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思想方法集锦
(时间：90分钟　满分：126分)
方法一　方程思想
1．(4分)已知三条线段的比：①2∶3∶4；②1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；　⑥6∶8∶10.其中，可构成三角形的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．(4分)如图(1)，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等．若要将其围成如图(2)所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是(　　)
　　　
(1) 　　 　 (2)
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(4分)若三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 三角形．
4．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC.求∠C的度数．
方法二　分类讨论思想
5．(4分)在多项式4x2＋1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(4分)如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 ．
7．(8分)在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD为AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数．
8．(8分)解方程：＝(m为常数)．
方法三　数形结合思想
9．(4分)如图，将分割的正方形拼接成长方形的方案中，可以验证(　　)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
10．(10分)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图(1)所示(a＞1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠、无缝隙)，如图(2)和图(3)，其面积分别为S1，S2.
(1)请用含a的代数式分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1＋S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
　　
(1) 　 　 (2)
(3)
第10题图
方法四　转化思想
11．(4分)若代数式的化简结果为3a－6，则整式A为(　　)
A．－a＋1 B．a－1
C．－a－1 D．a＋1
12．(4分)如图，∠AOB＝25°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，则β－α的值为(　　)
A．50°　 B．40°
C．30° D．25°
13．(10分)如图，∠BMC＝130°，∠AND＝80°，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
方法五　整体思想
14．(4分)若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3的值为(　　)
A．5　 B．1 C．－1 D．0
15．(4分)若x2＋5x＋1＝0，则x2＋的值为(　　)
A．23 B．231 C．21 D．19
16．(4分)若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值为 ．
17．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，求∠1＋∠2的度数．
方法六　换元思想
18．(4分)在分式方程＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为(　　)
A．y2＋5y＋5＝0 B．y2－5y＋5＝0
C．y2＋5y＋1＝0 D．y2－5y＋1＝0
19．(12分)因式分解：
(1)(a2＋a＋1)(a2－6a＋1)＋12a2；
(2)(a－b)2－4(b－c)(c－a)；
(3)(a＋b－2ab)(a＋b－2)＋(1－ab)2.
方法七　从特殊到一般的思想
20．(12分)如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B＝α，∠C＝β，且α>β.
　
(1) (2)
　
(3) (4)
第20题图
(1)如图(1)，当点M与点A重合，α＝70°，β＝40°时，求∠DMN的度数；
(2)如图(2)，当点M在线段AD上(不与A，D两点重合)时，求证：∠DMN＝(α－β)；
(3)如图(3)，当点M在线段AD的延长线上时，(2)中的结论成立吗？为什么？
(4)如图(4)，在(2)的条件下，过点M作AD的垂线交CB的延长线于点P，直接写出∠MPD的度数．(用含α，β的式子表示)
思想方法集锦
(时间：90分钟　满分：126分)
方法一　方程思想
1．(4分)已知三条线段的比：①2∶3∶4；②1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；　⑥6∶8∶10.其中，可构成三角形的有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．(4分)如图(1)，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等．若要将其围成如图(2)所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是(　C　)
　　　
(1) 　　 　 (2)
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(4分)若三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 直角 三角形．
4．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC.求∠C的度数．
解：设∠C＝x.
∵AB＝AD＝DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝x.
∴∠DAE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2x，
∠B＝∠ADB＝∠DAE＋∠C＝3x.
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴3x＋x＋100°＝180°，
解得x＝20°.∴∠C＝20°.
方法二　分类讨论思想
5．(4分)在多项式4x2＋1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有(　C　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(4分)如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 25°或115° ．
解析：如图1，当点B′在直线BC的下方时．
图1
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°.
∴∠ADB′＋∠ADB＝360°－90°＝270°.
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB＝×270°＝135°.
∵∠B＝20°，
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－20°－135°＝25°.
如图2，当点B′在直线BC的上方时．
图2
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°.
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB＝×90°＝45°.
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－20°－45°＝115°.
故答案为25°或115°.
7．(8分)在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD为AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数．
解：如图(1)，∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°.
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝＝65°.
　
(1) 　 (2)
第7题解图
如图(2)，∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝25°.
综上所述，∠C的度数为65°或25°.
8．(8分)解方程：＝(m为常数)．
解：去分母，得2x2－(m＋1)＝(x＋1)2.
去括号，得2x2－m－1＝x2＋2x＋1.
移项，得2x2－x2－2x＝1＋1＋m.
合并同类项，得x2－2x＝m＋2.
∴x2－2x＋1＝m＋3.
∴(x－1)2＝m＋3.
∴共有2种情况：
①当m＜－3时，原方程无解；
②当m≥－3时，x＝1±.
当x＝0时，m＋3＝1，解得m＝－2.
将m＝－2代入x＝1±，
解得x＝2或x＝0(舍去)．
∴当m＝－2时，原分式方程有解．
当x＝－1时，m＋3＝4，解得m＝1.
将m＝1代入x＝1±，
解得x＝3或x＝－1(舍去)．
∴当m＝1时，原分式方程有解．
综上所述，当m＜－3时，原分式方程无解；当m≥－3时，原分式方程的解为x＝1±，且x≠0，x≠－1.
方法三　数形结合思想
9．(4分)如图，将分割的正方形拼接成长方形的方案中，可以验证(　D　)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
10．(10分)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图(1)所示(a＞1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠、无缝隙)，如图(2)和图(3)，其面积分别为S1，S2.
(1)请用含a的代数式分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1＋S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
　　
(1) 　 　 (2)
(3)
第10题图
解：(1)由图可知，S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2，S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1.
当a＝2时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23.
(2)S1＞S2.理由如下：
S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2.
又∵a＞1，∴(a－1)2＞0.
∴S1＞S2.
方法四　转化思想
11．(4分)若代数式的化简结果为3a－6，则整式A为(　D　)
A．－a＋1 B．a－1
C．－a－1 D．a＋1
12．(4分)如图，∠AOB＝25°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，则β－α的值为(　A　)
A．50°　 B．40°
C．30° D．25°
解析：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点Q，交OB于点P，则MP＋PQ＋QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN.
∴∠QPN＝(180°－α)＝∠AOB＋∠MQP＝25°＋(180°－β)．
∴180°－α＝50°＋180°－β.
∴β－α＝50°.
故选A.
13．(10分)如图，∠BMC＝130°，∠AND＝80°，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
解：如图，连接MN，设AN，BM相交于点E，
则∠A＋∠B＝∠AEM＝∠BMN＋∠ANM.
同理可得∠C＋∠D＝∠CMN＋∠DNM，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝∠BMN＋∠ANM＋∠CMN＋∠DNM＝∠BMC＋∠AND＝130°＋80°＝210°.
方法五　整体思想
14．(4分)若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3的值为(　A　)
A．5　 B．1 C．－1 D．0
15．(4分)若x2＋5x＋1＝0，则x2＋的值为(　A　)
A．23 B．231 C．21 D．19
16．(4分)若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值为 6 ．
17．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，求∠1＋∠2的度数．
解：∵∠1＝∠A＋∠ADE，∠2＝∠A＋∠AED，
∴∠1＋∠2＝∠A＋(∠ADE＋∠A＋∠AED)＝50°＋180°＝230°.
方法六　换元思想
18．(4分)在分式方程＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为(　D　)
A．y2＋5y＋5＝0 B．y2－5y＋5＝0
C．y2＋5y＋1＝0 D．y2－5y＋1＝0
19．(12分)因式分解：
(1)(a2＋a＋1)(a2－6a＋1)＋12a2；
(2)(a－b)2－4(b－c)(c－a)；
(3)(a＋b－2ab)(a＋b－2)＋(1－ab)2.
解：(1)设a2＋1＝m，
则原式＝(m＋a)(m－6a)＋12a2
＝m2－5am＋6a2
＝(m－2a)(m－3a)
＝(a2＋1－2a)(a2＋1－3a)
＝(a2－3a＋1)(a－1)2.
(2)设b－c＝m，c－a＝n，
则a－b＝－(m＋n)．
故原式＝[－(m＋n)]2－4mn
＝(m－n)2
＝[(b－c)－(c－a)]2
＝(a＋b－2c)2.
(3)设a＋b＝m，ab＝n，
则原式＝(m－2n)(m－2)＋(1－n)2
＝(m－n)2－2(m－n)＋1
＝(m－n－1)2
＝(a＋b－ab－1)2
＝[(a－ab)＋(b－1)]2
＝[a(1－b)－(1－b)]2
＝[(1－b)(a－1)]2
＝(1－b)2(a－1)2.
方法七　从特殊到一般的思想
20．(12分)如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B＝α，∠C＝β，且α>β.
　
(1) (2)
　
(3) (4)
第20题图
(1)如图(1)，当点M与点A重合，α＝70°，β＝40°时，求∠DMN的度数；
(2)如图(2)，当点M在线段AD上(不与A，D两点重合)时，求证：∠DMN＝(α－β)；
(3)如图(3)，当点M在线段AD的延长线上时，(2)中的结论成立吗？为什么？
(4)如图(4)，在(2)的条件下，过点M作AD的垂线交CB的延长线于点P，直接写出∠MPD的度数．(用含α，β的式子表示)
(1)解：在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－40°＝70°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°.
∵MN⊥BC，
∴∠MND＝90°.
∴∠NAC＝180°－90°－40°＝50°.
∴∠DMN＝∠NAC－∠DAC＝50°－35°＝15°.
(2)证明：∠DMN＝90°－∠MDN
＝90°－
＝90°－
＝90°－
＝(α－β)．
(3)成立．理由同(2)．
(4)∠MPD＝(α－β)．
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