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(共30张PPT)
4.2.2 指数函数的图象和性质
学习目标
1.从解析式出发探索指数函数的性质，再用信息技术画出指数函数图象，辅助对函数性质的验证
2.能作出具体指数函数图象，并结合图象理解掌握指数函数性质.
3.掌握指数函数的性质的简单应用
复习回顾
整体为幂
常数在底
系数为1
当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸.
当底数时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰减.
上节课我们学习了指数函数，今天学习指数函数的图象和性质.
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2.你能画出指数函数 和 的图象吗？
探究
1.指数函数中，那取不同的范围时，函数图象的形式会不会不同呢？
新课学习
下表是指数函数和 在自变量分别取-100,-10,-5,
0,5,10,100时所对应的函数值.
观察上表，你有什么发现？
新课学习
发现
1. 和 的函数值总是大于0；
2.的函数值随着自变量的增大而增大 ；
3. 的函数值随着自变量的增大而减小；
4. 和 的图象都过(0,1)点.
这些发现能看作指数
函数的性质吗？
新课学习
任意指数函数的图象都经过点(0,1)
任意指数函数的图象都在轴上方
对任意实数；
对任意实数
当时，指数函数
当时，指数函数
新课学习
当时，令，则恒成立．这表明，只要足够大，可以大于任意给定的正数，而则可以小于任意给定的正数．
综上可得，指数函数的值域为(0，+∞).
我们还可以证明：
例题解析
例1 作出指数函数和的图象.
解：通过列表、描点连线，得
注意：不论手工绘制还是借助现代技术绘制，作出来的图象都是有限的，从图象得出来的结论需要发挥想象力.
可以看出()具有以下性质:
(3)函数是区间(-∞,+∞)上的增函数.
(1)图象总在轴上方，且图象与轴永不相交，值域是(0,+∞)；
(2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是=1；
新课学习
思考
函数 和之间有什么关系？图象之间有什么联系？
当它们的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等．也就是说，如果点(，)在的图象上，那么这个点关于轴的对称点（，）一定在的图象上；反之，的图象上任意一点（，），其关于轴的对称点，)也一定在的图象上．
因此，指数函数和的图象关于轴对称.
新课学习
()
)
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.
令 = ,则0.
于是)的图象即为(0)的图象.
新课学习
表达式
图象
定义域 ________ 值域 ________ 性质 函数的图象过点________，即 是R上的________ 是R上的________
（-，+）
　(0，+∞)
(0，1)
递减
递增
指数函数的图象及性质：
例题解析
例2 比较下列各组中两个数的大小：
(1) (2) (3)
解：（1）可看作函数的两个函数值，
由于底数，所以指数函数在上是增函数，
因为，所以.
（2）可看作函数的两个函数值，
由于底数，所以指数函数在上是减函数，
因为，所以
同底
同底
不同底
例题解析
（3）因为在上是减函数，所以.
由 得
所以.
怎样比较指数式的大小？
比较两个数的大小，既可以作差，也可以用作商的方法.
(3)
方法提炼
比较指数式大小的类型及处理方法
底数相同，
指数不同
底数不同，
指数相同
底数不同，
指数不同
利用指数函数的单调性来判断
利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断
通过中间变量来比较
例3 已知指数函数的图象经过点(2,7)，求和.
例题解析
解 ：因为的图象经过点(2,7),
所以 =7，解得=，于是.
所以 =，
.
例题解析
例4 一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余量是原来的50%.
解：可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为．列表如下：
在直角坐标系中画出的图象，如图所示：
例题解析
从图象和上表都可以看到，大约经过4年，剩余量是原来的50%.
1.判断正误：
（1）函数的值域是(0,+). ( )
（2）已知函数 ，若实数满足
则 ( )
（3）指数函数的图象过点(0,1). ( )
（4）函数的定义域是R. ( )
课堂练习
×
×
√
√
课堂练习
2.函数的定义域是 （ ）
A.[0,+) B.(-,0]
C.[1,+) D.(-,+)
定义域：形如的函数的定义域是使得有意义的取值的集合.
B
课堂练习
4.(多选)下列函数中，是增函数的为 （ ）
A. B.
C. D.
3.函数,的值域是 （ ）
A.[0,1] B.[-1,0]
C.[0,] D.[-,0]
B
BD
课堂练习
5.求下列函数的定义域、值域：
(1)(2)；(3)
解：（1）函数的定义域为R.
,
又,
,
,
（2）函数的定义域为R.
课堂练习
,即又
（3）函数的定义域为R.
+ ,
，即时，取最小值，
[,+.
(1)函数的定义域与的定义域相同；
(2)求函数的值域，需先确定的值域，再根据指数函数的单调性确定函数的值域；
(3)求函数的定义域，需先确定的定义域，即的取值范围，亦即的值域，由此构造关于的不等式(组)，确定的取值范围，得的定义域；
(4)求函数的值域，需先利用函数的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数的值域，即为的值域．
方法提炼
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法()
课堂练习
6.设都是不等于1的正数，，，，
在同一直角坐标系中的图象如下图所示，则的大小关系是________________.
在轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.
课堂练习
7.求满足下列条件的的取值范围：
(1); (2); (3)()
解 （1），.
，，即的取值范围是（）.
又上是增函数，
（2），函数在上是减函数.
又25=，
，即的取值范围是（）.
化成同底
（3），
课堂练习
，
综上所述，，的取值范围是（）；
，的取值范围是（）.
(3)()
1.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 或.
方法提炼
指数不等式的求解方法
表达式
图象
定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 函数的图象过点(0，1)，即 是R上的减函数 是R上的增函数
指数函数的图象及性质
课堂总结

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