资源简介

创新考向集训
(时间：90分钟　满分：92分)
创新考向一　抽象思维
1．(4分)在①x2－x＋，②－3＝a＋4，③＋5x＝6，④＝1中，关于x的分式方程有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(4分)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．这种卡钳依据的数学基本事实是(　　)
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间，线段最短
3．(12分)已知关于x的分式方程＝.
(1)若方程无解，求m的值．
创新考向二　判断推理
4．(4分)如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，佳佳想在①AD＝AE；②∠AEB＝∠ADC；③BE＝CD；④AB＝AC四个条件中选取一个进行补充，进而得到△ABE≌△ACD.他可选择的条件有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5．(4分)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴和y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为(　　)
A．(6，2) B．(－6，－2)
C．(2，6) D．(2，－6)
6．(8分)小丁和小迪分别解分式方程＝1，过程如下：
你认为小丁和小迪的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
7．(12分)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　 (第一步)
＝y2＋8y＋16　　 (第二步)
＝(y＋4)2　　　 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2.　　　 (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
8．(12分)如图(1)，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a，b的正方形拼成的．
(1)利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的数量关系，这个关系式是 ；
(2)若m满足(2 024－m)2＋(m－2 023)2＝4 047，请利用(1)中的数量关系，求(2 024－m)(m－2 023)的值；
(3)若将正方形EFGH的边FG，GH分别与图(1)中的PG，MG重叠，如图(2)．已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积．(结果必须是一个具体数值)
　　
(1) (2)
第8题图
创新考向三　规律探究
9．(4分)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
　 　1
　 1　 1
1　 2　 1
1　 3　 3　 1
……
(a＋b)0＝1
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
　　　……
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．－4
C．2或4 D．2或－4
10．(4分)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(2，5)，则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为(　　)
A．(2，－5) B．(－2，－5)
C．(－2，5) D．(2，5)
创新考向四　新定义
11．(4分)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个“智慧优数”，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第3个“智慧优数”是 ；第23个“智慧优数”是 ．
12．(12分)对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋m)(m为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值，即可求出m的值．我们把这种因式分解的方法叫作“试根法”．
根据以上材料，完成下列问题．
(1)因式分解：x2＋x－2＝ ；
(2)若多项式x2＋mx－n(m，n为常数)因式分解后，有一个因式是x－2，求2m－n的值；
(3)若多项式x3＋2x2－3用“试根法”因式分解得(x＋a)·(x2＋bx＋c)(a，b，c为常数)，请直接写出a，b，c的值．
创新考向五　传统文化
13．(4分)剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(n，2m)，其关于y轴对称的点F的坐标为(n－4，m＋1)，则(n－m)2 024的值为(　　)
A．32 024 B．－1
C．1 D．0
14．(4分)《九章算术》中记录的一道题大致意思是：把一封信件用慢马送到1 000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是(　　)
A．小明的观点正确
B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确
D．无法确定
创新考向集训
(时间：90分钟　满分：92分)
创新考向一　抽象思维
1．(4分)在①x2－x＋，②－3＝a＋4，③＋5x＝6，④＝1中，关于x的分式方程有(　A　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(4分)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．这种卡钳依据的数学基本事实是(　A　)
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间，线段最短
3．(12分)已知关于x的分式方程＝.
(1)若方程无解，求m的值．
解：去分母，得2(x＋1)＋mx＝3(x－2)．
移项、合并同类项，得(1－m)x＝8.
(1)当方程无解时，
即当1－m＝0时，(1－m)x＝8无解，
解得m＝1.
创新考向二　判断推理
4．(4分)如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，佳佳想在①AD＝AE；②∠AEB＝∠ADC；③BE＝CD；④AB＝AC四个条件中选取一个进行补充，进而得到△ABE≌△ACD.他可选择的条件有(　B　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5．(4分)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴和y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为(　A　)
A．(6，2) B．(－6，－2)
C．(2，6) D．(2，－6)
6．(8分)小丁和小迪分别解分式方程＝1，过程如下：
你认为小丁和小迪的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
解：小丁和小迪的解答都不正确．正确解答如下：
去分母，得x＋x－3＝x－2.
移项、合并同类项，得x＝1.
检验：当x＝1时，x－2＝－1≠0，2－x＝1≠0，
所以x＝1是原分式方程的解．
故原分式方程的解是x＝1.
7．(12分)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　 (第一步)
＝y2＋8y＋16　　 (第二步)
＝(y＋4)2　　　 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2.　　　 (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
解：(1)因式分解不彻底．最后结果为(x－2)4．
(2)设x2－2x＝y，
则原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2
＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
8．(12分)如图(1)，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a，b的正方形拼成的．
(1)利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的数量关系，这个关系式是 (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ；
(2)若m满足(2 024－m)2＋(m－2 023)2＝4 047，请利用(1)中的数量关系，求(2 024－m)(m－2 023)的值；
(3)若将正方形EFGH的边FG，GH分别与图(1)中的PG，MG重叠，如图(2)．已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积．(结果必须是一个具体数值)
　　
(1) (2)
第8题图
解：(2)设2 024－m＝a，m－2 023＝b，
则(2 024－m)(m－2 023)＝ab，a＋b＝1.
由题意，得a2＋b2＝4 047，
(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
∴12＝4 047＋2ab.
∴ab＝－2 023.
∴(2 024－m)(m－2 023)＝－2 023.
(3)设正方形EFGH的边长为x，则PG＝x－8，NG＝32－x.
∵S阴影＝S正方形APGM＋2S长方形PBNG＋S正方形CQGN，
∴S阴影＝(x－8)2＋2(x－8)(32－x)＋(32－x)2.
∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
∴S阴影＝[(x－8)＋(32－x)]2＝242＝576.
创新考向三　规律探究
9．(4分)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
　 　1
　 1　 1
1　 2　 1
1　 3　 3　 1
……
(a＋b)0＝1
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
　　　……
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为(　C　)
A．2　　　　　　　　 B．－4
C．2或4 D．2或－4
解析：根据题意，得(a＋b)4＝＋4ab3＋b4，
∴x4－12x3＋54x2－108x＋81
＝x4＋4x3·(－3)＋6x2·(－3)2＋4x·(－3)3＋(－3)4＝(x－3)4.
∴(x－3)4＝1，
解得x－3＝1或x－3＝－1，
解得x＝2或4.故选C.
10．(4分)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(2，5)，则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为(　D　)
A．(2，－5) B．(－2，－5)
C．(－2，5) D．(2，5)
创新考向四　新定义
11．(4分)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个“智慧优数”，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第3个“智慧优数”是 15 ；第23个“智慧优数”是 57 ．
解析：根据题意，当m＝3，n＝1，则第1个“智慧优数”为32－12＝8，
当m＝4，n＝2，则第2个“智慧优数”为42－22＝12，
当m＝4，n＝1，则第3个“智慧优数”为42－12＝15.
正整数的平方分别为1，4，9，16，25，36，49，64，81.
当m＝5，n＝3，则第4个“智慧优数”为52－32＝16，
当m＝5，n＝2，则第5个“智慧优数”为52－22＝21，
当m＝5，n＝1，则第6个“智慧优数”为52－12＝24.
以此类推，
当m＝6时，有4个“智慧优数”．
同理当m＝7时，有5个“智慧优数”，m＝8时，有6个“智慧优数”．“智慧优数”虽然不会重复，但产生方式却会．例如，24是一个“智慧优数”，却可以有两种方式产生：m＝7，n＝5和m＝5，n＝1.
∵后面也有“智慧优数”比较小的，所以需要将“智慧优数”进行一一列出，并进行比较．
当m＝9时，n＝5，第22个“智慧优数”为92－52＝81－25＝56；
当m＝11时，n＝8，第23个“智慧优数”为112－82＝121－64＝57.
故答案为15；57.
12．(12分)对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋m)(m为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值，即可求出m的值．我们把这种因式分解的方法叫作“试根法”．
根据以上材料，完成下列问题．
(1)因式分解：x2＋x－2＝ (x－1)(x＋2) ；
(2)若多项式x2＋mx－n(m，n为常数)因式分解后，有一个因式是x－2，求2m－n的值；
(3)若多项式x3＋2x2－3用“试根法”因式分解得(x＋a)·(x2＋bx＋c)(a，b，c为常数)，请直接写出a，b，c的值．
解：(2)设x2＋mx－n＝(x－2)(x＋a)＝x2＋(a－2)x－2a，
则m＝a－2，n＝2a.
那么2m－n＝2(a－2)－2a＝2a－4－2a＝－4.
(3)∵(x＋a)(x2＋bx＋c)
＝x3＋bx2＋cx＋ax2＋abx＋ac
＝x3＋(a＋b)x2＋(ab＋c)x＋ac
＝x3＋2x2－3，
∴a＋b＝2，ab＋c＝0，ac＝－3，
解得a＝－1，b＝3，c＝3.
创新考向五　传统文化
13．(4分)剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(n，2m)，其关于y轴对称的点F的坐标为(n－4，m＋1)，则(n－m)2 024的值为(　C　)
A．32 024 B．－1
C．1 D．0
14．(4分)《九章算术》中记录的一道题大致意思是：把一封信件用慢马送到1 000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是(　B　)
A．小明的观点正确
B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确
D．无法确定
8 / 12

展开更多......

收起↑