资源简介

专项突破提升(一)　
三角形内角与外角的应用
(时间：90分钟　满分：114分)
类型一　三角形的内角和
1．(4分)若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．(4分)如图，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠A＝25°，则∠E的度数为(　　)
A．40° B．50° C．45° D．60°
3．(4分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上．若AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D的度数为 ．
4．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，点D在BC上，求∠1，∠2的度数．
5．(8分)在△ABC中，∠A－∠B＝20°，∠C＝3∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
类型二　直角三角形的两锐角互余
6．(4分)下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A－∠B＝90°
D．∠A＝∠B＝3∠C
7．(4分)如图，已知∠ABC＝50°，AC⊥CE，DE⊥CE，则∠D的度数为(　　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．(4分)如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．∠1＝∠A B．∠1＋∠B＝90°
C．∠2＝∠A D．∠A＝∠B
类型三　三角形的外角
9．(4分)如图，∠1＝105°，∠2＝140°，那么∠3的度数为(　　)
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．(4分)某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．(4分)将一副三角尺按如图的方式重叠摆放，则∠1的度数为(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．105°
12．(4分)如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 ．(用“>”连接)
类型四　三角形的折叠问题
13．(4分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝25°，则∠EDC的度数为(　　)
A．70° B．65°
C．50° D．40°
14．(4分)如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝79°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内．若∠1＝30°，则∠2的度数为(　　)
A．29° B．30° C．31° D．32°
15．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为 ．
类型五　三角形的内外角和及应用——转化思想
16．(4分)如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝(　　)
A．360° B．720°
C．540° D．240°
17．(12分)综合实践．
(1)如图(1)，我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；
(2)如图(2)，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ；(填度数)
(3)如图(3)，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
　
(1) (2)
(3)
第17题图
类型六　三角形的内角和的应用
18．(4分)下列给定的条件中，不能判定三角形是直角三角形的是(　　)
A．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C
D．∠A＝∠B＝∠C
19．(10分)如图，已知△ABC中的高为AD，角平分线为AE.若∠B＝28°，∠ACD＝52°，求∠EAD的度数．
类型七　三角形角平分线的夹角
20．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点 A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点 A2，则∠A2的度数为(　　)
A．48° B．24° C．36° D．12°
21．(12分)[问题引入]
(1)①如图(1)，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ；(用含α的代数式表示)
②如图(2)，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ ．(用含α的代数式表示)
[拓展研究]
(2)如图(3)，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ (用含α的代数式表示)，并说明理由．
[类比研究]
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们相交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ ．(用含n，α的代数式表示)
　　
(1) (2) (3)
第21题图
专项突破提升(一)　
三角形内角与外角的应用
(时间：90分钟　满分：114分)
类型一　三角形的内角和
1．(4分)若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是(　B　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．(4分)如图，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠A＝25°，则∠E的度数为(　B　)
A．40° B．50° C．45° D．60°
3．(4分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上．若AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D的度数为 36° ．
4．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，点D在BC上，求∠1，∠2的度数．
解：∵∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－70°＝50°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°.
∴∠1＝180°－∠B－∠BAD＝180°－60°－25°＝95°.
∴∠2＝180°－∠C－∠CAD＝180°－70°－25°＝85°.
5．(8分)在△ABC中，∠A－∠B＝20°，∠C＝3∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设∠B＝x°，则∠A＝(20＋x)°，∠C＝3x°.根据三角形的内角和定理，得(20＋x)°＋x°＋3x°＝180°，解得x＝32.∴∠A＝52°，∠B＝32°，∠C＝96°.
类型二　直角三角形的两锐角互余
6．(4分)下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是(　A　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A－∠B＝90°
D．∠A＝∠B＝3∠C
7．(4分)如图，已知∠ABC＝50°，AC⊥CE，DE⊥CE，则∠D的度数为(　C　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．(4分)如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论中一定正确的是(　C　)
A．∠1＝∠A B．∠1＋∠B＝90°
C．∠2＝∠A D．∠A＝∠B
类型三　三角形的外角
9．(4分)如图，∠1＝105°，∠2＝140°，那么∠3的度数为(　B　)
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．(4分)某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数为(　B　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．(4分)将一副三角尺按如图的方式重叠摆放，则∠1的度数为(　C　)
A．45° B．60°
C．75° D．105°
12．(4分)如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 ∠3>∠2>∠1 ．(用“>”连接)
类型四　三角形的折叠问题
13．(4分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝25°，则∠EDC的度数为(　A　)
A．70° B．65°
C．50° D．40°
14．(4分)如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝79°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内．若∠1＝30°，则∠2的度数为(　D　)
A．29° B．30° C．31° D．32°
15．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为 6° ．
类型五　三角形的内外角和及应用——转化思想
16．(4分)如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝(　D　)
A．360° B．720°
C．540° D．240°
17．(12分)综合实践．
(1)如图(1)，我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ；
(2)如图(2)，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ 540° ；(填度数)
(3)如图(3)，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
　
(1) (2)
(3)
第17题图
解：(3)2∠P＝∠D＋∠B.证明如下：
根据三角形的外角性质，得∠1＋∠D＝∠P＋∠3，∠4＋∠B＝∠2＋∠P.
∴∠1＋∠D＋∠4＋∠B＝∠P＋∠3＋∠2＋∠P.
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠P＝∠D＋∠B.
类型六　三角形的内角和的应用
18．(4分)下列给定的条件中，不能判定三角形是直角三角形的是(　C　)
A．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C
D．∠A＝∠B＝∠C
19．(10分)如图，已知△ABC中的高为AD，角平分线为AE.若∠B＝28°，∠ACD＝52°，求∠EAD的度数．
解：∵AD为高，∠B＝28°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝62°.
∵∠ACD＝52°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝24°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝12°.
∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝50°.
类型七　三角形角平分线的夹角
20．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点 A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点 A2，则∠A2的度数为(　B　)
A．48° B．24° C．36° D．12°
21．(12分)[问题引入]
(1)①如图(1)，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ 90°＋α ；(用含α的代数式表示)
②如图(2)，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ 120°＋α ．(用含α的代数式表示)
[拓展研究]
(2)如图(3)，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ 120°－α (用含α的代数式表示)，并说明理由．
[类比研究]
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们相交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ α ．(用含n，α的代数式表示)
　　
(1) (2) (3)
第21题图
解：　(2)120°－α.理由如下：
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)
＝180°－(∠DBC＋∠ECB)
＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC)
＝180°－(∠A＋180°)＝120°－α.
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