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人教版（2024）八年级上第15章轴对称过关检测试卷
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
下列说法正确的是（　　）
A．有一边对应相等的两个等边三角形全等
B．角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等
C．三角形的三条高线交于一点
D．相等的两个角是对顶角
已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022秋 城西区期中）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角为（　　）
A．65° B．65°或50° C．80°或50° D．80°
已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A．B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，
②作直线PQ交AB于点D，
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．
若AB＝2，则AM的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
（2023 云安区二模）如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（　　）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
已知点A(－1，－4)，B(－1，3)，则(　　)
A． A，B关于x轴对称 B． A，B关于y轴对称
C. 直线AB平行于y轴 D． 直线AB垂直于y轴
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
（2023秋 文昌期中）等腰三角形的周长为15，一边长为6，则另一边长为（　　）
A．9 B．6 C．3或4.5 D．3或6
（2022秋 北仑区期中）已知等腰三角形△ABC中，AB＝8，BC＝4，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA．OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，在△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，则AC＝_____．
如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________________
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边上，且与点B关于CD对称，若∠A=40°，则∠ADE=__________．
如图．在中，，．若，则______．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.
过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．
（2024秋 西乡塘区校级期中）（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？
如图，已知直线l1∥l2．
（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°．
（1）求∠B的度数；
（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：
（1）△ABD≌△NCD；
（2）CF=AB+AF．
如图1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】轴对称图形．
【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．
解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，
∴通过轴对称得到的是（1）．
故选：A．
【考点】线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定
【分析】A．根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
B、根据角平分线的性质进行分析即可．
C、分别分析锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的高线解答．
D、根据对顶角的定义，得出对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
解：A．有一边对应相等的两个等边三角形全等，可以用SSS定理判定全等，故本选项正确；
B、角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故本选项错误；
C、锐角三角形的三条高线所在的直线交于一点，故本选项错误；
D、相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．
【考点】命题与定理．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
解：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．　
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时，当等腰三角形的底角为50°时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，它的底角＝＝65°，
当等腰三角形的底角为50°时，它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
综上所述：则它的底角为65°或50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．
【考点】非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，解二元一次方程组，三角形三边关系，等腰三角形的性质．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
【考点】等腰直角三角形，作图—基本作图，线段垂直平分线的性质．
【分析】证明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案．
解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，
∴DA＝DM＝DB，
∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，
∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，
∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，
∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝×2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图证明△AMB是等腰直角三角形．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，即可解答．
解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长半径作圆，交正方形网格的格点为C1，C2，
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长半径作圆，交正方形网格的格点为C3，C4，
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交正方形网格的格点为C5，C6，C7，C8，
综上所述：满足条件的所有格点C有8个．，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据点在坐标系中分别关于坐标轴和原点的对称知识，分别观察A点的对称点，与B点相对应，即可得出
解：∵点A（-1，-4），B（-1，3），
∴点A与点B的横坐标相同，纵坐标不同，
∴直线AB平行于y轴．
故选C．
【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横坐标和纵坐标都互为相反数．
【考点】三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质
【分析】利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE
即：BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴图中全等的三角形共有2对，
选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA．HL．注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为6时，当等腰三角形的底边长为6时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6时，
∵等腰三角形的周长为15，
∴等腰三角形的底边长＝15﹣2×6＝3，
当等腰三角形的底边长为6时，
∵等腰三角形的周长为15，
∴等腰三角形的腰长＝×（15﹣6）＝4.5，
综上所述：等腰三角形的周长为15，一边长为6，则另一边长为3或4.5，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时，
则这个三角形的周长＝8+8+4＝20，
当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
综上所述：这个三角形的周长为20，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况进行计算是解题的关键．
【考点】轴对称﹣最短路线问题，含30度的直角三角形
【分析】作P点分别关于OA．OB的对称点C、D，连接CD分别交OA．OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
解：作P点分别关于OA．OB的对称点C、D，连接CD分别交OA．OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH= OC= ，
CH=OH=，
∴CD=2CH=3．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
、填空题
【考点】垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可知解：AC=AB=5.
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质,解决本题的关键要掌握垂直平分线的性质,利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,即可求解.
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由于△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，由此求出AC=AB=8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．
解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，
∴AC=AB=8，
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13，
∴△BEC的周长为13．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【考点】轴对称的性质．
【分析】首先根据△CDE是△CBD沿CD折叠，可得∠B=∠CED，再根据三角形外角的性质即可求出∠ADE的度数．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵点E在AC边上，且与点B关于CD对称，
∴∠B=∠CED=50°，
∴∠ADE═50°﹣40°=10°．
故答案为：10°．
【点评】本题主要考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得到∠B=∠CED，此题难度不大．
【考点】三角形的外角和定理，等腰三角形的性质
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
解：∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积 =CD·PD可得.
解：∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB ，
∴AD=BD=CD=AB，
∵AP2-PB2=48 ，
∴(AP+PB)(AP-PB)=48，
∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,
∴AB·2PD=48，
∴2CD·2PD=48，
∴CD·PD=12，
∴ △PCD的面积=CD·PD=6.
故答案为：6.
【点评】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，
△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
、解答题
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．
【分析】由AB=AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD．
解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系利用全等三角形的判定定理证出是两三角形全等是关键．　
【考点】全等三角形的判定与性质．等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质得出∠E=∠AOF=60°，AE=AO，∠OAE=60°，求出∠FAO=∠EAG，根据ASA推出△AFO≌△AGE，根据全等三角形的性质得出即可．
证明：∵△AOD和△AOE是等边三角形，
∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO，∠OAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO，
在△AFO和△AGE中，
，
∴△AFO≌△AGE（ASA），
∴AF=AG．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【考点】等腰三角形的性质
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，进行计算即可解答，
（2）分两种情况：当等腰三角形的顶角为80°时，当等腰三角形的一个底角为80°时，然后分别进行计算即可解答．
解：（1）当等腰三角形的顶角为110°时，
它的另外两个底角都＝×（180°﹣110°）＝35°，
∴它的另外两个角是35°，35°，
（2）分两种情况：
当等腰三角形的顶角为80°时，
它的另外两个底角都＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴它的另外两个角是50°，50°，
当等腰三角形的一个底角为80°时，则它的另一个底角也为80°，
∴它的顶角＝180°﹣2×80°＝20°，
∴它的另外两个角是80°或20°，
综上所述：它的另外两个角为50°，50°或80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
【分析】（1）利用尺规作图方法，过直线l1上任意一点作l1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l；
（2）分三种情况画出图形分别计算即可．
解：（1）如图1，直线l即为所求作的直线；
（2）①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图2，
∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离，
根据图形的对称性可知：BC＝2，
∴，
∴，
②当∠ABC＝90°，BA＝BC 时，
如图3，分别过点A，C作直线 l1 的垂线，垂足为M，N，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离，
∴CN＝2，AM＝1，
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM＝CN＝2，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2+BM2＝12+22＝5，
∴，
∴，
③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理②可得，
，
综上所述，△ABC的面积为1或．
【点评】本题是三角形综合题，考查作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线作法、勾股定理等基础知识，解决本题的关键是利用分类讨论思想与整合思想．
【考点】等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质
【分析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形．
（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，
∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
（2）△ABE是等边三角形；理由如下：
连接BE，如图：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识．
【考点】三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）由由三角形外角的性质，可求得∠BAD的度数，根据等角对等边，可得AD=BD；
（2）由∠BAC=70°，易求得∠C=∠BAC=70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形．
解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，而∠ADC=80°，∠B =40°，
∴∠BAD=80°-40°=40°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD.
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵∠B=40°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=70°，
∴∠C=∠BAC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质
【分析】（1）只要证明∠ABD=∠DCN，∠ADB=∠CDN=45°，即可解决问题．
（2）先证明△FDA≌FDN，得到AF=FN，再根据AB=CN，即可证明．
证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠ABD+∠EFB=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∠EFB=∠DFC，
∴∠ABD=∠DCN，
∵DB=DC，∠BDC=90°，BM=CM，
∴∠MDB=∠MDC=∠DBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠ADB=∠CDN，
在△ADB和△NDC中，
，
∴△ABD≌△NCD．
（2）∵△ABD≌△NCD，
∴AD=DN，AB=CN，
在△FDA和△FDN中，
，
∴△FDA≌△FDN，
∴AF=FN，
∴CF=CN+FN=AB+AF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定
【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD＋∠BDE＝90°推出∠ADF＋∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE＋∠EOC＝90°求出∠BDE＋∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；
（3）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由是：延长BD交AC于F，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD＋∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF＋∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180° 90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）不发生变化，
理由是：
∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE＋∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE＋∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180° 90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）能，理由是：
∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180° （∠BDE＋∠EDC＋∠DCF）
＝180° （∠ACE＋∠EDC＋∠DCF）
＝180° （60°＋60°）
＝60°，
即BD与AC所成的角的度数为60°．
【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，掌握这些知识点是解题关键．
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