求；
(3)若二面角的余弦值为，求．
1．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱，上，.
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
2．（25-26高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在四棱锥中，是斜边为的等腰直角三角形，．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线所成的角；
(3)在棱上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
4．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，.
(1)求证：平面；
(2)设为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求.
5．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角的余弦值为，求.
6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，．
(1)若平面，证明：；
(2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求．
7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段练习）如图，在三棱锥中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
1．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的最大值.
2．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点．
(1)求该圆台的体积；
(2)若是线段BC的中点，求证：直线平面；
(3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段BD上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
4．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值．
5．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值．
6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．
(1)证明：；
(2)设．
（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
7．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值．
8．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，，
(1)求证：平面；
(2)若，．
①求平面与平面夹角的余弦值的最大值；
②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围．

展开更多......

收起↑