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(共25张PPT)
4.5.1 几种函数增长快慢
的比较
学习目标
1.了解指数函数、对数函数、线性函数、一次函数的增长差异.
2.利用函数图象和表格来研究函数的增长性.
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问题1：假如你找到了一份兼职工作，老板给了你两种薪资方案.
方案一：每天给你100元，连续给30天；方案二：第一天给你1元，第二天给2元，第三天给4元，第四天给8元…… 以此类推，每天的薪资都是前一天的2倍，同样连续给30天.你会选择哪种薪资方案呢？
问题2：学校要在操场边种一排树，计划种100棵.园艺师傅有两种种树节奏，第一种：第一天种10棵，之后每天比前一天多种5棵；第二种：第一天种2棵，之后每天种的数量是前一天的3倍.大家猜猜，按照这两种节奏，分别需要多少天能种完100棵树？哪种节奏会先完成种树任务呢？
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薪资方案和种树节奏背后，分别对应着我们之前学过的一次函数、指数函数等不同类型的函数.
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为什么有的方案一开始看起来收益少，后期却能 “弯道超车”？有的方案前期领先，后期却被远远甩开？
思考
当底数时，指数函数和对数函数都是增函数;我们熟悉的一次函数,当时也是增函数;幂函数，当时是上的增函数.这些函数的函数值都随着自变量的增长而增长.
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以一次函数，指数函数和对数函数为例，我们把图象画到同一坐标系下观察.
猜想
哪种函数增长的快？
增函数的共同特点是：函数值随着自变量的增长而增长.同为增长,但增长的快慢可能不同.
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赛跑有赛跑的规则,到最后跑到前面的才是胜利者.
这好比赛跑,有冠军亚军,也有排不上名次的.
例题解析
例1.比较上增长的快慢.
幂函数与一次函数
4
16
开始一路领先，但越来越慢；
匀速前进，在两者相等.
解： 两函数的图象如下图所示 .
当
，，而且前者与后者之比越来越大，所以增长得更快.
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开运动会常常要分组选拔,函数赛跑也可以先分组比一比.
指数函数()算组； 幂函数 ()算组；
一次函数()算组；
幂函数 ()算组；对数函数算最后一组组.
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组内越大跑得越快;
组内,越小跑得越快.
组和组一起比赛,都是越大跑得越快.
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现在来看组,一次函数.
如果两个一次函数的一次项系数相等,只有常数项不同,则两个函数的差是常数.起跑时在前面的永远在前面,领先距离永远不变.从图象上看,是两条平行直线.
如果两个一次函数的一次项系数不相等,系数大的跑得就快.不管起跑时落后有多少,系数大的总能后来居上,而且将遥遥领先.
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小组选拔赛的情形一目了然.组与组之间的比赛呢
上面已经对两组做了比较.数学上可以证明,组的任一个成员总比组的增长得快.
例题解析
解：当1000时,有1011001000,因而有
于是,对任意正数当时,有
例2 比较和在区间上增长的快慢.
.
这表明无论多大,当大到一定程度,就会比的倍还大.
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由例2可知,当幂指数大于1时,不论一次函数的一次项系数和常数项多么大,只要自变量足够大,幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地,组的函数总比组增长得快.
总之,指数增长最快,对数增长最慢.
若在区间上，总会存在一个,当时，就有.
，
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一个城市的电话号码的位数,大致是城市人口以10为底的对数,上百万人口的城市,要发展到人口上千万,才需要把电话号码增加一位.所以电话号码的升位是一个城市的大事,也说明对数的增长多么艰难.
指数增长快,大家印象比较深;对数增长慢,一般不大注意.
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查英汉词典,从几万个单词中查一个单词,或从几十万个单词中查一个单词,用的工夫差不多,都要不了多久.这是因为,由于合理编排,查字典的工作量是字数的对数函数,字数增长几倍，多查几秒而已.
在互联网上搜索资料或在计算机上查找数据,能迅速地从海量数据中找到有关的网页或文件.这也是因为,数据经过合理组织,搜索工作量是数据量的对数函数.
函数增长快慢的比较,还可以看速度的变化,看它是越跑越快呢,还是越跑越慢.计算速度的简单办法,是看单位时间内走过的路程.
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例如,当自变量加1时,看函数值改变多少,也就是看的大小.
每组派一个代表来比较:
再看增长量的比较表
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从增长量的比较表中最后两行可以看出, 和这两个函数的增长量都随着的增加而变小.但是,对于这两个函数增长速度的快慢,我们暂时还看不出明显的差别.

比较函数增长的快慢,有些情形从图上很难看出来.
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从这个图上，能看出
从这个图上，能看出
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
课堂练习
B
2．下列函数中随的增长而增长最快的是（ ）
A． B．
C． D．
A
3.下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
B
(1)一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度最快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型：幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
常见的函数模型及增长特点
方法提炼
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为近似的是（ ）
课堂练习
5.函数和，的图象，如图所示.设两函数的图象交于点.
（1）请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象，比较，，，
的大小．
课堂练习
解：(1)对应的函数为，
对应的函数为.
课堂练习
由图象知，当时，，所以.
当时，，且上单调递增，
所以.所以.
(2)因为，，
所以.
所以所以，
，，，，
课堂总结
y＝ax(a＞1) y＝xn(n＞0) y＝logax(a＞1) y＝kx+b(k>0)
在（0，+∞）上的单调性 增函数 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 相对平稳 越来越慢 不变
图像的变化 随着x的增大， 与y轴行 随n变化而 各有不同 随着x的增大， 与x轴行
随值而不同
指数增长最快,对数增长最慢

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