资源简介

(共27张PPT)
课前准备
草稿纸、笔、直尺、课本、作业本、数学工具
美丽的数学心
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.？
我有一个钝角，所以我的内角和是最大的.
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
13.3.1.1 三角形的内角
学习目标
学习重点
探究并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性；
学习如何添加辅导辅助线，证明三角形内角和定理；
在对三角形内角和定理的研究中，探究等边三角形内角和和一般三角形内角的关系，培养从特殊到一般的类比思想；
通过对三角形内角和定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义和价值.
探究并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性；
学习如何添加辅导辅助线，证明三角形内角和定理.
情境引入
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
？思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
新课讲解
三角形的内角和定理的证明
1
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
发现：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
验证结论：
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
还有其他的方法吗？
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
思考归纳
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
★思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
★作辅助线
新课讲解
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
2
例1
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC、∠BDC 的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
数学应用
如图，△ABC中，D在BC 的延长线上，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A＝30°∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例2
总结归纳
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易∠1+∠2=∠3+∠4.
数学应用
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A、∠B、∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为3x°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
即∠A、 ∠B、 ∠C的度数分别为99°、 33°、 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
例3
数学应用
【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC 的高，CE是∠ACB 的平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB、∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
知识巩固
2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 .
练一练：
1.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
3.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
知识应用
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
三角形的内角和定理的实际问题.
例4
3
知识巩固
【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A/B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如图，由题意,得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
D
E
巩固练习
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
3.如图，四边形ABCD中，点E在B上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.
拓展提升
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
拓展
课堂小结
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
课后作业
必做题：P13 练习第1，2题
选做题：配套练习册
大美数学
三角形内角的大小可以有多种组合方式，但内角和始终不变。我们在人生中要学会适应变化，尽管生活中的情况千变万化，但我们要坚守自己的原则和底线，同时灵活调整自己，以适应不同的环境和挑战。

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