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数列：数列递推问题、奇偶数列问题、数列恒成立求参问题专项训练
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数列递推问题 奇偶数列问题
数列恒成立求参问题
1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
故选：B.
2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【详解】由可得，即，得，
由可得，，，
故是周期为3的周期数列，且，故.
故选：A.
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知数列中，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，数列满足且，
则，
所以数列是周期为的数列，则.
故选：A.
4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）记为数列的前项之积，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以是公差2的等差数列，
因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：C.
5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知数列满足，，则（ ）
A．是等差数列
B．的前项和为
C．是单调递增数列
D．数列的最小项为
【答案】BCD
【详解】对A、B：由，得，因为，
所以，， ，，从而，
所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，
即，所以，
所以，所以A错误，B正确；
对C：由，易知是单调递增数列，C正确；
对D：，
当且仅当，即时取等，
又为正整数，所以上述不等式等号不成立，
故当时，有最小值，D正确.
故选：BCD．
6．（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习·多选）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ）
A． B．数列的前n项和为
C． D．实数k的最小值为
【答案】AD
【详解】由，得，又，
所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，
所以，即，故A正确；
数列的前n项和为，故B错误；
因为，所以，故C错误；
由，得，令，
所以，，
，所以数列单调递减，
当时，的最大值为，
所以，即实数k的最小值为，故D正确，
故选：AD．
7．（2025·江苏南京·二模·多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由，得，
所以数列是以为公差的等差数列，
而，，所以，得，故A正确；
所以，得，故B正确；
令，解得，对于，
为正，且依次递增；
为负，且依次递增，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
8．（24-25高二下·广东深圳·期中·多选）已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，
【答案】ACD
【详解】对于A，数列中，由，得，因此数列是常数列，
，，A正确；
对于B，数列为等差数列，，显然是递增数列，
当时，，B错误；
对于C，，，
因此，C正确；
对于D，当时，，而数列是递增数列，
则，因此，D正确.
故选：ACD
9．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知数列，下列结论正确的是 ．
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
【答案】①③④
【详解】，
，故①正确；
等价于，
数列是以为首项，公比为2的等比数列，，故②不正确；
若，则，则，
以为首项，公差为3的等差数列，，则，故③正确；
若，则，所以，
所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，，则，即得，故④正确；
故答案为：①③④
10．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为
【答案】
【详解】由于当时，①，
故设，即②，
由①，②对照可得，，解得，
即，
又，则是以3为首项，为公比的等比数列，
故，则
故答案为：
11．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.
（2）由（1）可得，
所以
所以
（3）由（1）可得
易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证.
12．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意每一项都不为零．由得，
所以，
因此是首项为，公比为的等比数列，
所以，故；
（2）对于任意的正整数，因为，所以，
求和得到．
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）在数列中，由，得， 即，
则数列是常数列，而，因此，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，函数，
求导得
则，
而，
所以
.
14．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
故，即，
所以数列的通项公式为；
（2），①
，②
由得，
则，
所以，.
15．（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以
．
16．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，，，，，，
累乘得，
即.
（2）由（1）可得，
则.
（3）先证明.
设函数，，则，
所以在上单调递增，当时，.
故，即，
故
.
1．（25-26高三上·天津宝坻·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且
(1)求的通项公式
(2)设是数列的前项和，求；
(3)设是的前项的积，求证：.
【答案】(1)；
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意有，所以，即，
所以，所以公比，
所以，
由，所以，即，
当时，由有，
所以，当时，，
所以；
（2）由（1）有，
所以；
（3）由题意有，
所以，所以，
要证，只需证，
即证，
令，所以，
由，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
所以，
即，所以.
2．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
得，所以，
从而，
所以，所以.
（2），故，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
综上可得
3．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）记公差为，公比为，
则，，
故，
则
即，
故，解得，故，．
（2）（ⅰ）由，
当为偶数时，
，
而，
两式相减，可得到
，
故此时；
当为奇数时，
，
于是．
（ⅱ）考虑可以构成三角形的情况．
当为奇数时，，
，，
于是，
故要能够以，，为三边构成一个三角形，
则只需即可．
则，
当时，，，
故此时；
当时，显然．
故由为奇数可知此时的最大值为3．
当为偶数时，，
，．
当时，，，，此时显然可构成三角形，
当时，易知，
故只需，即可构成三角形．
而
故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形．
综上，的最大值为3．
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)10170.
【详解】（1）由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）得，，所以数列的通项公式.
（3）由（2）得，，
.
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【详解】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
7．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足：，正项数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)记为数列的前项积，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），
当时，，即，
，
等式两边同除以得①，
当时，②，
两式相减有：，
，
经检验，也满足上式，故.
因为，
则当时，，
累加可得：，
且，
.
经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故.
（2），
，
令，则，
两式相减可以得到：，
.
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
故当为偶数时，，
当为奇数时：，
.
（3）因为，所以，
证明不等式左边：
，
证明不等式右边：
，得证.
8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，,
因为，所以可解得，即.
（2）因为，
所以，
因为
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
综上所述：.
1．（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足．
(1)证明：是数列；
(2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
因为，
所以数列满足条件①，
因为数列公比，所以数列单调递减，即，
故数列满足条件②，
所以是数列得证；
（2）由（1）可知，
，
，
两式相减得，
所以，化简得
很显然数列单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，
所以要使得成立的最小正整数的值为.
2．（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知数列的前n项和为且．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若，求正整数k的所有取值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)可取1，2，3
【详解】（1）因为，所以，所以，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以
；
（3）由（1）（2）可知，，
由，.由可得，所以
整理可得，令，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
又，，
，，
所以，当时，有，即在时不成立.
所以可取1，2，3.
3．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)6
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①-②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2），则，设数列的前项和为，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，为偶数.
，
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，.
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，故使得成立的最大整数为6.
4．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)①；②.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，于是，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；
（2）①由（1）知，，，
.
②由①知，，，
，
而数列单调递增，则，
因此，由存在，使得，得，
所以的取值范围是.
5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，当时，，得，
当，时，，，
两式相减，得，即，
而，则，，
所以是以1为首项，公比的等比数列，
故；
（2），
所以，
，
两式相减，得
，
所以，
由，得，，
即存在使成立，
因为随着增大，在减小，
所以当时，，
故求的取值范围是.
6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，当时，，
所以，化简得，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）因为，
所以，由得，
因为对任意都成立，所以，解得，
故实数m的取值范围为.
7．（24-25高二下·河南濮阳·阶段练习）已知数列满足，，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为①；
故，且②，
由②①得，
所以数列的偶数列是以为首项，公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），
所以即，
所以存在使得成立，即存在使得，
所以，令，
任取，则，
因为，所以，
所以即，
故在上单调递增，同理可得在上单调递减，
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
8．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)
【详解】（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
故，20，的公差为0，公比为1，
所以．
又，设公差为d、公比为，
则，解得或（舍去），
所以，．
（2）法1：由（1）可得，
所以，
，
所以
，
所以．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
法2:：，
．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．数列：数列递推问题、奇偶数列问题、数列恒成立求参问题专项训练
考点目录
数列递推问题 奇偶数列问题
数列恒成立求参问题
1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知数列中，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）记为数列的前项之积，已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习·多选）已知数列满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．的前项和为
C．是单调递增数列 D．数列的最小项为
6．（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习·多选）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ）
A． B．数列的前n项和为
C． D．实数k的最小值为
7．（2025·江苏南京·二模·多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·广东深圳·期中·多选）已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，
9．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知数列，下列结论正确的是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
10．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为
11．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
12．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：．
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数，求．
14．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
15．（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
16．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)证明：.
1．（25-26高三上·天津宝坻·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且
(1)求的通项公式
(2)设是数列的前项和，求；
(3)设是的前项的积，求证：.
2．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项的和.
3．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
7．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足：，正项数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)记为数列的前项积，证明：
8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
1．（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足．
(1)证明：是数列；
(2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值．
2．（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知数列的前n项和为且．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若，求正整数k的所有取值．
3．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
4．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围.
6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.
7．（24-25高二下·河南濮阳·阶段练习）已知数列满足，，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围．
8．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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