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湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1—9题为单选，10题为多选，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025九上·长沙开学考） 在实数，，，中，有理数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数，是无理数，π是有理数，
∴有理数有2个，
故答案为：B.
【分析】先明确有理数和无理数的定义，再依次判断每个数是否为有理数，最后统计有理数的个数.
2．（2025九上·长沙开学考）某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将用科学记数法表示是，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．（2025九上·长沙开学考）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数是1 C．众数是2 D．方差是4.4
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.平均数为：，正确，故此选项不符合题意；
B.把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C.2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D.方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式和方差公式求出这组数据的平均数和方差，可对A，D作出判断；利用求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，分别求出这组数据的众数和中位数，可对B，C作出判断.
4．（2025九上·长沙开学考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x-xy+3y2=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2-2=0 D．x2+=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得 x2-2=0 是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是二次，这样的方程叫做一元一次方程.
5．（2025九上·长沙开学考） 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为225元，
∴300(1-a%)2=225，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，第一次降价后的售价为300(1-a%)元，则第二次降价后的售价为300(1-a%)2元，据此列出方程即可.
6．（2025九上·长沙开学考） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=-n，ab=-1，
∴
=-n2-2.
故答案：D.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为用两根之和与两根之积表示的形式，最后代入计算得出结果.
7．（2025九上·长沙开学考） 已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y<2，
代入得：6-2a<2，
解得：a>2
当2≤a≤4时，x=a时，函数的最小值为5-a2，
∴5-a2=-4
解得a=3；
当a>4时，x=4时y取最小值，
∴16-8a+5=-4
解得：，不符合题意；
综上所述，a=3.
故答案为：B.
【分析】已知二次函数为y=x2-2ax+5，当x=1时，y<2，代入得6-2a<2，解得a>2.当参数a满足2≤a≤4时，函数的最小值为5-a2.当最小值为5-a2=-4求出a即可.
8．（2025九上·长沙开学考）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，得，
∴点P的坐标为
∴点P到原点O的距离为：
OP=
，
故答案为： B.
【分析】根据已知等式用含m的式子表示出n2，从而将点P的坐标用含m的式子表示出来，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式表示出OP，并利用配方法将表示OP长度式子中的被开方数配成a(x-b)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性即可作答.
9．（2025九上·长沙开学考） 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论：①满足条件的整式M中至少有2个单项式；②若，则方程一定有实数解；③若，则满足条件的整式M共有5个；④若，则方程至少有一个正实数解，其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】单项式的概念；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵
∴a3，a2，a1至少有一个不为0，
∵a0+a1+a2+a3=4，整式M为单项式，
∴a0=4这个单项式不满足条件，
∴a3，a2，a1中，一个为4，其余各数为0，
∴满足条件的整式M的单项式为4x，4x2，4x3这三种，故①满足条件的整式M中至少有2个单项式，①说法正确；
∵，
∴a3=0，a0=a1-a2，
解得a1=2，
∴a0=2-a2，
∴M=2-a2+2x+a2x2=0，
∵，
∴方程M=0一定有实数解，故②正确；
设|a0|=|a1|=|a2|=|a3|=x>0，
当a3，a2，a1，a0均为正整数时.
∵|a0|=|a1|=|a2|=|a3|，
∴|a0|=|a1|=|a2|=|a3|
∴x=1
∴a0=a1=a2=a3=1，
当a3，a2，a1，a0有3个正整数、一个负整数时，它们是有三个等于x，一个等于-x，
∴a0+a1+a2+a3=2x=4，
∴x=2，
∴此时a3，a2，a1，a0中有一个数是-2，其余三个是2，则有4种情况，
当a3，a2，a1，a0有2个正整数、2个负整数时，则它们是有两个等于x，两个等于-x，
∴a0+a1+a2+a3=0≠4不合题意，
同理可得：其他情况也不符合题意，
综上所述：满足条件的整式M共有5个，故说法③正确；
当x=0，M=a0<0，
当x=1，a0+a1+a2+a3=4，
∵M=a0+a1+a2x2+a3x3的取值具有连续性，
∴在0和1之间时一定存在能使M=0的x值，即方程M=0至少有一个正实数解，故说法④正确，
综上所述：说法①②③④都正确，共4个，
故答案为：D.
【分析】对于①，根据整式中单项式的定义，结合a0+a1+a2+a3=4判断整式M中单项式的个数；
对于②，根据平方的非负性求出a0、a1、a2、a3的值，再分析方程M=0是否有实数解；
对于③，根据绝对值相等的条件，结合a0+a1+a2+a3=4求出满足条件的整式M的个数；
对于④，根据a3<0，分析方程M=0是否有正实数解.
10．（2025九上·长沙开学考） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②若，为方程的两个根，则；③；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为，则．其中正确的有（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A,B,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的一个交点位于(-2，0)，(-3，0)两点之间，
另一个交点关于对称轴x=-1对称，
因此另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，
当x=1时，y<0，
∴y=a+b+c<0，故①正确；
对称轴为，则b=2a，
当x=-3时，y=9a-3b+c<0，
将b=2a代入得：9a-6a+c<0，
即3a+c<0，故②正确；
因为抛物线的对称轴为x=-1，
所以当x=-1时，抛物线取得最值，
由图象可知a<0，
则当x=-1时，抛物线有最大值为a-b+c，
对于任意实数m，都有a-b+c>am2+bm+c，
即a-b≥m(am+b)，故③正确；
设抛物线与x轴的两交点为A、B，顶点为C，
因为抛物线的对称轴为x=-1，
设AB的距离为d，
由韦达定理可知：，，
，
∴，
顶点到x轴的距离为，
已知抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为120°，
则由三角函数关系可得：
∵a<0，b2-4ac>0，
∴，即，
∴
则3(b2-4ac)=4，故④正确；
综上，①②③④ 正确.
故答案为：ABCD.
【分析】对于①，利用抛物线的对称性确定x=1时函数值的符号，进而判断a+b+c的大小；对于②，先由对称轴公式得出b与a的关系，再结合抛物线与x轴的交点的位置，代入x=-3时的函数值判断3a+c的大小；对于③，根据抛物线对称轴处取得最值的性质，结合a的正负，即可判断不等式是否成立；对于④，设出抛物线与x轴的交点与顶点，利用三角函数关系结合抛物线的相关公式计算并判断等式是否成立.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·长沙开学考）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】k＜9且k≠0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
12．（2025九上·长沙开学考） 将抛物线　 　向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2+3向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+3+2，即y=2x2-4x+7.
故答案为：y=2x2-4x+7.
【分析】y=2x2+3向右平移一个单位，向上平移两个单位即原抛物线解析式，根据“左加右减、上加下减的原则进行解答即可.
13．（2025九上·长沙开学考） 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DQ//BC，
∴∠Q=∠BEF，
∵AF=FB，∠AFQ=∠BFE
∴△QFA≌△EFB(AAS)，
∴AQ=BE=x，QF=EF，
∵∠EFD=90°
∴DF⊥QE，
∴DQ=DE=x+2
∵AE⊥BC，BC//AD，
∴AE⊥AD.
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=DE2-AD2=AB2-BE2
∴(x+2)2-4=6-x2
整理得：x2+2x-3=0
解得x=1或-3(舍弃)
∴BE=1，
∴，
故答案为：.
【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x.首先证明DQ=DE=x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题.
14．（2025九上·长沙开学考）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行　 　才能停下来．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：
，
当飞机着陆后滑行，才能停下来；
故答案为：．
【分析】飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此将函数解析式配成顶点式，根据y=a(x-h)2+k中当x=h时，y的最大或最小值为k即可得出答案.
15．（2025九上·长沙开学考） 如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为　 　；当线段的长度最小时，的度数为　 　．
【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP'，
∵△BPP'是等边三角形，
∴∠ABE=∠PBP'=60°，BP=BP，BA=BE.
∴∠ABP=∠EBP'
在△ABP和△EBP'中，
∴△ABP≌△EBP'(SAS)
∴∠BAP=∠BEP'=90°，
∴点P'在射线EP'上运动
如图中，设EP'交BC于点O，
当点P'落在BC上时，点P'与O重合，此时∠OBE=30°
设AB=a，则BC =2a，
∵∠BEO=90°，∠BOE=60°，
∴，
∴，
∴
∴BP'：CP'的值为
当CP'⊥EP'时，CP'的长最小，此时∠EBO=∠OCP' =30°
∴EO=OB， OP'=OC，
∴EP'=EO+OP'=OB+OC=BC，
∵BC=2AB，
∴EP'=AB=EB
∴∠EBP'=∠EP'B=45°，
∴∠BP'C=45°+90°=135°，
∴∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-60°=75°.
故答案为：；75°.
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP'，利用全等三角形的性质证明∠BEP'=90°，推出点P在射线EP'上运动，如图中，设EP'交BC于点O再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论.
16．（2025九上·长沙开学考） 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将点A(2，0)代入直线，可得，，
∴直线解析式为，
∵抛物线y=ax2-bx+c经过点A(2，0)，E(3，0)，且开口向上，
∴可设抛物线解析式为y=a(x-2)(x-3)(a>0)，设(n>2)，由MN//y轴，可得M(n，a(n-2)(n-3))，
∴，
，
由MN+BN∴，
整理得，
又n>2，
∴，
关于n的一次函数，
∵a>0，
∴y随n的增大而增大，
又n>2.
∴，
由得
综上可知，a的取值范围是；
故答案为：.
【分析】根据题意，求出直线解析式和抛物线解析式y=a(x-2)(x-3)(a>0)，设点(n>2)，求出MN，AN，再代入MN+BN三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，再算加减即可.
18．（2025九上·长沙开学考）
（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
【答案】（1）解：x2-3x-10=8
x2-3x-18=0，
(x-6)(x+3)=0
x-6=0或x+3=0，
∴x1=6，x2=-3
（2）解：原式
解方程x2+5x-6=0得：x1=-6，x2=1，
当x=-6时，原式
当x=1时，原式的分母为0，故舍去
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
(2)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行约分得到原式，接着利用因式分解法解方程x2+5x-6=0，然后把符合题意的x的值代入计算即可.
19．（2025九上·长沙开学考） 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得 =22-4(m-1)≥0，
解得
（2）解：根据题意得x1+x2=-2，x1·x2=m-1，
∵，
∴(x1+x2)2+x1·x2-1=0，
∴(-2)2+m-1-1=0.
∴m=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据判别式的意义得到 =22-4(m-1)≥0，然后解关于m的不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=-2，x1·x2=m-1，整体代入，然后解关于m的方程即可.
20．（2025九上·长沙开学考） 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息：
Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图
Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是　 　人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为　 　；
（4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数．
【答案】（1）20
（2）解：B组的人数为20×30%=6(人)
补全频数分布直方图：
（3）193
（4）解：(人)，
答：估计全年级20学生跳绳个数不少于200个的人数为150人
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：(1)八年级抽取的总人数为3÷15%=20(人)，
故答案为：20.
(3)中位数是第10和11个数据的和的平均数为，
即八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为193，
故答案为：193.
【分析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出八年级的总人数；
(2)用总人数乘以B组的百分比求出跳绳个数在180≤x<190的人数，即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义求即可；
(4)用600乘八年级学生跳绳个数不少于200个的所占百分比可得.
21．（2025九上·长沙开学考） 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C(0，16)
∴c=16，
∴D(-6，16)，
∵抛物线y=-x2+bx+c过点D(-6，16)，
∴-(-6)2-6b+16=16，
∴b=-6，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：当y=-x2-6x+16=0，
解得：x1=-8，x2=2，
∴A(-8，0)，B(2，0)
∵C(0，16)，
设直线AC的解析式为y=kx+16，
把A(-8，0)代入，得k=2，
∴直线AC表达式为y=2x+16，
设点F的坐标为(m，0)(m<0)，E(m，2m+16)，P(m，-m2-6m+16)，
①如图，当点P在直线AC上方时，
∴PE=-m2-6m+16-(2m+16)=-m2-8m，EF=2m+16，
∴，
S△BEC=S△CAB-S△EAB
=-10m，
∵
∴，解得：m=-4，
经检验：m=-4是原方程的解，
∴P(-4，24)；
②如图，当点P在直线AC下方时，
∴PE=2m+16-(-m2-6m+16)=m2+8m，EF=-2m-16，
∴
S△BEC=S△CAB+S△EAB
=-10m，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∵m<0，
∴
∴
∴点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先求出A(-8，0)，B(2，0)，通过待定系数法求出直线AC表达式为y=2x+16，设点F的坐标为(m，0)(m<0)，E(m，2m+16)，P(m，-m2-6m+16)，然后分①当点在直线.AC上方时，②当点P在直线，AC下方时两种情况分析求解即可.
22．（2025九上·长沙开学考） 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G．
（1）求证：点A是的中点．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE，BD=AE，
∵AD//BC.
∴四边形ADBG是平行四边形
∴BD=AG.
∴AG=AE
∴点A是EG的中点
（2）解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵AD//BC， DF⊥CE，
∴BC⊥CE
∴∠ECG=90°
∵点A是EG的中点，
∴AG=AC
∴CH=GH.
∵∠BAC=∠AHC=90°.
∴∠ABC+∠ACB=∠HAC+∠HCA=90°
∴∠HAC=∠ABC，
∴
设CH=GH=x，则AH=2x，
∵
∴BH=4x，
∵四边形ADBG是平行四边形
∴BG=AD=12.
∴x+12=4x，
解得x=4，
∴BC=BH+CH=5x=20
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)先由平行四边形的性质得到BD//AE，BD=AE，再证明四边形ADBG是平行四边形，得到BD=AG，可得AG=AE，即可证明点A是EG的中点；
(2)过点A作AH⊥BC于H，先证明∠ECG=90°进而得到AG=AC，则CH=GH，再证明∠HAC=∠ABC，得到，设CH=GH=x，则AH=2x，解直角三角形得BH=4x，由平行四边形的性质得到BG=AD=12，则x+12=4x，解得x=4，即可得到答案.
23．（2025九上·长沙开学考）为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．
（1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？
【答案】（1）解：设线下批发的单价为元/千克，网络零售单价为元/千克．
解得
经检验，是分式方程的解
答：网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元．
（2）解：设网络零售千克，线下批发千克．
，
解得：且为正整数．
，
且a为正整数，
当时，最大，此时（元），
答：与之间的函数关系式为：；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设线下批发的单价为元/千克，网络零售单价为元/千克，根据“已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设网络零售千克，线下批发千克，根据题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可写出W与a之间的函数关系式，进而运用一次函数的性质即可求解。
24．（2025九上·长沙开学考） 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标：
（3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，
∴y=a(x+1)(x-3)，
将点C(0，-3)代入y=a(x+1)(x-3)，
∴-3a=-3，解得a=1，
∴
（2）解：∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
连接CP，BP，过点P作PK//y轴交BC于点K，
设P(t.t2-2t-3)，则K(t，t-3)，
∴PK=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t，
∵，
∴，
∴
当时，PQ有最大值，此时P
（3）解：当k1x+b1=x2-2x-3时，xE+xF=2+k1，
当k2x+b2=x2-2x-3时，xG+xH=2+k2，
∵D点在直线EF上，
∴k1+b1=a，
∵D点在直线GH上
∴k2+b2=a，
∴，，
设直线MN的解析式为y=mx+n，
解得
∴
∴直线MN经过定点(1，0)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)连接CP，BP，过点P作PK//y轴交BC于点K，设P(t，t2-2t-3)，则K(t，t-3)，由，可得，当时，PQ有最大值，即可得出答案；
(3)当k1x+b1=x2-2x-3时，xE+xF=2+k1，当k2x+b2=x2-2x-3时，xG+xH=2+k2，由D点在直线EF、GH上，则k1+b1=a，k2+b2=a，可求，，再求直线MN的解析式，即可得出结论.
25．（2025九上·长沙开学考） 我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为“欣妮对”，这样的函数为“对称函数”．
（1）判断函数（k，b为常数）是否为“对称函数”，并说明理由．
（2）若关于x的函数是“对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的值．
（3）已知“对称函数”经过点，且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点（其中）作x轴的平行线，分别交直线，于点D，E，是否存在常数f，使恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，
理由如下：
当k=0时，y=b，此时函数图象上存在关于y轴对称的点，故此时函数y=kx+b(k，b为常数)是BY对称函数”：
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，若存在，设其中一点(x0，kx0+b)，则关于y轴的对称点为(-x0，kx0+b)，
∵-kx0+b≠kx0+b，
∴(-x0，kx0+b)不在函数图象上，
故当k≠0时，函数y=kx+b(k，b为常数)不是BY对称函数
（2）解：∵关于x的函数是“BY对称函数”，
∴设A(t，m)，B(-t，m)，t>0，且点A，B关于y轴对称，
∴2t+a=m，(-t)2=t2=m，
∴t2=2t+a，
∴t2-2t-a=0，
∴仅有一组“欣妮对”
∴Δ=(-2)2-4×1×(-a)=0，
∴
（3）解：存在常数，使恒成立，
理由如下：
∵“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A(0，-4)，
∴c=-4，
∴y=x2+bx-4，
∵y=x2+bx+c是“BY对称函数’
∴函数的对称轴是y轴
∴，
∴b=0，
∴y=x2-4，
设直线AB的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，
∵直线AB经过点A(0，-4)，
∴b1=-4，
∴直线AB的解析式为y=k1x-4，
联立
解得：，
∴
∵直线AB与直线y=f的交点为D，
∴f=k1x-4，
∴
∴
设直线AC的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)，
∵直线AC经过点A(0，-4)，
∴b2 = -4，
∴直线AC的解析式为y=k2x-4，
联立
解得：，
∴，
∵直线AC与直线y f的交点为E，
∴
设经过原点O的直线BC的解析式为y=k3x，
将，代入解析式可得：
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴k2k1=-4，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°
∴OE2+OD2=DE2
∴
整理可得：，
∴4f2=(f+ 4)2，
解得f1=4，
∵f<0，
∴
∴存在常数，使OE⊥OD恒成立
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)分析k=0和k≠0两种情况，结合“BY对称函数”的定义分析即可得解；
(2)设A(t，m)，B(-t，m)，t>0，且点A，B关于y轴对称，将两点代入函数解析式可得2t+a=m，(-t)2=t2=m，从而得出t2-2t-a=0，根据 =0计算即可得解；
(3)根据题意求出函数解析式为y=x2-4，再求出直线AB、AC的解析式，联立y=x2-4得出B、C的坐标，再结合勾股定理计算即可得解.
1 / 1湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1—9题为单选，10题为多选，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025九上·长沙开学考） 在实数，，，中，有理数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2025九上·长沙开学考）某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·长沙开学考）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数是1 C．众数是2 D．方差是4.4
4．（2025九上·长沙开学考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x-xy+3y2=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2-2=0 D．x2+=0
5．（2025九上·长沙开学考） 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·长沙开学考） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·长沙开学考） 已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．（2025九上·长沙开学考）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·长沙开学考） 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论：①满足条件的整式M中至少有2个单项式；②若，则方程一定有实数解；③若，则满足条件的整式M共有5个；④若，则方程至少有一个正实数解，其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九上·长沙开学考） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②若，为方程的两个根，则；③；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为，则．其中正确的有（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·长沙开学考）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
12．（2025九上·长沙开学考） 将抛物线　 　向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为．
13．（2025九上·长沙开学考） 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为　 　．
14．（2025九上·长沙开学考）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行　 　才能停下来．
15．（2025九上·长沙开学考） 如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为　 　；当线段的长度最小时，的度数为　 　．
16．（2025九上·长沙开学考） 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
18．（2025九上·长沙开学考）
（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
19．（2025九上·长沙开学考） 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
20．（2025九上·长沙开学考） 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息：
Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图
Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是　 　人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为　 　；
（4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数．
21．（2025九上·长沙开学考） 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标．
22．（2025九上·长沙开学考） 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G．
（1）求证：点A是的中点．
（2）若，，求的长．
23．（2025九上·长沙开学考）为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．
（1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？
24．（2025九上·长沙开学考） 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标：
（3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标．
25．（2025九上·长沙开学考） 我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为“欣妮对”，这样的函数为“对称函数”．
（1）判断函数（k，b为常数）是否为“对称函数”，并说明理由．
（2）若关于x的函数是“对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的值．
（3）已知“对称函数”经过点，且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点（其中）作x轴的平行线，分别交直线，于点D，E，是否存在常数f，使恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数，是无理数，π是有理数，
∴有理数有2个，
故答案为：B.
【分析】先明确有理数和无理数的定义，再依次判断每个数是否为有理数，最后统计有理数的个数.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将用科学记数法表示是，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.平均数为：，正确，故此选项不符合题意；
B.把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C.2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D.方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式和方差公式求出这组数据的平均数和方差，可对A，D作出判断；利用求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，分别求出这组数据的众数和中位数，可对B，C作出判断.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得 x2-2=0 是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是二次，这样的方程叫做一元一次方程.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为225元，
∴300(1-a%)2=225，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，第一次降价后的售价为300(1-a%)元，则第二次降价后的售价为300(1-a%)2元，据此列出方程即可.
6．【答案】D
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=-n，ab=-1，
∴
=-n2-2.
故答案：D.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为用两根之和与两根之积表示的形式，最后代入计算得出结果.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y<2，
代入得：6-2a<2，
解得：a>2
当2≤a≤4时，x=a时，函数的最小值为5-a2，
∴5-a2=-4
解得a=3；
当a>4时，x=4时y取最小值，
∴16-8a+5=-4
解得：，不符合题意；
综上所述，a=3.
故答案为：B.
【分析】已知二次函数为y=x2-2ax+5，当x=1时，y<2，代入得6-2a<2，解得a>2.当参数a满足2≤a≤4时，函数的最小值为5-a2.当最小值为5-a2=-4求出a即可.
8．【答案】B
【知识点】配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，得，
∴点P的坐标为
∴点P到原点O的距离为：
OP=
，
故答案为： B.
【分析】根据已知等式用含m的式子表示出n2，从而将点P的坐标用含m的式子表示出来，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式表示出OP，并利用配方法将表示OP长度式子中的被开方数配成a(x-b)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性即可作答.
9．【答案】D
【知识点】单项式的概念；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵
∴a3，a2，a1至少有一个不为0，
∵a0+a1+a2+a3=4，整式M为单项式，
∴a0=4这个单项式不满足条件，
∴a3，a2，a1中，一个为4，其余各数为0，
∴满足条件的整式M的单项式为4x，4x2，4x3这三种，故①满足条件的整式M中至少有2个单项式，①说法正确；
∵，
∴a3=0，a0=a1-a2，
解得a1=2，
∴a0=2-a2，
∴M=2-a2+2x+a2x2=0，
∵，
∴方程M=0一定有实数解，故②正确；
设|a0|=|a1|=|a2|=|a3|=x>0，
当a3，a2，a1，a0均为正整数时.
∵|a0|=|a1|=|a2|=|a3|，
∴|a0|=|a1|=|a2|=|a3|
∴x=1
∴a0=a1=a2=a3=1，
当a3，a2，a1，a0有3个正整数、一个负整数时，它们是有三个等于x，一个等于-x，
∴a0+a1+a2+a3=2x=4，
∴x=2，
∴此时a3，a2，a1，a0中有一个数是-2，其余三个是2，则有4种情况，
当a3，a2，a1，a0有2个正整数、2个负整数时，则它们是有两个等于x，两个等于-x，
∴a0+a1+a2+a3=0≠4不合题意，
同理可得：其他情况也不符合题意，
综上所述：满足条件的整式M共有5个，故说法③正确；
当x=0，M=a0<0，
当x=1，a0+a1+a2+a3=4，
∵M=a0+a1+a2x2+a3x3的取值具有连续性，
∴在0和1之间时一定存在能使M=0的x值，即方程M=0至少有一个正实数解，故说法④正确，
综上所述：说法①②③④都正确，共4个，
故答案为：D.
【分析】对于①，根据整式中单项式的定义，结合a0+a1+a2+a3=4判断整式M中单项式的个数；
对于②，根据平方的非负性求出a0、a1、a2、a3的值，再分析方程M=0是否有实数解；
对于③，根据绝对值相等的条件，结合a0+a1+a2+a3=4求出满足条件的整式M的个数；
对于④，根据a3<0，分析方程M=0是否有正实数解.
10．【答案】A,B,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的一个交点位于(-2，0)，(-3，0)两点之间，
另一个交点关于对称轴x=-1对称，
因此另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，
当x=1时，y<0，
∴y=a+b+c<0，故①正确；
对称轴为，则b=2a，
当x=-3时，y=9a-3b+c<0，
将b=2a代入得：9a-6a+c<0，
即3a+c<0，故②正确；
因为抛物线的对称轴为x=-1，
所以当x=-1时，抛物线取得最值，
由图象可知a<0，
则当x=-1时，抛物线有最大值为a-b+c，
对于任意实数m，都有a-b+c>am2+bm+c，
即a-b≥m(am+b)，故③正确；
设抛物线与x轴的两交点为A、B，顶点为C，
因为抛物线的对称轴为x=-1，
设AB的距离为d，
由韦达定理可知：，，
，
∴，
顶点到x轴的距离为，
已知抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为120°，
则由三角函数关系可得：
∵a<0，b2-4ac>0，
∴，即，
∴
则3(b2-4ac)=4，故④正确；
综上，①②③④ 正确.
故答案为：ABCD.
【分析】对于①，利用抛物线的对称性确定x=1时函数值的符号，进而判断a+b+c的大小；对于②，先由对称轴公式得出b与a的关系，再结合抛物线与x轴的交点的位置，代入x=-3时的函数值判断3a+c的大小；对于③，根据抛物线对称轴处取得最值的性质，结合a的正负，即可判断不等式是否成立；对于④，设出抛物线与x轴的交点与顶点，利用三角函数关系结合抛物线的相关公式计算并判断等式是否成立.
11．【答案】k＜9且k≠0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2+3向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+3+2，即y=2x2-4x+7.
故答案为：y=2x2-4x+7.
【分析】y=2x2+3向右平移一个单位，向上平移两个单位即原抛物线解析式，根据“左加右减、上加下减的原则进行解答即可.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DQ//BC，
∴∠Q=∠BEF，
∵AF=FB，∠AFQ=∠BFE
∴△QFA≌△EFB(AAS)，
∴AQ=BE=x，QF=EF，
∵∠EFD=90°
∴DF⊥QE，
∴DQ=DE=x+2
∵AE⊥BC，BC//AD，
∴AE⊥AD.
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=DE2-AD2=AB2-BE2
∴(x+2)2-4=6-x2
整理得：x2+2x-3=0
解得x=1或-3(舍弃)
∴BE=1，
∴，
故答案为：.
【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x.首先证明DQ=DE=x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：
，
当飞机着陆后滑行，才能停下来；
故答案为：．
【分析】飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此将函数解析式配成顶点式，根据y=a(x-h)2+k中当x=h时，y的最大或最小值为k即可得出答案.
15．【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP'，
∵△BPP'是等边三角形，
∴∠ABE=∠PBP'=60°，BP=BP，BA=BE.
∴∠ABP=∠EBP'
在△ABP和△EBP'中，
∴△ABP≌△EBP'(SAS)
∴∠BAP=∠BEP'=90°，
∴点P'在射线EP'上运动
如图中，设EP'交BC于点O，
当点P'落在BC上时，点P'与O重合，此时∠OBE=30°
设AB=a，则BC =2a，
∵∠BEO=90°，∠BOE=60°，
∴，
∴，
∴
∴BP'：CP'的值为
当CP'⊥EP'时，CP'的长最小，此时∠EBO=∠OCP' =30°
∴EO=OB， OP'=OC，
∴EP'=EO+OP'=OB+OC=BC，
∵BC=2AB，
∴EP'=AB=EB
∴∠EBP'=∠EP'B=45°，
∴∠BP'C=45°+90°=135°，
∴∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-60°=75°.
故答案为：；75°.
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP'，利用全等三角形的性质证明∠BEP'=90°，推出点P在射线EP'上运动，如图中，设EP'交BC于点O再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论.
16．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将点A(2，0)代入直线，可得，，
∴直线解析式为，
∵抛物线y=ax2-bx+c经过点A(2，0)，E(3，0)，且开口向上，
∴可设抛物线解析式为y=a(x-2)(x-3)(a>0)，设(n>2)，由MN//y轴，可得M(n，a(n-2)(n-3))，
∴，
，
由MN+BN∴，
整理得，
又n>2，
∴，
关于n的一次函数，
∵a>0，
∴y随n的增大而增大，
又n>2.
∴，
由得
综上可知，a的取值范围是；
故答案为：.
【分析】根据题意，求出直线解析式和抛物线解析式y=a(x-2)(x-3)(a>0)，设点(n>2)，求出MN，AN，再代入MN+BN17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，再算加减即可.
18．【答案】（1）解：x2-3x-10=8
x2-3x-18=0，
(x-6)(x+3)=0
x-6=0或x+3=0，
∴x1=6，x2=-3
（2）解：原式
解方程x2+5x-6=0得：x1=-6，x2=1，
当x=-6时，原式
当x=1时，原式的分母为0，故舍去
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
(2)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行约分得到原式，接着利用因式分解法解方程x2+5x-6=0，然后把符合题意的x的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：根据题意得 =22-4(m-1)≥0，
解得
（2）解：根据题意得x1+x2=-2，x1·x2=m-1，
∵，
∴(x1+x2)2+x1·x2-1=0，
∴(-2)2+m-1-1=0.
∴m=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据判别式的意义得到 =22-4(m-1)≥0，然后解关于m的不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=-2，x1·x2=m-1，整体代入，然后解关于m的方程即可.
20．【答案】（1）20
（2）解：B组的人数为20×30%=6(人)
补全频数分布直方图：
（3）193
（4）解：(人)，
答：估计全年级20学生跳绳个数不少于200个的人数为150人
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：(1)八年级抽取的总人数为3÷15%=20(人)，
故答案为：20.
(3)中位数是第10和11个数据的和的平均数为，
即八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为193，
故答案为：193.
【分析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出八年级的总人数；
(2)用总人数乘以B组的百分比求出跳绳个数在180≤x<190的人数，即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义求即可；
(4)用600乘八年级学生跳绳个数不少于200个的所占百分比可得.
21．【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C(0，16)
∴c=16，
∴D(-6，16)，
∵抛物线y=-x2+bx+c过点D(-6，16)，
∴-(-6)2-6b+16=16，
∴b=-6，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：当y=-x2-6x+16=0，
解得：x1=-8，x2=2，
∴A(-8，0)，B(2，0)
∵C(0，16)，
设直线AC的解析式为y=kx+16，
把A(-8，0)代入，得k=2，
∴直线AC表达式为y=2x+16，
设点F的坐标为(m，0)(m<0)，E(m，2m+16)，P(m，-m2-6m+16)，
①如图，当点P在直线AC上方时，
∴PE=-m2-6m+16-(2m+16)=-m2-8m，EF=2m+16，
∴，
S△BEC=S△CAB-S△EAB
=-10m，
∵
∴，解得：m=-4，
经检验：m=-4是原方程的解，
∴P(-4，24)；
②如图，当点P在直线AC下方时，
∴PE=2m+16-(-m2-6m+16)=m2+8m，EF=-2m-16，
∴
S△BEC=S△CAB+S△EAB
=-10m，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∵m<0，
∴
∴
∴点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先求出A(-8，0)，B(2，0)，通过待定系数法求出直线AC表达式为y=2x+16，设点F的坐标为(m，0)(m<0)，E(m，2m+16)，P(m，-m2-6m+16)，然后分①当点在直线.AC上方时，②当点P在直线，AC下方时两种情况分析求解即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE，BD=AE，
∵AD//BC.
∴四边形ADBG是平行四边形
∴BD=AG.
∴AG=AE
∴点A是EG的中点
（2）解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵AD//BC， DF⊥CE，
∴BC⊥CE
∴∠ECG=90°
∵点A是EG的中点，
∴AG=AC
∴CH=GH.
∵∠BAC=∠AHC=90°.
∴∠ABC+∠ACB=∠HAC+∠HCA=90°
∴∠HAC=∠ABC，
∴
设CH=GH=x，则AH=2x，
∵
∴BH=4x，
∵四边形ADBG是平行四边形
∴BG=AD=12.
∴x+12=4x，
解得x=4，
∴BC=BH+CH=5x=20
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)先由平行四边形的性质得到BD//AE，BD=AE，再证明四边形ADBG是平行四边形，得到BD=AG，可得AG=AE，即可证明点A是EG的中点；
(2)过点A作AH⊥BC于H，先证明∠ECG=90°进而得到AG=AC，则CH=GH，再证明∠HAC=∠ABC，得到，设CH=GH=x，则AH=2x，解直角三角形得BH=4x，由平行四边形的性质得到BG=AD=12，则x+12=4x，解得x=4，即可得到答案.
23．【答案】（1）解：设线下批发的单价为元/千克，网络零售单价为元/千克．
解得
经检验，是分式方程的解
答：网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元．
（2）解：设网络零售千克，线下批发千克．
，
解得：且为正整数．
，
且a为正整数，
当时，最大，此时（元），
答：与之间的函数关系式为：；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设线下批发的单价为元/千克，网络零售单价为元/千克，根据“已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设网络零售千克，线下批发千克，根据题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可写出W与a之间的函数关系式，进而运用一次函数的性质即可求解。
24．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，
∴y=a(x+1)(x-3)，
将点C(0，-3)代入y=a(x+1)(x-3)，
∴-3a=-3，解得a=1，
∴
（2）解：∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
连接CP，BP，过点P作PK//y轴交BC于点K，
设P(t.t2-2t-3)，则K(t，t-3)，
∴PK=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t，
∵，
∴，
∴
当时，PQ有最大值，此时P
（3）解：当k1x+b1=x2-2x-3时，xE+xF=2+k1，
当k2x+b2=x2-2x-3时，xG+xH=2+k2，
∵D点在直线EF上，
∴k1+b1=a，
∵D点在直线GH上
∴k2+b2=a，
∴，，
设直线MN的解析式为y=mx+n，
解得
∴
∴直线MN经过定点(1，0)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)连接CP，BP，过点P作PK//y轴交BC于点K，设P(t，t2-2t-3)，则K(t，t-3)，由，可得，当时，PQ有最大值，即可得出答案；
(3)当k1x+b1=x2-2x-3时，xE+xF=2+k1，当k2x+b2=x2-2x-3时，xG+xH=2+k2，由D点在直线EF、GH上，则k1+b1=a，k2+b2=a，可求，，再求直线MN的解析式，即可得出结论.
25．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，
理由如下：
当k=0时，y=b，此时函数图象上存在关于y轴对称的点，故此时函数y=kx+b(k，b为常数)是BY对称函数”：
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，若存在，设其中一点(x0，kx0+b)，则关于y轴的对称点为(-x0，kx0+b)，
∵-kx0+b≠kx0+b，
∴(-x0，kx0+b)不在函数图象上，
故当k≠0时，函数y=kx+b(k，b为常数)不是BY对称函数
（2）解：∵关于x的函数是“BY对称函数”，
∴设A(t，m)，B(-t，m)，t>0，且点A，B关于y轴对称，
∴2t+a=m，(-t)2=t2=m，
∴t2=2t+a，
∴t2-2t-a=0，
∴仅有一组“欣妮对”
∴Δ=(-2)2-4×1×(-a)=0，
∴
（3）解：存在常数，使恒成立，
理由如下：
∵“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A(0，-4)，
∴c=-4，
∴y=x2+bx-4，
∵y=x2+bx+c是“BY对称函数’
∴函数的对称轴是y轴
∴，
∴b=0，
∴y=x2-4，
设直线AB的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，
∵直线AB经过点A(0，-4)，
∴b1=-4，
∴直线AB的解析式为y=k1x-4，
联立
解得：，
∴
∵直线AB与直线y=f的交点为D，
∴f=k1x-4，
∴
∴
设直线AC的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)，
∵直线AC经过点A(0，-4)，
∴b2 = -4，
∴直线AC的解析式为y=k2x-4，
联立
解得：，
∴，
∵直线AC与直线y f的交点为E，
∴
设经过原点O的直线BC的解析式为y=k3x，
将，代入解析式可得：
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴k2k1=-4，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°
∴OE2+OD2=DE2
∴
整理可得：，
∴4f2=(f+ 4)2，
解得f1=4，
∵f<0，
∴
∴存在常数，使OE⊥OD恒成立
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)分析k=0和k≠0两种情况，结合“BY对称函数”的定义分析即可得解；
(2)设A(t，m)，B(-t，m)，t>0，且点A，B关于y轴对称，将两点代入函数解析式可得2t+a=m，(-t)2=t2=m，从而得出t2-2t-a=0，根据 =0计算即可得解；
(3)根据题意求出函数解析式为y=x2-4，再求出直线AB、AC的解析式，联立y=x2-4得出B、C的坐标，再结合勾股定理计算即可得解.
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