资源简介

专项突破提升(二)　
三角形全等的证明和应用
(时间：90分钟　满分：142分)
类型一　已知两边对应相等
1．(4分)如图，AB＝AC，DB＝DC，则直接由“SSS”可以判定(　　)
A．△ABD≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECD
D．以上答案都不对
　　　　　
第1题图 第2题图
2．(4分)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥BC，且CF＝BD，CD＝BE，∠AFD＝155°，则∠EDF的度数是(　　)
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，点E 在BC的延长线上，CE＝CD，BD的延长线交AE于点F.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)若BD＝8，DF＝2，求△ABE的面积．
类型二　已知两角对应相等
4．(4分)如图，AC与BD相交于点O，∠DAB＝∠CBA，添加下列哪一个条件后，仍不能使△ADB≌△BCA的是(　　)
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．∠ABD＝∠BAC
5．(8分)如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC.
(1)求证：AD∥BC；
(2)若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB.
类型三　已知一边一角对应相等
6．(8分)如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF.
(1)若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为 ；
(2)若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为 ．
7．(10分)如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中点，AE平分∠BAD，∠AED＝90°，F为AD上一点，AF＝AB.求证：
(1)△ABE≌△AFE；
(2)AD＝AB＋CD.
类型四　利用角平分线构造全等
8．(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且DG平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)如果AB＝a，AC＝b，求AE，BE的长．
9．(12分)如图，已知∠AOB＝90°，OM 是角平分线，三角尺的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于点C，D，PC 和PD 有什么数量关系？请证明你的结论．
类型五　利用倍长中线法构造全等
10．(8分)如图，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，G是EF的中点，求中线DG的取值范围．
11．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
类型六　一线三等角模型
12．(8分)如图，若A，P，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠CPD＝α，PC＝PD.求证：AB＝AC＋BD.
13．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为“在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角”．请问：结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由．
　
(1) (2)
第13题图
类型七　手拉手模型
14．(4分)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上．若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为 ．
15．(4分)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一条直线上，点C，D在EB同侧，连接BD，CE交于点M.若∠CAD＝100°，则∠DME的度数为 ．
16．(10分)如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，连接BE，AD，相交于点F.求证：
(1)AD＝BE；
(2)AD⊥BE.
类型八　动点问题与三角形全等
17．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝24 cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16 cm，D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且∠ADB＝60°，E是AD上一动点(不与点D重合，且DA≠DB)，在DB上截取DF＝DE，连接EF.
(1)若点E与点A重合，求证：BF＝CD；
(2)若点E不与点A重合，线段BF，CD和AE有怎样的数量关系？并证明你的结论．
专项突破提升(二)　
三角形全等的证明和应用
(时间：90分钟　满分：142分)
类型一　已知两边对应相等
1．(4分)如图，AB＝AC，DB＝DC，则直接由“SSS”可以判定(　A　)
A．△ABD≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECD
D．以上答案都不对
　　　　　
第1题图 第2题图
2．(4分)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥BC，且CF＝BD，CD＝BE，∠AFD＝155°，则∠EDF的度数是(　D　)
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，点E 在BC的延长线上，CE＝CD，BD的延长线交AE于点F.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)若BD＝8，DF＝2，求△ABE的面积．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，E是BC延长线上一点，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)证明：由(1)知，△ACE≌△BCD，
∴∠FBE＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠FBE＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝180°－(∠FBE＋∠E)＝180°－90°＝90°.
∴BF⊥AE.
(3)解：∵BD＝8，DF＝2，
∴BF＝10.
由(1)知，△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝8.
∴△ABE的面积为AE·BF＝×8×10＝40.
类型二　已知两角对应相等
4．(4分)如图，AC与BD相交于点O，∠DAB＝∠CBA，添加下列哪一个条件后，仍不能使△ADB≌△BCA的是(　B　)
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．∠ABD＝∠BAC
5．(8分)如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC.
(1)求证：AD∥BC；
(2)若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB.
证明：(1)∵DF⊥AC，BE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，∠BEC＝90°.
∵∠D＝∠B，
∴∠A＝∠C.
∴AD∥BC.
(2)∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF.
∴AF＝CE.
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(AAS)．
类型三　已知一边一角对应相等
6．(8分)如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF.
(1)若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为 ∠A＝∠D ；
(2)若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为 ∠ACB＝∠DFE ．
7．(10分)如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中点，AE平分∠BAD，∠AED＝90°，F为AD上一点，AF＝AB.求证：
(1)△ABE≌△AFE；
(2)AD＝AB＋CD.
证明：(1)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE.
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE(SAS)．
(2)由(1)知，△ABE≌△AFE，
∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF.
∵∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∠AEF＋∠DEF＝90°.
∴∠DEC＝∠DEF.
∵E为边BC的中点，
∴EB＝EC.
∴EF＝EC.
在△ECD和△EFD中，
∴△ECD≌△EFD(SAS)．
∴DC＝DF.
∵AD＝AF＋DF，AB＝AF，
∴AD＝AB＋CD.
类型四　利用角平分线构造全等
8．(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且DG平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)如果AB＝a，AC＝b，求AE，BE的长．
(1)证明：如图，连接BD，DC.
∵DG垂直平分BC，∴BD＝DC.
∵AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴ED＝DF.
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．
∴BE＝CF.
(2)解：由题意，得∠AED＝∠AFD＝90°，∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)．
∴AE＝AF.
由(1)得BE＝CF，
∴AB＋AC＝AE＋AF＝2AE.
∴AE＝＝，
BE＝AB－AE＝a－＝.
9．(12分)如图，已知∠AOB＝90°，OM 是角平分线，三角尺的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于点C，D，PC 和PD 有什么数量关系？请证明你的结论．
解：PC＝PD.证明如下：
如图，过点P分别作PE⊥OB于点E ，PF⊥OA于点F.
由作图知∠CFP＝∠DEP＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠OFP＝∠OEP＝90°，
∴∠FPE＝90°.
∴∠2＋∠FPD＝90°.
又∵∠1＋∠FPD＝90°，
∴∠1＝∠2.
在△CFP和△DEP中，
∴△CFP≌△DEP(ASA)．
∴PC＝PD.
类型五　利用倍长中线法构造全等
10．(8分)如图，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，G是EF的中点，求中线DG的取值范围．
解：如图，延长DG至点M，使GM＝DG，连接MF.
在△DEG和△MFG中，
∴△DEG≌△MFG(SAS)．
∴MF＝DE＝3.
∵DF－MF＜DM＜DF＋MF，
∴7－3＜DM＜7＋3，
即4＜DM＜10.
∵DM＝2DG，
∴4＜2DG＜10.
∴2＜DG＜5.
11．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
解：AD＝CD＋AB.证明如下：
如图，延长AE，DC相交于点F.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F.
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
∴AB＝CF.
∵∠BAE＝∠F，∠DAF＝∠BAE，
∴∠F＝∠DAF.
∴AD＝FD.
∵FD＝CD＋CF，CF＝AB，
∴AD＝CD＋AB.
类型六　一线三等角模型
12．(8分)如图，若A，P，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠CPD＝α，PC＝PD.求证：AB＝AC＋BD.
证明：∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB＝∠A＋∠C.
又∵∠CPB＝∠CPD＋∠BPD，∠A＝∠CPD，
∴∠C＝∠BPD.
在△ACP和△BPD中，
∴△ACP≌△BPD(AAS)．
∴AC＝BP，AP＝BD.
∵AB＝AP＋BP，∴AB＝AC＋BD.
13．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为“在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角”．请问：结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由．
　
(1) (2)
第13题图
(1)证明：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.
又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)解：结论DE＝BD＋CE成立．证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.
∴∠DBA＝∠CAE.
又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
类型七　手拉手模型
14．(4分)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上．若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为 65° ．
15．(4分)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一条直线上，点C，D在EB同侧，连接BD，CE交于点M.若∠CAD＝100°，则∠DME的度数为 40° ．
16．(10分)如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，连接BE，AD，相交于点F.求证：
(1)AD＝BE；
(2)AD⊥BE.
证明：(1)∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴CE＝CD，CB＝CA.
∴∠DCE＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD.
∴∠ECB＝∠DCA.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)．
∴AD＝BE.
(2)由(1)得△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAD.
∵∠ABC＋∠CAD＋∠BAD＝90°，
∴∠ABC＋∠CBF＋∠BAD＝90°.
∴∠AFB＝90°.
∴AD⊥BE.
类型八　动点问题与三角形全等
17．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝24 cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16 cm，D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为 4或6 cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
18．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且∠ADB＝60°，E是AD上一动点(不与点D重合，且DA≠DB)，在DB上截取DF＝DE，连接EF.
(1)若点E与点A重合，求证：BF＝CD；
(2)若点E不与点A重合，线段BF，CD和AE有怎样的数量关系？并证明你的结论．
(1)证明：如图(1)．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE＝DF，∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
∴∠EDF＝∠EFD＝60°.
∴∠AFB＝∠ADC＝120°.
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌△ACD(AAS)．
∴BF＝CD.
　　
(1) (2)
第18题解图
(2)解：BF＝CD＋AE.证明如下：
如图(2)，在边BF上取BG，使BG＝CD，连接AG.
∵DE＝DF，∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
∴DE＝DF，∠ADC＝120°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABG和△ACD中，
∴△ABG≌△ACD(SAS)．
∴AG＝AD.
∵∠EDF＝60°，
∴△AGD是等边三角形．
∴AD＝GD.
∴AD－DE＝GD－DF，即AE＝GF.
∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE.
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