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2025年10月阳谷县实验中学九年级数学第一次月考试题
学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____
一、单选题（每小题4分，共40分）
1.观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，，，，则的度数是（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60°
3.如图，，与相交于点G.若，，，，则的长为（ ）
A. B.12 C.10 D.20
4.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
5.一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C.D、E、F在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A.点D B.点E C.点F D.点G
8.如图，是面积为的等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面在圆心O下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为，为45°，改造后扶梯的坡比是1:2，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ ）
A. B.m C. D.
二、填空题（每小题5分，共35分）
11.如图，在中，D为边上一点，，,，则的长为______.
12.在中，，若，则的值为_______.
13.直角坐标平面内有一点，与x轴正半轴的夹角的正弦值_______.
14.如图，，是的弦，延长，相交于点P.已知，，则的度数是_______.
15.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为______米.
16.如图，在中，，平分，交的延长线于点F，，，，则______.
17.·如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，己知点和点，点P是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点P的坐标为______.
三、解答题（7个小题，共75分）
18.（共8分）
（1）计算：
（2）计算：
19.（共7分）如图，己知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为，.
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将放大2倍得到；
（2）分别写出A，B两点的对应点，的坐标.
20.（共12分）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视角的仰角、俯角均为13°（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度.身高的王老师，头部高度为，当他站在点B处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别.若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）才能被识别.
（1）求的长度.
（2）若王老师采用后退方案，则从B处至少后退多远，才能被仪器识别 （结果精确到0.1cm，参考数据：,，）
21.·（共12分）己知：如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，与相交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
22.（共12分）有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，己知，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为y、的长为x .
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x取多少时，是正方形.
23.（共10分）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭（图1），图2所示的是侧面示意图，为水平线段，，点H为垂足，，，点P在弧上，且弧所在的圆的圆心O到，的距离之比为5:2，则的长约为多少米
24.（共14分）探索发现；（1）如图1，在中，；求证：；
初步应用：（2）如图2，在中，，，，连接、；求证：.
迁移拓展：
（3）如图3，在中，，H为上一点使，过H作交于G，，求的值；

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