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专项突破提升(三)　
轴对称与等腰三角形的应用
(时间：90分钟　满分：124分)
类型一　轴对称
1．(4分)下列剪纸作品中，属于轴对称图形的是(　　)
2．(4分)下列图案中，是轴对称图形且对称轴有且只有两条的是(　　)
A．等腰梯形 B．等边三角形
C．长方形 D．直角三角形
3．(4分)下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．其中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二　关于坐标轴对称的点的坐标
4．(4分)在平面直角坐标系内，P(2x－6，5－x)关于x轴的对称点在第三象限，则x的取值范围为(　　)
A．3＜x＜5 B．x＜3
C．x＞5 D．－5＜x＜3
5．(4分)平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 ．
6．(10分)如图，在平面直角坐标系中有三个点A(2，3)，B(1，1)，C(4，2)，连接A，B，C三点．
(1)请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出各对称点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若M(x，y)是△ABC内部任意一点，请直接写出点M在△A′B′C′内部的对应点M1的坐标．
类型三　等腰三角形
7．(4分)若等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16 B．18
C．20 D．16或20
8．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．(4分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成2个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．(4分)若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 ．
类型四　等腰三角形的应用
11．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ADB的度数为(　　)
A．30° B．40°
C．60° D．25°
12．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是(　　)
A．∠BAC＝60° B．∠DOC＝85°
C．BC＝CD D．AC＝AB
13．(4分)如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′ 在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 cm.
14．(8分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上，且AB＝AC，AE＝AF.求证：∠BAF＝∠CAE.
15．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，P为BC上的任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F.
(1)PE，PF，CD三条线段有何数量关系？(写出推理过程)
(2)若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间的上述数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出新的数量关系并说明理由．
类型五　等腰三角形的存在性问题
16．(4分)线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
17．(10分)如图，已知A(3，1)，
(1)若点B在坐标轴上，则使得△OAB是以OA为底的等腰三角形的点B有 个；
(2)若点B在x轴上，则使得△OAB是以OA为腰的等腰三角形的点B有 个；
(3)若点B在坐标轴上，使得△ABO是等腰三角形，则满足条件的点B共有 个．
类型六　利用平行线构造等腰三角形
18．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AEF的周长为 ．图中共有 个等腰三角形，分别是 ；EF与BE，CF之间的关系是 ．
(2)如图(2)，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明．
　
(1) (2)
第18题图
类型七　利用截长补短法构造等腰三角形
19．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.
类型八　依据角平分线及垂线构造等腰三角形
20．(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
专项突破提升(三)　
轴对称与等腰三角形的应用
(时间：90分钟　满分：124分)
类型一　轴对称
1．(4分)下列剪纸作品中，属于轴对称图形的是(　A　)
2．(4分)下列图案中，是轴对称图形且对称轴有且只有两条的是(　C　)
A．等腰梯形 B．等边三角形
C．长方形 D．直角三角形
3．(4分)下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．其中，正确的有(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二　关于坐标轴对称的点的坐标
4．(4分)在平面直角坐标系内，P(2x－6，5－x)关于x轴的对称点在第三象限，则x的取值范围为(　B　)
A．3＜x＜5 B．x＜3
C．x＞5 D．－5＜x＜3
5．(4分)平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 06．(10分)如图，在平面直角坐标系中有三个点A(2，3)，B(1，1)，C(4，2)，连接A，B，C三点．
(1)请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出各对称点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若M(x，y)是△ABC内部任意一点，请直接写出点M在△A′B′C′内部的对应点M1的坐标．
解：(1)作图略．
A′(2，－3)，B′(1，－1)，C′(4，－2)．
(2)S△ABC＝3×2－×1×2－×1×3－×1×2＝2.5.
(3)M1(x，－y)．
类型三　等腰三角形
7．(4分)若等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　C　)
A．16 B．18
C．20 D．16或20
8．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有(　D　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．(4分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成2个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画(　C　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．(4分)若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 70°或40° ．
类型四　等腰三角形的应用
11．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ADB的度数为(　C　)
A．30° B．40°
C．60° D．25°
12．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是(　B　)
A．∠BAC＝60° B．∠DOC＝85°
C．BC＝CD D．AC＝AB
13．(4分)如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′ 在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm.
14．(8分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上，且AB＝AC，AE＝AF.求证：∠BAF＝∠CAE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵AE＝AF，∴∠AFB＝∠AEC.
在△ABF和△ACE中，
∴△ABF≌△ACE(AAS)．
∴∠BAF＝∠CAE.
15．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，P为BC上的任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F.
(1)PE，PF，CD三条线段有何数量关系？(写出推理过程)
(2)若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间的上述数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出新的数量关系并说明理由．
解：(1)CD＝PE＋PF.理由如下：
如图(1)，连接PA.
∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF.
又∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC，
∴AB·CD＝AB·PE＋AC·PF.
∵AB＝AC，∴CD＝PE＋PF.
(2)关系：CD＝PE＋PF或CD＝PF－PE或CD＝PE－PF.理由如下：
如图(1)，当点P在线段BC上时，CD＝PE＋PF.
如图(2)，当点P在线段CB的延长线上时，连接PA.
∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF.
又∵S△ABC＝S△PAC－S△PAB，
∴AB·CD＝AC·PF－AB·PE.
∵AB＝AC，∴CD＝PF－PE.
如图(3)，当点P在线段BC的延长线上时，连接PA.
∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF.
又∵S△ABC＝S△PAB－S△PAC，
∴AB·CD＝AB·PE－AC·PF.
∵AB＝AC，∴CD＝PE－PF.
　
(1) (2)
(3)
第15题解图
类型五　等腰三角形的存在性问题
16．(4分)线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是(　C　)
A．4 B．5 C．6 D．7
17．(10分)如图，已知A(3，1)，
(1)若点B在坐标轴上，则使得△OAB是以OA为底的等腰三角形的点B有 2 个；
(2)若点B在x轴上，则使得△OAB是以OA为腰的等腰三角形的点B有 3 个；
(3)若点B在坐标轴上，使得△ABO是等腰三角形，则满足条件的点B共有 8 个．
类型六　利用平行线构造等腰三角形
18．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AEF的周长为 30 ．图中共有 2 个等腰三角形，分别是 △BDE，△CFD ；EF与BE，CF之间的关系是 EF＝BE＋CF ．
(2)如图(2)，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明．
　
(1) (2)
第18题图
解：(2)BE－CF＝EF.证明如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠DCG.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG.
∴BE＝DE，CF＝DF.
又∵DE－DF＝EF，
∴BE－CF＝EF.
类型七　利用截长补短法构造等腰三角形
19．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.
证明：(方法1：截长法)如图(1)，在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD.
在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS)．
∴∠BED＝∠BAC＝108°.
∴∠DEC＝72°.
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠C＝∠ABC＝36°.
∴∠CDE＝72°.
∴∠CDE＝∠CED.
∴CD＝CE.
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.
　　
(1) (2)
第19题解图
(方法2：补短法)如图(2)，延长BA至点E，使BE＝BC，连接DE.
易证得△EBD≌△CBD(SAS)．同理可证EA＝ED.∴CD＝DE＝AE.
∴BC＝BE＝AB＋AE＝AB＋CD.
类型八　依据角平分线及垂线构造等腰三角形
20．(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明：如图，延长CD交BA的延长线于点T.
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，
∴∠ABF＝∠ACT.
在△BAF和△CAT中，
∴△BAF≌△CAT(ASA)．
∴BF＝CT.
∵BD平分∠CBT，
∴∠CBD＝∠TBD.
∵∠CBD＋∠BCD＝90°，∠TBD＋∠T＝90°，
∴∠BCT＝∠T.
∴BC＝BT.
∴CD＝TD.
∴BF＝CT＝2CD.
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