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圆的方程：切线问题、弦长问题、切线长定理、公共弦问题、公切线问题专项训练
考点目录
切线问题 弦长问题
切线长定理 公共弦问题
公切线问题
1．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12 B．9 C． D．
5．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则
8．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 .
9．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ．
10．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 .
11．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）求由下列条件所确定的圆的切线方程：
(1)经过点.
(2)经过点.
(3)斜率为.
12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）点P在圆上运动，将它与定点相连，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
（2）已知圆，求过点并与圆C相切的直线方程．
13．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆和圆
(1)过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
7．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为 .
8．（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为
9．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线被圆所截得的弦长为，则 .
10．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆C的方程为：，直线l的方程为：，则直线l被圆C所截的弦长为 ．
11．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D.
(1)求圆M的方程，并求与直线相交的弦长；
(2)设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程.
12．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）已知圆，直线．
(1)设与圆交于，两点，若，求的倾斜角；
(2)设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程．
13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于另一点，若的面积为12，求直线的方程.
1．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
2．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·广西贵港·期末·多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上只有一个点到直线的距离为2
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
4．（24-25高二上·山西·期末·多选）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．直线与圆相离
B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
5．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习·多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为
C．满足的点有两个 D．的面积最大值为
6．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习·多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在点，使得四边形为平行四边形
B．线段的最小值为
C．直线过定点
D．的外接圆恒过两个定点
7．（25-26高二上·江西·阶段练习·多选）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．当为等边三角形时， B．的最小值为4
C．的最小值为 D．直线过定点
8．（24-25高三下·山东·开学考试·多选）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
9．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
10．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 .
11．（25-26高三上·天津红桥·阶段练习）已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 .
12．（25-26高二上·重庆·阶段练习）经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为 ．
13．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）圆过点,,.
(1)求圆的方程；
(2)过圆外一点作圆的切线,求.
1．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（ ）
A．相离 B．有3条公切线
C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为
5．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
6．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4
B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
8．（25-26高二上·江苏·阶段练习·多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为
9．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
10．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ．
11．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ．
12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ．
13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆，，为坐标原点.
(1)若，求圆与圆的公共弦长；
(2)若圆上存在点，使得，求的取值范围.
14．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆：.
(1)设直线与圆相切于点，求点的坐标；
(2)求圆与圆：的公共弦所在直线的方程；
(3)设，，为直线上的动点，，分别与圆交于点，（，均异于，），求点到直线的距离的最大值.
1．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
3．（24-25高三下·江西·开学考试）已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线垂直
D．若圆C与圆恰有三条公切线，则
7．（25-26高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
8．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习·多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆相内切 B．两圆相外切
C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线
9．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 .
10．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 .
11．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）圆和圆的公切线的条数为 .
12．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆．
(1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．
(2)当两圆外切时，
①求的值；
②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求．
13．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N．
(1)求a的值及直线l的方程；
(2)若是等腰直角三角形，求直线的方程．圆的方程：切线问题、弦长问题、切线长定理、公共弦问题、公切线问题专项训练
考点目录
切线问题 弦长问题
切线长定理 公共弦问题
公切线问题
1．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】原点在圆上，而圆心，
直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.
故选：A
3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，则圆心，半径，
所以点与圆心的距离，
所以，
则，.
所以.
故选：C.
4．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12 B．9 C． D．
【答案】A
【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，
所以，所以，
所以.
当且仅当时取最小值.
故选：A.
5．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】圆：的圆心，半径，
点到直线的距离为，则直线的方程可为；
当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得，
解得，则的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：B
6．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为,
由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为，
由相切可得，化简可得，
故是方程的两个根，故
故选：D
7．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则
【答案】
【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即，
由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切，
且圆心为，半径为，可得，由于，解得.
故答案为：.
8．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 .
【答案】或
【详解】由知在圆外，
当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以，
所以，所以，所以切线方程为．
综上，切线方程为或.
故答案为：或.
9．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射后的光线所在直线的方程为 ．
【答案】或
【详解】点关于轴的对称点，
根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点 ，
因为反射光线与圆相切，
易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为，
所以圆心到直线的距离，解得或，
所以反射光线所在直线方程为或
化简可得：或，
故答案为：或
10．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 .
【答案】或
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径，
过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线；
过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即，
当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
此时切线方程为.
故答案为：或
11．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）求由下列条件所确定的圆的切线方程：
(1)经过点.
(2)经过点.
(3)斜率为.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【详解】（1）因为点在圆上，
且圆的圆心为坐标原点，半径为3，
所以，
所以切线的斜率，
所以切线方程为，
即；
（2）因为点在圆外，
设过点且与圆相切的直线方程为：，
则圆心到的距离，
整理得：，
解得或，
所以所求切线方程为或；
（3）设所求切线方程为，
则圆心到的距离，
解得或，
所以所求切线方程为或，
即或.
12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）点P在圆上运动，将它与定点相连，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
（2）已知圆，求过点并与圆C相切的直线方程．
【答案】（1）；
（2）或
【详解】（1）如图所示，

设，因为是线段中点，又，
所以由中点坐标公式可得，所以，
又因为在圆上，所以，所以，
所以线段的中点M的轨迹方程为；
（2）由圆，可得圆心，半径，
若过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，所以是圆的切线；
若过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即，
所以，所以，所以，，
解得，所以切线方程为，即
综上所述：过点并与圆C相切的直线方程为或．
13．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆和圆
(1)过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由配方得：，
可得圆的圆心为，半径为，
①当切线斜率不存在时，显然满足要求；
②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，
即：，
由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得，
则切线方程为，化简可得；
故切线方程为：或.
（2）由配方得：，
可得圆的圆心为，半径为，
设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切，
则，，故可得，
则点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设的轨迹方程为：，
则，，所以，
故圆心的轨迹方程为．
1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】原圆方程配方得，
所以圆心为，半径，
因为直线，
所以直线过定点，因为定点和圆心的距离，
所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为，
所以弦长最短为.
故选：C.
2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，圆心为，
圆心与连线所在直线斜率为：，
因为，
所以点在圆内，
所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以，
由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：，
整理得：
故选：B
3．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
【答案】B
【详解】直线化简为，即直线恒过定点.
当时，取得最小值.
，则直线的斜率为，解得.
故选：B
4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】到圆心距离为：.
又圆半径为：，则弦长为：.
故选：C
5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆即为圆，
则圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
故，
故选：D
6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与轴相切，所以，
所以截轴所得弦长为.
故选：C.
7．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为 .
【答案】，
【详解】设圆心为，则圆的半径为，
故圆的方程为，
圆心到的距离为，
所以直线上截得弦长为，
故，解得，
故此圆的方程为或.
故答案为：，
8．（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为
【答案】4
【详解】直线恒过定点，圆圆心，半径
，即点在圆内，当且仅当时，长最短，
所以.
故答案为：4
9．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线被圆所截得的弦长为，则 .
【答案】或
【详解】由圆的方程，可得，
可得圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
因为直线被圆所截得的弦长为，
由圆的弦长公式，可得，即，即，
整理得，解得或.
故答案为：或.
10．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆C的方程为：，直线l的方程为：，则直线l被圆C所截的弦长为 ．
【答案】
【详解】由可得，
则圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则弦长为.
故答案为：
11．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D.
(1)求圆M的方程，并求与直线相交的弦长；
(2)设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）圆M的半径．
故圆M的方程为．
圆心到直线即的距离，
即，直线与圆M相交，可知弦长为．
（2）因为圆心在直线上，所以．
设点P到直线距离为，则的面积为，所以，
因为且P在圆M上，所以直线PM垂直直线，
所以直线PM的斜率为，故直线PM方程为，
即．
12．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）已知圆，直线．
(1)设与圆交于，两点，若，求的倾斜角；
(2)设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
，
，解得．
所以直线的方程为或．
∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为或．
（2）直线，即，
令，解得，所以直线过定点,
因为轴，当为的中点时，则轴，
所以的方程为，显然不符合题意，
故不为的中点，
因为与圆交于两点，是的中点，所以，
又因为过定点，
所以，
所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）.
所以，即.

13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于另一点，若的面积为12，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或或或
【详解】（1）由圆方程为，得圆心为，
设圆的圆心，则两圆心的中点坐标为，
因为两圆心关于直线对称，则，解得；
圆的方程为，
由点在圆上可得，解得，
所以圆的方程为；
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，可得交圆上两点为，
此时，弦心距为，则，符合题意；
当斜率存在时，直线方程设为，即；
此时弦心距为，半径为5，则，
可得，
等式两边同时平方得，
令，则，解得或，
当时，，解得，
此时直线方程为，即；
当时，，解得或，
此时直线解析式为或，即或；
综上所述，直线解析为：或或或.
1．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径，
点在直线上，
则圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，
设其中一个切点为A，
则切线长，
所以切线长的最小值为.
故选：C.
2．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】

如图所示，连接，
由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径.
因为，，所以所求圆的圆心为中点，
即，半径为，
所以所求圆的方程为，即.
又直线为这两个圆的公共弦所在直线，
由与相减，
可得的方程为.
故选：A
3．（24-25高二上·广西贵港·期末·多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上只有一个点到直线的距离为2
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】BC
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
对于AB，圆心到直线的距离，
则，故A错误，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误.
故选：BC
4．（24-25高二上·山西·期末·多选）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．直线与圆相离
B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】ACD
【详解】
A：圆，，
圆心，半径，圆心到直线的距离为
，直线与圆相离，故A正确；
B：设过点的直线方程为，
所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长，
和圆心的距离为，
最短弦长为，故B错误；
C：当的值最小时，则，
的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确；
D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确.
故选：ACD．
5．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习·多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为
C．满足的点有两个 D．的面积最大值为
【答案】AC
【详解】

圆心到直线的距离，
所以，因为圆的半径为，
根据切线长公式可得，
当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确；
因为，所以四边形的面积等于，
四边形的最小值为，故B错误；
因为，所以，
在直角三角形中，，所以，
设，因为，
整理得，
则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确；
因为，
所以当，即，面积有最大值为，
此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误．
故选：AC
6．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习·多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在点，使得四边形为平行四边形
B．线段的最小值为
C．直线过定点
D．的外接圆恒过两个定点
【答案】ACD
【详解】由圆的方程可知：圆心，半径.

对于A，当时，，，
此时，则，即，又，；
又，，
当时，四边形为平行四边形，A正确；
对于B，，，
，
则当取得最小值时，取得最小值，
当时，，，B错误；
对于C，若点为圆上一点，则，
当点处的切线斜率存在时，切线斜率，
切线方程为，整理可得：；
当点处切线斜率不存在时，也满足，
则在圆上一点处的切线方程为.
设，
则直线方程为：；直线方程为：；
满足方程组，
即坐标满足直线方程，即直线方程为：；
，则，整理可得：，
由得：，直线恒过定点，C正确；
对于D，，，四点共圆，
则的外接圆即为的外接圆，又，
的外接圆是以为直径的圆，
设，则圆心为，半径为，
的外接圆方程为：，
整理为：，
由得：或，
的外接圆恒过定点和，D正确.
故选：ACD.
7．（25-26高二上·江西·阶段练习·多选）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．当为等边三角形时， B．的最小值为4
C．的最小值为 D．直线过定点
【答案】ACD
【详解】
对于A，若为等边三角形，则，
又，根据余弦定理，，故A正确；
对于B，由，得，故B错误；
对于C，在中，根据等面积法，可得，
得，故C正确；
对于D，设点的坐标为，
以线段为直径的圆的方程为，整理得，
将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确.
故选：ACD.
8．（24-25高三下·山东·开学考试·多选）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，；
对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;
对于B:当时，，，，
四边形的面积，所以B错误;
对于C:
，
因为，所以，
由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;
对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，
所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，
此圆方程为：，
因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，
即，化简得：，
所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
故选：ACD.
9．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【答案】
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：
所以，
故答案为：.
10．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 .
【答案】8
【详解】由题意，得圆的半径为4，，
所以，
四边形的面积，
所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值，
由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离，
因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8.
故答案为：8
11．（25-26高三上·天津红桥·阶段练习）已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 .
【答案】
【详解】由圆，即，
则圆心，半径为，
因为直线将圆的面积平分，
所以圆心在直线上，
则，解得，故，
则，
所以．
故答案为：.
12．（25-26高二上·重庆·阶段练习）经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为 ．
【答案】12
【详解】由题可知圆的圆心，半径，
如图，连接，则，
因为，是圆的切线，
所以，，
所以，
所以四边形的面积，
故答案为：12.
13．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点.
(1)若，求的值；
(2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）
由圆可得：
圆心为，半径，其中，
而圆心到直线的距离，
所以，解得，
即的值为1.
（2）由（1）可知，
由勾股定理可得
四边形由两个全等的直角三角形组成。所以
，
当且仅当时成立
所以当四边形有最大面积.
14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）圆过点,,.
(1)求圆的方程；
(2)过圆外一点作圆的切线,求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,，，所以线段的垂直平分线为，
，线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线是，即，
联立与，可得圆心坐标，
所以圆的半径，
故所求为；
（2）.
1．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆即，圆心，半径；
圆即，圆心，半径，
因为，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为，
则到的距离，
所以.
故选：A
2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】联立
两式相减可得.
故选：D.
3．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
圆的圆心为，半径为，
联立与得公共弦所在直线为，
圆心到直线的距离为，
故弦长为，
故选：C
4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（ ）
A．相离 B．有3条公切线
C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为
【答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，
圆与圆相交，有2条公切线，AB错误；
对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误；
对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为，
又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确.
故选：C
5．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
6．（25-26高二上·江西九江·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】

如图所示，连接，
由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径.
因为，，所以所求圆的圆心为中点，
即，半径为，
所以所求圆的方程为，即.
又直线为这两个圆的公共弦所在直线，
由与相减，
可得的方程为.
故选：A
7．（25-26高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4
B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
【答案】BC
【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误．
对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，
同理圆心到y轴的距离等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确．
对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确．
对于D，如图，
因为直线同时经过两圆的圆心，
依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与，
其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，
故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误.
故选：BC.
8．（25-26高二上·江苏·阶段练习·多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为
【答案】ABC
【详解】由，得，则，半径，
由，得，则，半径，
对于A，由于,故两圆相交，则公共弦所在的直线方程为，
即，所以A正确，
对于B，到直线的距离，
所以公共弦的长为，所以B正确，
对于C，因为，，，
所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，
对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，
所以直线为，即，所以D错误，
故选：ABC.
9．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
【答案】
【详解】由题设可得的方程为：，
整理得：，
故答案为：
10．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ．
【答案】
【详解】圆的方程是，简化后为，
联立 ，两式相减，得到，
化简可得.
因此，过两圆交点的直线方程为.
故答案为：.
11．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ．
【答案】
【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程，
也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得
，解得或，
故或，
两种情况下公共弦所在的直线方程均为.
故答案为：.
12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ．
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
又，所以，即两圆相交，
两圆方程作差得到公共弦方程为，
又圆心到公共弦的距离，
所以公共弦长为.
故答案为：
13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆，，为坐标原点.
(1)若，求圆与圆的公共弦长；
(2)若圆上存在点，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，圆即为圆，
的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
则，即两圆相交，
将与相减得，
即两圆公共弦的方程为，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为；
（2）设，由，得，
即得，
即M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆；
又因为M在圆上，即圆D和圆C有公共点，
故，即，即，
解得，
即a的取值范围为.
14．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆：.
(1)设直线与圆相切于点，求点的坐标；
(2)求圆与圆：的公共弦所在直线的方程；
(3)设，，为直线上的动点，，分别与圆交于点，（，均异于，），求点到直线的距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）将代入，得，
解得，
所以点的坐标为.
（2）圆：的圆心的坐标为，半径，
圆：的圆心坐标为，半径，
圆与圆的圆心距为，，
所以圆与圆相交，
用圆与圆的方程作差得，
整理得，
所以圆与圆：的公共弦所在直线的方程为.
（3）依题意可得直线的斜率不能为0，则可设直线：.
由得，
则，即.
设，，则，，.
又因为直线：，直线：，
所以将代入，
得
.
又因为直线，的交点在直线上，所以，解得，
所以直线过定点.
当时，点到直线的距离最大，且最大值为.
1．（25-26高二上·江西·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】将圆化为标准方程为，则圆心和半径分别为
圆的圆心和半径为，
此时圆心距，可知两圆内含，无公切线，故公切线条数为0.
故选：A.
2．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公切线段长为3
D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
【答案】D
【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径
对于A，显然，圆与圆相交，故A错误;
对于B，易知两圆相交，将方程与相减，
得公共弦所在直线的方程为，故B错误;
对于C，因为，，
所以公切线段长为，故C错误;
对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，
又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，
即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;
故选：D.
3．（24-25高三下·江西·开学考试）已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】由题意的标准方程分别为，
则两圆恰有三条公切线，
两圆相外切，圆：，圆：，
．
故选：C．
4．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的方程可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，
因为，，，
所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条.
故选：B.
5．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
6．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线垂直
D．若圆C与圆恰有三条公切线，则
【答案】B
【详解】对于A项，整理直线
可得出，
解方程组可得，直线过定点.
圆的圆心为，半径为，
则，
所以点在圆内，即直线过圆内一定点，
所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确；
对于B项，当时，直线化为.
此时有圆心到直线的距离，且，
因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误；
对于C项，因为，
所以直线l与直线垂直.故C正确；
对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切.
圆可化为，
圆心为，半径为.
因为两圆外切，所以有，
即，
整理可得，化简可得，解得.故D项正确.
故选：B
7．（25-26高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
【答案】ABD
【详解】对于A，由圆，，
可知，故直线的方程为，
即，即得直线恒过定点，A正确；
对于B，即，
当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则，
解得，
当时，如图示，当共线时,；
同理求得当时，，B正确；
对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，C错误
对于D，当时，两圆相交，
，，
将两方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，D正确，
故选：ABD.
8．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习·多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆相内切 B．两圆相外切
C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线
【答案】BCD
【详解】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确；
对于C选项，圆心到的距离为,
同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确；
对于D选项,圆心到的距离为,
同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确；
故选：BCD
9．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 .
【答案】
【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切，
又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，
所以，得到，又，所以，
故答案为：.
10．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 .
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
又和关于对称，联立，解得，且在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或．
故答案为：（答案不唯一，或均可以）．
11．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）圆和圆的公切线的条数为 .
【答案】3
【详解】因为两个圆：和：，
即，，
所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
因为，所以两圆外切，有3条公切线，
故答案为：3
12．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆．
(1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．
(2)当两圆外切时，
①求的值；
②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求．
【答案】(1)两圆相交，理由见解析；
(2)①，②4.
【详解】（1）由圆与圆，
可知两圆圆心分别为，半径，则，
当时，，则，，
所以，故两圆相交．
两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为．
（2）①若两圆外切，则，即，解得．
②因为，所以.
13．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N．
(1)求a的值及直线l的方程；
(2)若是等腰直角三角形，求直线的方程．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）可化为，圆心，半径，
可化为，圆心，半径．
因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得．
两圆相减，得公切线l的方程为，即．
（2）由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，
由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率．
设直线的方程为，
所以点到直线的距离，解得或．
所以直线的方程为或．

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