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4.3.2 对数的运算法则
学习目标
1.通过类比指数运算性质学习对数运算性质；
2.能运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明；
3.掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，会运用换底公式进行化简、计算与证明.
复习回顾
1、对数与指数间的关系：
(1);
(2);
(3)
2、指数幂运算：
指数式可以写成对数式，指数的运算法则也可以改写成对数的运算法则吗？
思考
新课学习
观察 ，猜想对应对数会有什么运算？
探究
积
和
（1）；
下面我们来证明：
设,,那么,.
由指数的运算法则，有
其对数形式是
即
方法一：
指数与对数互化
新课学习
方法二：
对数恒等式
由对数恒等式可得：
=
仿照上述运算还能得出什么运算法则？
新课学习
由对数的定义(或对数的基本恒等式)可以推导出下面三条运算法则：
（1）;
；
（2）;
(其中且，)
对数的运算法则中,最重要的是(1),它刻画了对数运算的本质：化乘为加。
你能仿照上述方法证明（2）和（3）吗？
思考
新课学习
（2）设,那么,.
改写成对数形式是,
即，,
方法一：
方法二：
由对数恒等式可得：
（2）;
新课学习
方法二：
即 ；
（3）设,,那么,.
=
其对数形式是
=
方法一：
对数的运算性质把乘积转化为加法，把商转化为减法，把乘方转化为乘法，降低了运算级别，简化了运算.
；
运算性质
新课学习
指数与对数运算性质对比
；
；
;
；
;
(其中且，)
例1 设, 用表示各式：(1) (2)
（2）＝＋－
解:（1）
＝3＋－
3＋－
例题解析
例题解析
例2 求下列各式的值：
(1) (2)
解: (1)
(2)
例题解析
例3 计算：
（1） (2)
解: (1)
(2)
新课学习
常用对数：以10为底的对数，叫常用对数，并且把记为.
自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并
且把记为 .
在历史上，经过不懈的努力，人们建立了常用对数表和自然对数表.
现在，在计算机或计算器中，设置两个简单的程序，就能计算常用对数和自然对数.
那么底数不是10或者e的
对数，怎样求值
如果能在不同底数的
对数间进行转换就好了.
新课学习
用对数的基本恒等式，直接有
所以
这个公式叫作对数的换底公式.
常 用
例题解析
解:设,等号两边同取以10为底的对数，得
所以==×.又,
因此,于是是一个三十一位整数.
例4 已知≈0.3010,试估计是一个多少位整数.
实际上，=1267 650 600 228 229 401 496 703 205 376,
说明估计正确.
例题解析
例5 利用换底公式求值：
（1） （2）
解:（1）由换底公式得，
（2）由换底公式得，
例题解析
例6 利用换底公式证明：
（1） （2）
证明:(1)由换底公式得，
因此
证明:(2)由换底公式得，
例题解析
例7 地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中100处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅.
(1)若一次地震测得,=0.001 ,该地震的震级是多少(计算结果精确到0.1)
(2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍.
解:
因此，该地震的震级约为里氏4.4级.
例题解析
(2)设里氏8级和5级地震的最大振幅分别为,.由题意，得
因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的1000倍.
,

由此可得
1.对数的运算法则
2.两种特殊的对数：常用对数和自然对数
3.对数换底公式
logab＝ (a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0).
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
课堂练习
1、判断正误：
（1）. ( )
（2） ( )
（3）. ( )
（4）. ( )
（5） ( )
（6） ( )
×
×
×
×
×
×
2、计算4+等于 （ ）
A.6 B.8 C.6 D.1
课堂练习
3、3
4、若2=,3=,则等于（ ）
A. B. C. D.
5、设,则
A. B. C. D.
A
D
1
B
课堂练习
6、计算：
（1） （2）
解:
解:
.
.
.
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
方法提炼
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
7.计算：.
课堂练习
解: 原式=()(+)
(+)(+)
.
方法提炼
1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
课堂练习
8、若,且+,求的值.
解:

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