资源简介

(共23张PPT)
4.4.2 计算函数零点的二分法
学习目标
1.能利用二分法求方程的近似解.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
考古学家艾琳发现一张羊皮卷，上面写着：“宝藏藏在某座山的海拔高度处，范围是0-2000米。”她决定快速定位：
导入新课
第四测 ：海拔625米处，探测器狂响——最终在630米处挖出黄金雕像！
第一测 ：海拔1000米处，用金属探测器无反应——宝藏在1000米以下。
第二测 ：海拔500米处，探测器微弱鸣响
——宝藏在500-1000米之间。
第三测 ：海拔750米处，信号增强——锁定范围500-750米。
新课学习
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的路线，在这条路线上有200多根电线杆.
维修工人怎样最合理地迅速的查出故障所在地呢？
思考1
工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试，如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……
二分法
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
新课学习
二分法可以用来寻找函数的零点,迅速地缩小搜索范围,接近零点的准确位置.
怎样把区间一分为二？怎样取近似值？
思考2
例题解析
例1 在例3中，我们已经说明了 在上恰有一个零点.试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值(误差不超过0.001).
解：已经知道这是出发点,然后一次次缩小零点所在区间:
第一次,取的中点用计算器或计算机求出≈0.38,由于可知零点在上；
例题解析
第三次,取的中点求出≈0.,由于可知零点在上.
第二次,取的中点求出≈-0.,由于可知零点在上；
为了清楚表达以上过程，我们记零点所在的区间为,其中点为继续计算，如下表:
为了清楚表达，记零点所在的区间为,其中点为继续计算，如下表:
区间长度小于0.002，已经很快接近0.001
从表中计算数据看出，计算到第10次时，包含零点的区间长度小于0.002.取此区间中点与零点的距离不超过区间长度的一半，即0.001.于是可以取0.653作为零点的近似值，也即是方程的一个近似解.
缩小到区间长度小于0.001时，区间中任何一个值到零点的距离都小于0.001，所以任何一个值都可以作为零点的近似值.
设函数定义在区间上，其图象是一条连续曲线，求它在D上的一个零点的近似值，使它与零点的误差不超过给定的正数，即使得.
用二分法求函数零点近似值的一般操作方法
(1)在D内取一个闭区间，使异号，即；
(2)取区间的中点；
(3)如果 , 则取的零点近似值，计算终止；
(4)计算，如果，则就是的零点，计算终止；
(5)同号则令，否则令，再执行(2)．
依据是什么？计算一定会终止吗？
要点提炼
由于利用二分法求函数零点近似值时，通常计算量大且需要重复相同的步骤，因而可以借助计算机通过设计如下程序进行问题解决：
利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区间的长度与精确度的关系，一旦有，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．
例2 求曲线和直线交点的横坐标(误差不超过0.01).
例题解析
因为知在区间(1,2)内有零点,又因为单调递增，所以说它只有一个零点，用二分法计算列表如下：
解：曲线和直线交点的横坐标x应满足,即交点横坐标是函数的零点.
例题解析
得出零点的近似值为1.555，误差不超过0.008.因此,曲线和直线交点的横坐标为1.555.（参照上图）
方法提炼
1.对于求形如的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
用二分法求方程的近似解的方法
2.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
4.二分法求函数零点近似值步骤的记忆口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，误差值来把关口.
3.二分法求函数零点近似值的关注点：
(1)验证零点所在的区间是否符合误差要求.
(2)一般取区间中点值作为零点的近似值.
方法提炼
思考3
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
课堂练习
1、下列函数中不能用二分法求零点的是( )
B
2、若二次函数存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数的取值范围是　　　　　　　.
(,)
课堂练习
3、用二分法求函数的近似零点时的初始区间可以是(　　)
B
4、用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）
B
5、已知函数在(1,2)内有1个零点,用二分法求零点的近似值时,若误差不超过0.01,则至少计算中点函数值(　　)
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
课堂练习
B
设对区间(1,2)二等分次,初始区间长度为1,第次二等分后区间长度为 ,以题意得，所以=50,所以n>log250,
因为5=log232所以n≥6,则至少计算中点函数值6次.
课堂练习
6、求函数零点的近似值.
解：由于，因此可以确定区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(1，2) 1.5 0.375
(1，1.5) 1.25 －1.046 9
(1.25，1.5) 1.375 －0.400 4
(1.375，1.5) 1.437 5 －0.029 5
由于，所以的一个零点可取为1.4375.
思考4
用二分法求方程的近似解时要注意什么？
（1）明确题目要求的精确度.
（2）确定初始区间，一般在两个整数间，初始区间的长度越小，计算次数越少.
（3）按步骤依次进行计算，直至达到指定的精确度为止.
程序框图是一种用程序框、流程线以及文字符号说明来表示解决某一类问题的程序（步骤）的图形。下表列举了几个基本的程序框和它们表示的功能·
知识补充
课堂总结

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