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(共27张PPT)
4.3.3 对数函数的图象和性质
学习目标
1.理解对数函数、反函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和性质.
3.会类比指数函数研究对数函数的性质.
4.能综合运用对数函数的图像和性质解决问题.
指数函数是严格单调的，等式中不同的对应了不同的，即每个对应的是确定的.
导入新课
和互换位置
思考
()中是的函数吗？
对数运算确定了一个函数，叫作(以为底的)对数函数.
新课学习
它描述的数量关系是，此等式中把和互换位置就
成了指数函数表达式，因此称指数函数 与对
数函数互为反函数.
此时指数函数的定义域成了对数函数的值域，指数函数的值域为对数函数的定义域.
新课学习
探究
函数与的图象有什么关系呢？
由于对数函数描述的数量关系和指数函数的表达式的区别在于把和换位，可知点在图像上的充要条件是在的图像上.从几何角度去看就是说两者的图像关于对称.
新课学习
怎样用的图像得到，，的图象？
思考
以轴为对称轴做反射
1
0
1
0
以为对称轴做反射
新课学习
1
0
以为对称轴做反射
放在同一个坐标系下如图：
新课学习
每组图中两个函数的单调性如何？
思考
1
0
1
0
一般地,若和互为反函数,则它们的图象关于直线 轴对称,且两者中若一个递增,则另一个也递增,若一个递减,则另一个也递减.
新课学习
思考
你能根据指数函数的图象画出对数函数的图像吗？
函数
图象
定义域 值域 单调性
过定点 函数值变化情况
在上是减函数
在上是增函数
对数函数的性质分析：
新课学习
新课学习
将指数函数与对数函数的性质对比列表如下:
例1 求下面函数的定义域
例题解析
(1) (2)
注意底数和真数的范围
解：(1)要使函数有意义,需0,即
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义,需且且
所以且
的定义域为.
例题解析
例2 比较下列各组中两个数的大小：
（1）和8.7 （2）和8.7
（3）和8.7 （4） 和
同底数
利用单调性
解：（1）因为函数在上是增函数，且7.6
所以8.7.
（2）因为函数在上是减函数，且7.6
所以8.7.
（3）当时，因为函数在上是增函数,
且7.6所以8.7.
例题解析
当时，因为函数在上减函数,
且7.6所以8.7.
（4）因为函数在上是减函数，
所以
又因为
例3 证明：函数在区间上递减.
例题解析
复合函数单调性
证明： 记设上任意两个实数，
且，则
,
所以在上递增.
因而对于上任意两个实数，当时，有
又在上递减，所以
因此，函数在区间上递减.
例题解析
借助计算机软件可画出函数和的图象.
由图也可以看出，在区间上递减.
函数
图象
定义域 值域 单调性
过定点 函数值变化情况
在上是减函数
在上是增函数
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
课堂练习
1、判断正误：
（1）对数函数的定义域是R. ( )
（2）函数是对数函数. ( )
（3）函数的图象过定点(1,0). ( )
（4）函数在上是单调函数. ( )
（5）对数函数的图象一定义在轴右侧. ( )
（6）函数与互为反函数. ( )
（7）与的图象关于对称. ( )
×
√
√
√
√
×
√
课堂练习
2、下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
注意：对数函数的表达式为，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，底数大于0且不等于1.
3、函数为对数函数，则
课堂练习
4、求下列函数的定义域：
（1）;（2）; （3）.
（1）由,得-3,
（2）由得，
由指数函数单调性的，
函数的定义域为(-,2).
解：
函数的定义域为(-3,3).
提示：求函数的定义域，首先要分析自变量x的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．
（3）由题意知
得
定义域为(-,0).
课堂练习
5、 函数的图像如图所示，则的大小关系为: ．
（比较底数大小）
课堂练习
x
y
o
6、函数的图象大致为( )
课堂练习
C
课堂练习
7、　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　)
BD
课堂练习
8、解下列不等式：
（1）
（2）
解：(1)∵函数在上为减函数，
∴由，得,解得x＞1，
即的取值范围是.
(2)，
当时，有，解得.
课堂练习
当时，有,解得1＜≤2.
综上可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（1）形如的不等式．
方法提炼
①当时，可转化为；
②当时，可转化为0＜＜.
（2）形如的不等式可变为
①当时，可转化为；
②当时，可转化为0＜＜.

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