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(共23张PPT)
4.4.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1.结合学过的函数图象,了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系,能借助函数图象判断零点个数.
3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
我们已经知道，一元二次方程的根就是二次函数的零点，也就是该函数图像与轴交点的横坐标.
复习回顾
那一般函数的零点是什么呢？
对于一般函数，我们把使的实数叫作函数的零点.
新课学习
方程、函数、图象之间的关系：
函数的零点不是一个点
求方程的实数根→确定函数的零点．对于不能用公式法求根的方程，我们可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
新课学习
探究
怎么求函数的零点呢？
一是代数法,令,通过求方程的解求得函数的零点
二是几何法,画出函数的图象,图象与轴交点的横坐标即为函数的零点.
新课学习
设函数的图像是一条连续不断的曲线，如果在区间的左端处曲线在轴的上方，而在轴的上方，而在处，曲线在轴的下方，则可以断定曲线一定会和轴在内的某个点处相交.
新课学习
零点存在性定理
一般地，当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得.
如果知道在区间[]内单调递增或单调递减，就进一步断定,方程在内恰有一个根.即在内有唯一零点
思考
（1）满足什么条件时在内有唯一零点？
（2）函数零点存在定理的逆命题是否成立？
思考
新课学习
函数零点存在定理不可逆
x
b
a
由可以推出函数在区间内存在零点，但是在区间内存在零点，不一定能推出，如左图.
一般地，当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得.
例题解析
例1 讨论函数
解：由于，，
且单调递增，
因此，函数在区间内零点的个数为1.
单调函数
函数零点存在定理
(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等实数解的个数就是函数f(x)零点的个数.
(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.
(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
方法提炼
判断函数零点个数的常用方法
运用函数的思想方法来求方程的解可以给我们带来很大的便利.例如,方程=(x)的解就可以看作两个函数 和的图象的公共点的横坐标,或函数的零点.从这个角度出发,我们可以从图象来观察方程解的个数和分布情况.
新课学习
例2 讨论方程的解的个数与分布情况.
例题解析
方法1：方程的解是函数的零点
方法2：可以将所求方程的解看成是两函数和
的图象的公共点的横坐标
解：考察函数，其零点就是方程的解.
计算得 == -0.50，
== 0.750，
可见在内有零点.
例题解析
另一方面，由于单调递增而也单调递增(因为单调递减)，因此 单调递增，所以在内恰有一个零点.
由图可看出，函数与的图象只在区间内有一个交点，所以原方程有且只有一个解，且此解在区间上.
例题解析
例3 讨论三次方程的解的个数与分布情况.
解:记函数,通过计算得0,
可知函数在
区间和内各至少有一个零点.
用计算机软件可作出函数图象,如图.
从图上可以看出在区间内各有一个零点.
例题解析
由于在上为负,在上为正,故在与上没有零点.所以函数在R上只有三个零点.
因此，原方程有三个解，且分别位于区间(-1 ,0)，(0，1)和(2 ，3)上.
课堂总结
1、方程、函数、图象之间的关系：
2、零点存在性定理
当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得.
本节课你学到了哪些知识？
1、判断正误：
（1）函数的零点是一个点. ( )
（2）任何函数都有零点 ( )
（3）函数的零点是O(0,0). ( )
（4）若函数,则函数在区间［]上至少有一个零点 ( )
（5）函数的零点不是点，它是函数的图象与轴交点的横坐标，是方程的根.( )
课堂练习
×
×
×
×
√
课堂练习
2、函数的零点是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
3、函数的零点所在的区间是（ ）
A.(1,+ B.( C.() D.(,)
B
4、函数的零点有________个.
3
课堂练习
5、函数则函数的零点为（　　）
A．0 B．-2，0
C． D．0
D
6、判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)(2)f(x)＝1－log2(x＋3)
(3) f(x)＝2x－1－3 (4)f(x)＝
解：(1)解方程，得或，
所以函数的零点是－1，－6.
课堂练习
（2）解方程，得，
所以函数的零点是－1.
（3）解方程，得，
所以函数的零点是.
（4）解方程＝，得
所以函数的零点为－6.
7、求的零点个数.
课堂练习
解：函数对应的方程为，
∴原函数零点的个数即为函数与的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数的图象只有一个交点.
从而方程有一个根，
即函数有一个零点.
方法1
课堂练习
由于
所以，
又的图象在上是连续的，所以在上必有零点，又在上是递增的，
所以零点只有一个.
方法2
8、已知函数，若方程有4个不相同的解，求实数取值范围
课堂练习
若方程有4个不相同的零点，则和的图象有4个不同的交点，结合图象.
解：画出函数f(x)的图象.

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