资源简介

(共27张PPT)
4.5.2 形形色色的函数模型
学习目标
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
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生活里的 “数据难题”
1.妈妈的手机套餐，每月固定话费58元，含100分钟通话，超过后每分钟0.3元。如果这个月她打了150分钟电话，话费是多少？要是打了300分钟呢？
分段函数
2.咱们老家的小村庄，10年前人口是800人，每年大概增加20人；而隔壁的县城，10年前人口20万，每年大概增长1.5%。现在这两个地方的人口，哪个更多？
一次函数、指数函数
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3.冬天喝热奶茶，刚泡好时温度95℃，放在25℃的房间里，5分钟后降到65℃，想喝45℃的奶茶，大概要等多久？
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对数函数
把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解来解释现实问题,数学知识的这一应用过程称为数学建模.
想一想：已知的数学模型有哪些？
函数模型 函数解析式
一次函数模型
反比例函数模型
二次函数模型
指数型函数模型
对数型函数模型
幂函数型模型
(为常数，
为常数).
为常数，
新课学习
(1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景，明确其实际意义,掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设 .
(2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构 .
(3)求得数学问题的解.
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性 .
数学建模的步骤通常是:
新课学习
实际问题
数学问题
抽象概括
分析转化
数学问题的解
确定函数模型
符合实际
回到实际问题中去
实际问题的结论
解决问题
例1 某商用无人机公司从某年1月份开始投产,已知前4个月的产量分别为1万台,1.2万台,1.3万台,1.37万台.由于产品技术先进、质量可靠,前几个月的产品销售情况良好.为了方便营销人员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.
例题解析
公司分析,产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化,并且公司也暂时不准备增加设备和工人.假如你是公司管理者,现有五个模型供你估算以后几个月的产量,哪个模型最好
解：如图在直角坐标系(为方便观察,取轴的单位长度较大)中依次
描出体现基本数据的四个点:B(2, 1.2),C(3, 1.3),D(4, 1.37).
例题解析
①设模拟函数为,将两点的坐标代入,有
解得
所以该函数的图象如图所示.
评价：此法的结论是,在不增加设备和工人的条件下,产量会每月提升0.1万台,即1000台,这是不太可能的.
例题解析
②设模拟函数为,将A,三点的坐标代入,有
解得
所以该函数的图象如图所示.
评价：由此法计算出4月份的产量为1.3万台,比实际产量少700台,而且,由二次函数的性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴是直线=3.5),这显然不符合实际情况.
例题解析
③设模拟函数为,将A,两点的坐标代入,有
解得
所以,借助计算机软件作出该函数的图象如图所示.
评价：将及代入函数解析式,分别得到及, 与实际产量差距较大.
例题解析
④设模拟函数为将A,三点的坐标代入,有
解得
所以借助计算机软件可作出该函数的图象,
如图所示
评价: 将=4代入函数解析式,得与第4个月的产量比较接近.
例题解析
⑤设模拟函数为,将两点的坐标代入,有
解得
所以借助计算机软件可作出该函数的图象,
如图所示.
评价: 将=2及=3代入函数解析式,分别得到≈1.185及≈1.293与实际产量非常接近.
1、一辆汽车在某段路程中的行驶路程关于时间变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是(　　)
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
课堂练习
A
2、三个变量随着变量的变化情况如下表,则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
课堂练习
C
3、某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为8万元时,奖励1万元,销售额为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
课堂练习
1024
4、 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一,每天回报40元；方案二,第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三,第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
试建立三种投资方案所对应的函数模型，你会选择哪种投资方案
课堂练习
提示：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.
一次函数
指数函数
常数函数
课堂练习
解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述.三个模型中,第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况.
课堂练习
根据表格，再画出三个函数图象
课堂练习
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.
0
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下
从每天所得回报看，在第13天,方案一最多；在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少；在第58天,方案二最多；第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.
课堂练习
因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
课堂练习
5、某汽车制造商在2024年年初公告：公司计划2025年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
年份(年) 2021 2022 2023
产量(万辆) 8 18 30
如果我们分别将2021，2022，2023，2024年定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型，指数型函数模型，哪个模型能更好地反映该公司年产量与年份的关系？
课堂练习
解：建立年产量与年份的函数，可知函数图象必过点(1，8)，
(2，18)，(3，30).
①将点的坐标代入二次函数模型中，可得
解得
则，故，与计划误差为1万辆.
②将点的坐标代入指数型函数模型()中，
解得
课堂练习
则，
所以，与计划误差为1.4万辆.
由①②可得，二次函数模型能更好地反映该公司年产量与年份的关系.
课堂总结
形形色色的函数模型
实际问题
抽象模型
求解模型
检验模型
解释问题
数学建模
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数

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