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(共21张PPT)
4.2.1 指数爆炸和指数衰减
学习目标
1.了解指数函数的定义.
2.通过实例理解指数爆炸和指数衰减.
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一张神奇的纸
大家都知道珠穆朗玛峰是世界最高峰，海拔 8848.86 米。那如果有一张足够大且厚度为 0.1 毫米的纸，你们猜猜把它连续对折 30 次后，厚度会是多少？
折纸视频
对折 30 次，厚度能超过珠穆朗玛峰，对折 42 次，厚度就能抵达月球，地月平均距离约 38 万千米；对折 64 次，厚度将达到地球到太阳的距离，日地平均距离约 14960 万千米。
在幂的表达式中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数()，这叫做指数函数，其中（）.
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如
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整体为幂
常数在底
系数为1
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1.
(1)定义域必须是实数集；
(2)自变量是，位于指数位置上，且指数位置上只有这一项；
(4)底数的范围必须是
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(1)当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸.
(2)当底数时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰减.
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把自变量看成时间，在长为的时间周期中，指数函数的值从增长到增长率为，它是一个常量.在经济学或者其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长.
核裂变、细胞分裂、生物繁殖、疾病传染、火药爆炸等都可以用指数增长来描述。
铀核裂变释放巨大能量的同时，还放出两三个中子来。如图所示，若一个中子打碎一个铀核，产生能量，放出两个中子来；这两个中子又打中另外两个铀核，产生两倍的能量，再放出四个中子来……以此类推.
于是核裂变会释放大量的能量.
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反过来，当底数满足时，指数函数值随着自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减.
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指数特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.
指数衰减的一个有趣应用,是考古学家用自然界中的14C来测定化石年代.
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14C是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行衰变，变成氮，半衰期为5730年。如下图所示：
活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内14C的比例与大气中的相同，植物枯死后，体内的14C仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充.
当植物枯死后，遗体内的14C的含量可以用指数函数
表示植物枯死后经过的时间，以年为单位；底数是小于1的正数。于是半衰期为5730年，用数学语言描述是：当自变量增加5730，的函数值减少一半，即，化简后得到，经过计算器可得.利用这些数据，可以估计植物枯死后经过的时间.
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例题解析
例1 某公司为大力提升创新水平，计划逐年加大研发资金投入.若该公司当年投入的研发资金为3500万元，预计下一年（将为计划执行的第一年）投入的研发资金为4200万元；如果假定增速不变，该公司第年投入的研发资金用函数()=来近似地表示，写出此函数的解析式，并以此估计计划执行的第8年该公司投入研发资金为多少万元（结果精确到1万元）.
解：假设条件和数据，有(0)==3500,()==4200.
解得=3500.
例题解析
于是 == .
因此，该函数解析式为()=.
以此估计出该公司第8年投人的研发资金为
)=
=3500
15049(万元)
例题解析
例2 医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1 的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为的铅板后的强度与原来的强度之比为.若铅板厚度为，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？
解：由=
=
故射线穿过厚度为12cm的铅板后的强度与原来的强度之比是
H(12）=
即约为原来的千分之一.
课堂练习
1.判断正误：
（1）是指数函数. ( )
（2）指数函数中，可以为负数. ( )
（3）是指数函数. （ ）
×
×
×
2.给出下列函数：
① ② ③ ④
其中，指数函数的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
B
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求.
(2)前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
2.求解指数函数的关键是求底数，并注意的限制条件.
方法提炼
课堂练习
3.若指数函数的图象经过点(2,),则.
设=()，由图象经过点(2,)可得,解得=2，函数解析式为,=64
64
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
课堂练习
4.若我国2025年年底的人口总数为，人口的年平均自然增长率为,到2035年年底我国人口总数是（ ）
A. B.
C. D.
5.某种细胞每小时分裂一次,即第一次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个,如此下去,则24小时后得到　　　　__________个细胞(不需算出具体数字)
C
6.某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林，严禁采伐等措施，使木材蓄积量平均增长率达到了5%，经过年后，该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过九年后该林区的蓄积量约为多少万立方米？（精确到0.1）
课堂练习
解：采取措施后的第一年木材蓄积量：;
第二年：
第三年：
…
第年：
当时 （万立方米）
课堂总结
指数函数
指数爆炸
指数衰减
定义
增长百分比
指数函数模型
整体为幂
常数在底
系数为1

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