资源简介

浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·拱墅开学考）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·拱墅开学考）下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（　　）
A．1，4，7 B．2，5，8 C．3，6，9 D．4，7，10
3．（2025八上·拱墅开学考）不等式x+3＜0的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·拱墅开学考）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝70° B．∠A＝20°，∠B＝70°
C．AB＝AC＝3，BC＝7 D．AB＝1，BC＝4，周长为6
5．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，DE垂直平分AB，△BDC周长为13，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025八上·拱墅开学考）若，则（　　）
A．x＜﹣2y B．2x＜y C．2x+y＞0 D．x+2y＞0
7．（2025八上·拱墅开学考）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （　　）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
8．（2025八上·拱墅开学考）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2025八上·拱墅开学考）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连结CP，有下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CFP，其中一定正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
11．（2025八上·拱墅开学考）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
12．（2025八上·拱墅开学考）如图，已知∠DBC＝∠ACB，要证明：△ABC≌△DCB．
⑴若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是　 　 ．
⑵若以“AAS”为依据，则需要添加的一个条件是　 　 ．
13．（2025八上·拱墅开学考）如图，两根竹竿AB和BD斜靠在墙CE上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为51°，34°，则这两根竹竿的夹角∠ABD的度数是　 　 °．
14．（2025八上·拱墅开学考）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　 ．
15．（2025八上·拱墅开学考）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，折痕为EF，则AE的长为　 　．
16．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BF＝FC；②EG＝EH；③BH＝HE；④DB＝DG．其中正确结论的序号有　 　 ．
17．（2025八上·拱墅开学考）解不等式：
（1）1﹣x≤2x﹣2；
（2）．
18．（2025八上·拱墅开学考）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形．
19．（2025八上·拱墅开学考）如图，两条公路EA和FB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB的内部修建一个货站P，使货站P到两条公路EA、FB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，利用尺规作出货站P的位置．（保留作图痕迹）
20．（2025八上·拱墅开学考）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
21．（2025八上·拱墅开学考）定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8．
（1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值；
（2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@m≤5的解相同，求m的值．
22．（2025八上·拱墅开学考）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）△DEC是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）若AD＝3，AB＝7，请求出CD的长．
23．（2025八上·拱墅开学考）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”．
（1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？　 　 ；
（2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围；
（3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值．
24．（2025八上·拱墅开学考）
（1）【证明体验】
如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点且CE＝CA．求证：DE＝AD．
（2）【思考探究】
如图2，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长．
（3）【拓展延伸】
如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝a，BC＝b，求AD的长（用含a，b的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误：
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ ，∴1，4，7不能组成三角形，故A选项错误；
∵ ，∴2，5，8不能组成三角形，故B选项错误；
∵ ，∴3，6，9不能组成三角形，故C选项错误；
∵4+7＞10，∴4，7，10能组成三角形，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，故只需要判断较小两边的和是否大于第三边即可.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x+3<0
∴x<-3
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故答案为：A.
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当顶角为∠A=40°时，∠B=70°=∠C=70°，是等腰三角形，
所以A选项正确；
当顶角为∠B=70°时，∠A=∠C=40°，
所以B选项错误；
当AB=AC=3，BC=7，3+3=6<7，不能构成三角形，
所以C选项错误；
当AB=1、BC=4，周长为6，则AC=1，不能构成三角形，
所以D选项错误；
故答案为：A.
【分析】通过分析每个选项中三角形的角或边的关系，利用三角形内角和定理及三边关系，判断是否满足等腰三角形的条件.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△BDC周长为13，
∴BD+CD+BC=13
∴AD+CD+BC=13，
∴AC+BC=13
∵AB=AC=8.
∴BC=13-AC=13-8=5，
故答案为：B.
【分析】根据题意，AD=BD，BD+CD+BC=13，那么可知AD+CD+BC=13，即AC+BC=13，从而求得案.
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵
∴x<-2y，故本选项符合题意；
B、∵
∴2x<-4y，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴2x+4y<0，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴x+2y<0，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的性质了：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为80°时，底角为80°；
当这个等腰三角形的顶角为80°时，底角的度数为（180°-80°）=50°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为80°或50°.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为80°时；当这个等腰三角形的顶角为80°时；利用三角形的内角和定理求出这个等腰三角形的底角的度数即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=65，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=40°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED=180°-∠C=140°，
∵四边形ABED的内角和为180°×(4-2)=360°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠CDE+∠CED=360°，
即65°+75°+20°+∠2+140°=360°
解得∠2=60°，
故答案为：D.
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠C=40°，再根据三角形的内角和定理可得∠CDE+∠CED=140°，然后根据四边形的内角和即可得.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE
∴∠CAB=2∠PAB，∠CBE=2∠PBE
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB=2∠PAB+∠ACB=2∠PBE，∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴2∠PBE=2∠PAB+2∠APB
∴2∠PAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB
∴∠ACB=2∠APB，①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE
∴PM= PN= PS，
∵
但无法证明S△PAC：S△PAB=PC：PB，②错误；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，③正确；
∵PG//AD，
∴∠FPC=∠DCP
∵PN⊥AC，PS⊥BC，PN=PS，
∴CP平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF
∴∠PCF=∠CPF，④错误，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得2∠PAB+∠ACB=2∠PBE，2∠PBE=2∠PAB+2∠APB，然后可得①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，根据角平分线的性质可得PM=PN=PS，然后利用三角形面积公式列式，继而得出S△PAC：S△PAB=AC：AB，②错误；根据线合一可知③正确；证明CP平分∠DCB，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确.
11．【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
12．【答案】AC=DB；∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是：AC=DB；
故答案为：AC=DB.
(2)若以“AAS”为依据，则需要添加的一个条件是：∠A=∠D；
故答案为：∠A=∠D.
【分析】(1)若以"SAS"为依据，需要添加一个条件使得两个三角形中有两条边和夹角分别相等；
(2)若以"AAS"为依据，需要添加一个条件使得两个三角形中有两个角和一条非夹边分别相等.
13．【答案】17
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB是△ADB的外角，
∴∠CAB=∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD=∠CAB-∠ADB=51°-34°=17°
故答案为：17.
【分析】因为∠CAB是△ADB的外角，所以有∠ABD=∠CAB-∠ADB，根据∠CAB、∠CDB的度数分别为51°、34°，求出两根竹竿的夹角∠ABD的度数.
14．【答案】m≤-2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将两个方程相加即可得2x+2y=4m+8，
则x+y=2m+4，
∵x+y≤0，
∴2m+4≤0，
解得m≤-2.
故答案为：m≤-2.
【分析】先通过将方程组中的两个方程相加，求出x+y的表达式，再根据x+y≤0列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围.
15．【答案】5
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°
∴在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即42+(8-x)2=x2，
解得x=5，
即AE长为5.
故答案为：5.
【分析】设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程求解，即可得到AE的长.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=90°-∠ACB=45°
∴BE=CE，
∵EF⊥BC，
∴BF=FC
∴①正确；
②∵∠ACB=45°，CD平分∠ACB
∴
∵BE=EC，EF⊥BC，
∴
∴∠DGE=∠CEF+∠DCA=45°+22.5°=67.5°
∴∠EHG=180°-∠BEF-∠DGE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DGE=∠EHG
∴EH=EG，故②正确；
③过H作HI⊥BC于I，
∵CD平分∠ACB，HE⊥AC，
∴HI=HE
∵BH>HI
∴BH>EH
∴③不正确；
④如图，连接BG，
∵∠ACB=45°，CD平分∠ACB
∴
∵EF垂直平分BC，
∴BG=CG
∴∠CBG=∠BCG=22.5°
∴∠BGD=∠BCG+∠CBG=45°
∵CD⊥AB，
∴∠BDG=90°
∴∠DBG=90°-∠BGD=45°，
∴DB=DG
∴④正确.
∴正确的有：①②④.
【分析】根据BE⊥AC，∠ACB=45°，得到BE=CE，根据EF⊥BC，得到BF=FC，判断正确；根据角平分线的性质与三角形的外角性质，判断②正确；过H作HI⊥BC于I，根据角平分线性质得到HI=HE，根据BH>HI，即得BH>EH，判断③不正确；连接BG，根据角平分线定义得到∠BCD=22.5°，根据线段垂直平分线性质得到BG=CG，得到∠CBG=22.5°，根据三角形外角性质得到∠BGD=45°，根据CD⊥AB，推出∠DBG=45°，即得DB=DG，判断④正确.
17．【答案】（1）解：-x-2x≤-2-1
-3x≤-3
x≥1
（2）解：3(x+1)>2(2x-1)
3x+3>4x-2
3x-4x>-2-3
-x>-5
x<5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)移项、合并同类项、系数化为1解不等式；
(2)先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式.
18．【答案】解：如图(只需画出其中的3个即可)，
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称图形的意义移动其中一个正方形到空白方格中，得到轴对称图案.
19．【答案】解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
20．【答案】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD △ACE(SAS)
∴BD=CE
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE
即∠BAN=∠CAM.
由(1)得：△ABD≌△ACE，∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN(ASA)
∴∠M=∠N
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)通过已知条件证明△ABD与△ACE全等从而得到BD=CE；
(2)先由∠1=∠2推出∠BAN=∠CAM，再结合(1)中全等三角形的对应角相等证明△ACM与△ABN全等，进而得出∠M=∠N.
21．【答案】（1）解：3@x<7，
由题意，得3+2x<7，解得x<2.
∵x为正整数，
∴x=1
（2）解：解不等式 3(x+1)≤8-x，得，
解不等式 x@a≤5，得x≤5-2a.
∵关于x的不等式 3(x+1)≤8-x的解和x@a≤5的解相同，
∴，解得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)先根据新定义运算将3@x转化为代数式，得到不等式，解不等式后结合正整数条件确定x的值；
(2)分别解两个不等式，根据解集相同建立关于a的方程，求解得出a的值.
22．【答案】（1）解：△DEC是等腰三角形，
理由是：∵AD//BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=90°
∴∠B=90°=∠A，
在△ADE和△BEC中，
∴△DAE≌△EBC（AAS）
∴DE=EC
即△DEC是等腰三角形
（2）解：∵AD=3，AB=7，△DAE≌△EBC，
∴AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=DC=5
∵∠A=90°
∴∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∴∠DEC=180°-90°=90
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)求出∠A=∠B，证出△DAE≌△EBC，推出DE=EC即可；
(2)根据全等三角形性质得出AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE，再证明∠DEC=90°，根据勾股定理求出即可.
23．【答案】（1）是
（2）解：解方程组得，
∵关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”
∴
解得k<17
（3）解：由3(x-1)=k，k<6得：
3(x-1)< 6，解得x<3.
由4x-1由条件可得
解得m≥4，
∴m的最小整数值为4
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：(1)解方程得x=3
解得： x>1，
∴方程的解是x=3同时也是不等式的解，
∴是“友好解”
故答案为：是.
【分析】(1)先解方程，再代入不等式判断；
(2)先解方程组用k表示相关式子，代入不等式求k范围；
(3)先解方程得x，结合k的范围确定x的范围，再解不等式求m的最小整数值.
24．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACD与△ECD中，
∴△ACD △ECD(SAS)
∴AD=DE
（2）解：在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE
∵△ACD △ECD，
∴AC=CE=2，AD=DE=1，∠A=∠DEC，
∵∠A=2∠B，∠DEC=∠B+∠EDB
∴∠B=∠EDB.
∴EB=ED=AD=1
∴BC=BE+CE=1+2=3
（3）解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°.
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2=40°，∠BDC=60°
在BA边上取点E，使BE=BC=b，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
∴△DEB △DBC(SAS)
∴∠BED=∠C=80°
∴∠4=60°
∴∠3=60°
在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，
同理得△BDE≌△FDE(SAS)
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=b，
∵∠A=20°
∴∠6=20°.
∴AF=EF=b，
∵BD=DF=a，
∴AD=BD+BC=a+b
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)证△ACD △ECD，可得AD=DE；
(2)根据(1)中得：AC=CE=2，DE=BE=1，相加可得BC的长；
(3)在BA边上取点E，使BE=BC=b，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·拱墅开学考）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误：
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．（2025八上·拱墅开学考）下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（　　）
A．1，4，7 B．2，5，8 C．3，6，9 D．4，7，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ ，∴1，4，7不能组成三角形，故A选项错误；
∵ ，∴2，5，8不能组成三角形，故B选项错误；
∵ ，∴3，6，9不能组成三角形，故C选项错误；
∵4+7＞10，∴4，7，10能组成三角形，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，故只需要判断较小两边的和是否大于第三边即可.
3．（2025八上·拱墅开学考）不等式x+3＜0的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x+3<0
∴x<-3
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故答案为：A.
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.
4．（2025八上·拱墅开学考）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝70° B．∠A＝20°，∠B＝70°
C．AB＝AC＝3，BC＝7 D．AB＝1，BC＝4，周长为6
【答案】A
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当顶角为∠A=40°时，∠B=70°=∠C=70°，是等腰三角形，
所以A选项正确；
当顶角为∠B=70°时，∠A=∠C=40°，
所以B选项错误；
当AB=AC=3，BC=7，3+3=6<7，不能构成三角形，
所以C选项错误；
当AB=1、BC=4，周长为6，则AC=1，不能构成三角形，
所以D选项错误；
故答案为：A.
【分析】通过分析每个选项中三角形的角或边的关系，利用三角形内角和定理及三边关系，判断是否满足等腰三角形的条件.
5．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，DE垂直平分AB，△BDC周长为13，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△BDC周长为13，
∴BD+CD+BC=13
∴AD+CD+BC=13，
∴AC+BC=13
∵AB=AC=8.
∴BC=13-AC=13-8=5，
故答案为：B.
【分析】根据题意，AD=BD，BD+CD+BC=13，那么可知AD+CD+BC=13，即AC+BC=13，从而求得案.
6．（2025八上·拱墅开学考）若，则（　　）
A．x＜﹣2y B．2x＜y C．2x+y＞0 D．x+2y＞0
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵
∴x<-2y，故本选项符合题意；
B、∵
∴2x<-4y，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴2x+4y<0，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴x+2y<0，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的性质了：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
7．（2025八上·拱墅开学考）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （　　）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为80°时，底角为80°；
当这个等腰三角形的顶角为80°时，底角的度数为（180°-80°）=50°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为80°或50°.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为80°时；当这个等腰三角形的顶角为80°时；利用三角形的内角和定理求出这个等腰三角形的底角的度数即可.
8．（2025八上·拱墅开学考）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
9．（2025八上·拱墅开学考）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=65，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=40°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED=180°-∠C=140°，
∵四边形ABED的内角和为180°×(4-2)=360°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠CDE+∠CED=360°，
即65°+75°+20°+∠2+140°=360°
解得∠2=60°，
故答案为：D.
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠C=40°，再根据三角形的内角和定理可得∠CDE+∠CED=140°，然后根据四边形的内角和即可得.
10．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连结CP，有下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CFP，其中一定正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE
∴∠CAB=2∠PAB，∠CBE=2∠PBE
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB=2∠PAB+∠ACB=2∠PBE，∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴2∠PBE=2∠PAB+2∠APB
∴2∠PAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB
∴∠ACB=2∠APB，①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE
∴PM= PN= PS，
∵
但无法证明S△PAC：S△PAB=PC：PB，②错误；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，③正确；
∵PG//AD，
∴∠FPC=∠DCP
∵PN⊥AC，PS⊥BC，PN=PS，
∴CP平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF
∴∠PCF=∠CPF，④错误，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得2∠PAB+∠ACB=2∠PBE，2∠PBE=2∠PAB+2∠APB，然后可得①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，根据角平分线的性质可得PM=PN=PS，然后利用三角形面积公式列式，继而得出S△PAC：S△PAB=AC：AB，②错误；根据线合一可知③正确；证明CP平分∠DCB，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确.
11．（2025八上·拱墅开学考）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
12．（2025八上·拱墅开学考）如图，已知∠DBC＝∠ACB，要证明：△ABC≌△DCB．
⑴若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是　 　 ．
⑵若以“AAS”为依据，则需要添加的一个条件是　 　 ．
【答案】AC=DB；∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是：AC=DB；
故答案为：AC=DB.
(2)若以“AAS”为依据，则需要添加的一个条件是：∠A=∠D；
故答案为：∠A=∠D.
【分析】(1)若以"SAS"为依据，需要添加一个条件使得两个三角形中有两条边和夹角分别相等；
(2)若以"AAS"为依据，需要添加一个条件使得两个三角形中有两个角和一条非夹边分别相等.
13．（2025八上·拱墅开学考）如图，两根竹竿AB和BD斜靠在墙CE上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为51°，34°，则这两根竹竿的夹角∠ABD的度数是　 　 °．
【答案】17
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB是△ADB的外角，
∴∠CAB=∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD=∠CAB-∠ADB=51°-34°=17°
故答案为：17.
【分析】因为∠CAB是△ADB的外角，所以有∠ABD=∠CAB-∠ADB，根据∠CAB、∠CDB的度数分别为51°、34°，求出两根竹竿的夹角∠ABD的度数.
14．（2025八上·拱墅开学考）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　 ．
【答案】m≤-2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将两个方程相加即可得2x+2y=4m+8，
则x+y=2m+4，
∵x+y≤0，
∴2m+4≤0，
解得m≤-2.
故答案为：m≤-2.
【分析】先通过将方程组中的两个方程相加，求出x+y的表达式，再根据x+y≤0列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围.
15．（2025八上·拱墅开学考）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，折痕为EF，则AE的长为　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°
∴在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即42+(8-x)2=x2，
解得x=5，
即AE长为5.
故答案为：5.
【分析】设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程求解，即可得到AE的长.
16．（2025八上·拱墅开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BF＝FC；②EG＝EH；③BH＝HE；④DB＝DG．其中正确结论的序号有　 　 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=90°-∠ACB=45°
∴BE=CE，
∵EF⊥BC，
∴BF=FC
∴①正确；
②∵∠ACB=45°，CD平分∠ACB
∴
∵BE=EC，EF⊥BC，
∴
∴∠DGE=∠CEF+∠DCA=45°+22.5°=67.5°
∴∠EHG=180°-∠BEF-∠DGE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DGE=∠EHG
∴EH=EG，故②正确；
③过H作HI⊥BC于I，
∵CD平分∠ACB，HE⊥AC，
∴HI=HE
∵BH>HI
∴BH>EH
∴③不正确；
④如图，连接BG，
∵∠ACB=45°，CD平分∠ACB
∴
∵EF垂直平分BC，
∴BG=CG
∴∠CBG=∠BCG=22.5°
∴∠BGD=∠BCG+∠CBG=45°
∵CD⊥AB，
∴∠BDG=90°
∴∠DBG=90°-∠BGD=45°，
∴DB=DG
∴④正确.
∴正确的有：①②④.
【分析】根据BE⊥AC，∠ACB=45°，得到BE=CE，根据EF⊥BC，得到BF=FC，判断正确；根据角平分线的性质与三角形的外角性质，判断②正确；过H作HI⊥BC于I，根据角平分线性质得到HI=HE，根据BH>HI，即得BH>EH，判断③不正确；连接BG，根据角平分线定义得到∠BCD=22.5°，根据线段垂直平分线性质得到BG=CG，得到∠CBG=22.5°，根据三角形外角性质得到∠BGD=45°，根据CD⊥AB，推出∠DBG=45°，即得DB=DG，判断④正确.
17．（2025八上·拱墅开学考）解不等式：
（1）1﹣x≤2x﹣2；
（2）．
【答案】（1）解：-x-2x≤-2-1
-3x≤-3
x≥1
（2）解：3(x+1)>2(2x-1)
3x+3>4x-2
3x-4x>-2-3
-x>-5
x<5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)移项、合并同类项、系数化为1解不等式；
(2)先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式.
18．（2025八上·拱墅开学考）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形．
【答案】解：如图(只需画出其中的3个即可)，
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称图形的意义移动其中一个正方形到空白方格中，得到轴对称图案.
19．（2025八上·拱墅开学考）如图，两条公路EA和FB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB的内部修建一个货站P，使货站P到两条公路EA、FB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，利用尺规作出货站P的位置．（保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
20．（2025八上·拱墅开学考）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
【答案】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD △ACE(SAS)
∴BD=CE
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE
即∠BAN=∠CAM.
由(1)得：△ABD≌△ACE，∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN(ASA)
∴∠M=∠N
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)通过已知条件证明△ABD与△ACE全等从而得到BD=CE；
(2)先由∠1=∠2推出∠BAN=∠CAM，再结合(1)中全等三角形的对应角相等证明△ACM与△ABN全等，进而得出∠M=∠N.
21．（2025八上·拱墅开学考）定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8．
（1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值；
（2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@m≤5的解相同，求m的值．
【答案】（1）解：3@x<7，
由题意，得3+2x<7，解得x<2.
∵x为正整数，
∴x=1
（2）解：解不等式 3(x+1)≤8-x，得，
解不等式 x@a≤5，得x≤5-2a.
∵关于x的不等式 3(x+1)≤8-x的解和x@a≤5的解相同，
∴，解得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)先根据新定义运算将3@x转化为代数式，得到不等式，解不等式后结合正整数条件确定x的值；
(2)分别解两个不等式，根据解集相同建立关于a的方程，求解得出a的值.
22．（2025八上·拱墅开学考）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）△DEC是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）若AD＝3，AB＝7，请求出CD的长．
【答案】（1）解：△DEC是等腰三角形，
理由是：∵AD//BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=90°
∴∠B=90°=∠A，
在△ADE和△BEC中，
∴△DAE≌△EBC（AAS）
∴DE=EC
即△DEC是等腰三角形
（2）解：∵AD=3，AB=7，△DAE≌△EBC，
∴AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=DC=5
∵∠A=90°
∴∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∴∠DEC=180°-90°=90
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)求出∠A=∠B，证出△DAE≌△EBC，推出DE=EC即可；
(2)根据全等三角形性质得出AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE，再证明∠DEC=90°，根据勾股定理求出即可.
23．（2025八上·拱墅开学考）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”．
（1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？　 　 ；
（2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围；
（3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值．
【答案】（1）是
（2）解：解方程组得，
∵关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”
∴
解得k<17
（3）解：由3(x-1)=k，k<6得：
3(x-1)< 6，解得x<3.
由4x-1由条件可得
解得m≥4，
∴m的最小整数值为4
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：(1)解方程得x=3
解得： x>1，
∴方程的解是x=3同时也是不等式的解，
∴是“友好解”
故答案为：是.
【分析】(1)先解方程，再代入不等式判断；
(2)先解方程组用k表示相关式子，代入不等式求k范围；
(3)先解方程得x，结合k的范围确定x的范围，再解不等式求m的最小整数值.
24．（2025八上·拱墅开学考）
（1）【证明体验】
如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点且CE＝CA．求证：DE＝AD．
（2）【思考探究】
如图2，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长．
（3）【拓展延伸】
如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝a，BC＝b，求AD的长（用含a，b的式子表示）．
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACD与△ECD中，
∴△ACD △ECD(SAS)
∴AD=DE
（2）解：在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE
∵△ACD △ECD，
∴AC=CE=2，AD=DE=1，∠A=∠DEC，
∵∠A=2∠B，∠DEC=∠B+∠EDB
∴∠B=∠EDB.
∴EB=ED=AD=1
∴BC=BE+CE=1+2=3
（3）解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°.
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2=40°，∠BDC=60°
在BA边上取点E，使BE=BC=b，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
∴△DEB △DBC(SAS)
∴∠BED=∠C=80°
∴∠4=60°
∴∠3=60°
在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，
同理得△BDE≌△FDE(SAS)
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=b，
∵∠A=20°
∴∠6=20°.
∴AF=EF=b，
∵BD=DF=a，
∴AD=BD+BC=a+b
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)证△ACD △ECD，可得AD=DE；
(2)根据(1)中得：AC=CE=2，DE=BE=1，相加可得BC的长；
(3)在BA边上取点E，使BE=BC=b，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论.
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