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专题06 反比例函数
考点类型
考点一遍过
考点1：反比例函数的定义
典例1：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
【变式1】（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如或（是常数，）的函数叫做是的反比例函数，逐项判断即可得．
【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意；
B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意；
C、，当时，是的反比例函数，则此项不符合题意；
D、是反比例函数，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键．
【变式2】（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）下列函数中属于反比例函数的个数为（　　）
① ② ③ ④（为常数，且）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y＝()或或的函数是反比例函数．
【详解】解：①，是反比例函数，符合题意；
②，不是反比例函数，不合题意；
③，是反比例函数，符合题意；
④（为常数，且），是反比例函数，符合题意；
是反比例函数的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝()或或的函数是反比例函数．
【变式3】（2022秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得，
故选:A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如且k为常数的函数叫做反比例函数．
考点2：反比例函数图像性质——对称性
典例2：（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（ ）

A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴关于原点对称，则，
∴，
∴，
反比例函数图象在二、四象限，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴，垂足为，若的面积为，则此反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于原点对称，得出，则，根据反比例函数的几何意义得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，关于原点对称，
∴，
∴
∴
∴反比例函数解析式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数，反比例函数的性质，的几何意义，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·辽宁阜新·九年级统考期末）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：点A与关于原点对称，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．
【变式3】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称
B．它的图象分布在第一、三象限，是轴对称图形
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
【答案】C
【分析】由函数，可得：它的图象分布在第一、三象限，图像关于原点中心对称，图形是轴对称图形，函数图像在每个象限内y的值随x的增大而减小，根据性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由函数，
所以：它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称，是轴对称图形，故，正确；
函数图像在每个象限内y的值随x的增大而减小，故错误，正确；
故选：
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考点3反比例函数图像性质——增减性
典例3：（2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）若点，，，都在反比例函数（k为常数，）的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的性质确定反比例函数经过的象限和增减性，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵点，，，都在反比例函数（k为常数，）的图象上，其中，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大．
【变式1】（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知点，在反比例函数的图象上，若，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的增减性判断即可．
【详解】解：，
∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
，
∴在三象限，在一象限，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·安徽亳州·九年级校考开学考试）若点，在反比例函数的图象上，当时，m的值可能是（ ）
A．4 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用反比例函数的性质，构建不等式即可解决问题．
【详解】解：点，在反比例函数的图象上，当，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若点，在反比例函数的图像上，则m满足（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，解答即可．
【详解】解：在反比例函数中，
，
反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点、在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考点4：反比例函数图像性质——四边形
典例4：（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，点B在双曲线上，点A在双曲线上，且轴，点C和点D在x轴上，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由轴可知，A、B两点纵坐标相等，设，，则，的边上高为b，根据平行四边形的面积公式求解．
【详解】解：∵点B在双曲线上，点A在双曲线上，且轴，
∴设，则，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，设点的坐标，根据平行四边形的面积公式计算．
【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B．21 C． D．24
【答案】A
【分析】先求出A、B的坐标，得到；过点C作轴于E，证明，可得点C坐标，代入求解即可．
【详解】解：∵当时，，
∴，
∴；
∵当时，0x＋4，解得，
∴，
∴；
过点C作轴于E，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
∵点C在反比例函数图象上，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求反比例反比例函数，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题 ，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式2】（2022·吉林长春·统考二模）如图，矩形OABC有两边在坐标轴上，点D、E分别为AB、BC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D、E．若△BDE的面积为1，则k的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象和性质结合矩形和三角形面积解答.
【详解】
解：作，连接．
∵四边形AHEB，四边形ECOH都是矩形，BE＝EC，
∴
故选B．
【点睛】此题重点考查学生对反比例函数图象和性质的理解，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键.
【变式3】（2022·内蒙古包头·统考一模）如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，先证明，由全等三角形的性质得到，继而解得，，过点作的延长线的垂线，得到，再解得，最后由整理解题即可
【详解】解：设
轴，
是平行四边形ABCD的对角线，且对角线的交点为，即
同理得
过点作的延长线的垂线，
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点5：反比例函数k的几何意义
典例5：（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，则（ ）．

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】连接，由于轴，根据反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式得到．
【详解】解：如图，连接．

∵轴，
∴轴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
【变式1】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在的图象上有两点、，过这两点分别向轴引垂线，交轴于、两点，连结、，记、的面积，，则与的大小关系是（ ）

A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值
【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，
所以．
故选：．
【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
【变式2】（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（ ）

A．3 B．6 C． D．4
【答案】C
【分析】过点A作轴于点E，根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积，由于，得到四边形的面积，即可得到，再由，求得．
【详解】解：过点A作轴于点E，如图所示：

∵轴，
∴轴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
【变式3】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B、D，连接，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）

A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】解：∵点E为的中点，
∴的面积的面积，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式4】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点P，点Q都在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，的面积为，若，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵，
∴，则，
∵该反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数比例系数k的几何意义是解答的关键．
【变式5】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如下图，过反比例函数（）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数（）于点B，连接．若，则k的值为（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出，再求出，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数（）的图像上，且轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，而，
∴．
故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键．
【变式6】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形、、、设它们的面积分别是、、，则、、的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．
【详解】∵是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形、、，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的关键．
【变式7】（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先求出和的坐标，得出，，根据即可求解．
【详解】解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
由图可知：，
，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图像上的点，作x轴和y轴的垂线，围成的矩形面积等于．
考点6：求反比例函数解析式
典例6：（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，代入求出的值，根据纵横坐标的积等于，逐项判定即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
，
A、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
B、，∴点在反比例函数图象上，故此选项符合题意；
C、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
D、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的点坐标的特征为：纵横坐标的积为常数．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：，
与的关系式为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
【变式2】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ）

A．5 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解．
【详解】解：由图可知：当时，，即，则，
当时，，即，则，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求得的值，即可求得的解析式，然后找到四个选项中横纵坐标乘积等于的，即可求解
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得，
∴，
即，
∵只有点中，
∴只有选项B中的点在函数上，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，理解掌握反比例函数图象上点坐标特征是解题的关键．
【变式4】（2022·安徽·九年级专题练习）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　）
A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的图象经过（-4，2），可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），
∴k＝xy＝（﹣4）×2＝﹣8，
∵1×8＝8≠﹣8，故选项A不符合题意，
∵3×（）＝﹣8，故选项B符合题意，
∵×6＝3≠﹣8，故选项C不符合题意，
∵（﹣2）×（﹣4）＝8≠﹣8，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
【变式5】（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）已知反比例函数图象经过点则下列点中必在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数图象经过点把反比例函数的解析式求解出来，再把选项的点代入，即可得到答案；
【详解】解：∵反比例函数图象经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式是：，
把点代入得 ，等号两边成立，故点在此函数图像上，
故选A．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，掌握待定系数法求反比例的解析式是解题的关键．
考点7：反比例函数与一次函数——交点
典例7：（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数（a常数，且）和反比例函数（k常数）相交于和B两点，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得，然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：∵正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图象相交于和B两点，
∴，
∴不等式的解集为或，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1】（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，的三个顶点分别为，，，若反比例函数的图像与有交点，则的取值范围是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先求得反比例函数图像经过点C时的k值，再求解直线的解析式，然后求得直线与反比例函数图像有相切于一点的k值，进而可求解．
【详解】解：由反比例函数的图像与有交点知，
当反比例函数的图像经过点时，则有，
当反比例函数的图像经过点时，则有，
此时反比例函数为，则点也在此反比例函数图像上，
设直线的解析式为，
将、代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，整理得，
由得，此时直线与反比例函数的图像相切于一点，
故当时，反比例函数的图像与有交点，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图像上点的坐标特征、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数图像的交点问题、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分别求得反比例函数图像经过C点和直线相切于一点的k值是解答的关键．
【变式2】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若直线与双曲线交于点，则的值为（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据解析式及图象上的点，则坐标满足解析式，得：，，由正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，得：，，将所求的式子化简后代入可得结论．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，，且，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
【变式3】（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，当时，的取值范围是（　　）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用数形结合思想，直接得出关于的不等式的解集．
【详解】解：根据图象可知，
关于的不等式的解集为或．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了用数形结合思想解决函数与不等式解集的方法，综合性比较强．
考点8：反比例函数与一次函数综合应用
典例8：（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积．
【答案】(1)，；
(2)6；
【分析】（1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案；
（2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将将点、代入，点代入得，
，，
解得：，，
∴，；
（2）解：当时，，
当时，，解得，
∴，，
∴；

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数结合题，解题的关键得到解析式，求出函数图象与坐标轴的交点．
【变式1】（2023·山西晋中·校联考模拟预测）已知直线与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标．
(2)当时，则x的取值范围是______．
(3)连接并延长与第一象限的双曲线交于点C，连接、，请直接写出的面积与的面积之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）把代入，求出，即可得出反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式，求出m的值即可得出点B的坐标；
（2）根据图象，找出时的自变量的取值范围即可；
（3）根据反比例函数的图象是中心对称图形，直线的图象是中心对称图形，得出，根据三角形中线的性质，即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
把得：，
解得：，
∴；
（2）解：由图可知，当或时，．
故答案为：或．
（3）解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，直线的图象是中心对称图形，
∴，即点O为中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，根据图象写出不等式解集的方法，以及反比例函数图象是中心对称图形．
【变式2】（2023春·河南周口·八年级统考期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)结合图像直接写出不等式时，的取值范围；
(3)在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求解一次函数解析式；
（2）将变形为，根据图形和交点坐标，找出反比例函数图形高于一次函数图象时，自变量的取值范围即可；
（3）根据题意进行分类即可，①当时，②当时．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数上，
代入得：，
即，
将，代入中，
，解得：；
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
由图可知：当或时，；
（3）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
①当时，
∵点M在y轴上，
∴，

②当时，
∵，，
∴，
∴，

综上：，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，根据函数图象求不等式解集，等腰三角形的性质，解题的关键是刷脸掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确识别函数图象，掌握等腰三角形“三线合一”．
【变式3】（2023·广东汕尾·校考模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
(1)________，________，________；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)3，1，
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点A代入直线得：，求出点A的坐标，再代入即可求出k，将代入即可求出m；
（2）先求出B点坐标，再根据A、B的坐标，数形结合即可作答；
（3）先求出点C的坐标为：，即，可得，即，再根据，可得，即有，问题随之得解．
【详解】（1）把点A代入直线得：，
解得：，
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点B，
∴，解得，
故答案为：3，1，．
（2）把点B代入直线得：，
解得：，
∴点B的坐标为：，
结合点A的坐标为：，
数形结合，不等式的解集为：或；
（3）把代入得：，
解得：，
即点C的坐标为：，即，
结合点A的坐标为：，
∴，
∵，
即：，
∵，即，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
考点9：反比例函数实际应用
典例9：（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，当时，．
(1)写出关于的函数解析式：
(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
3 4 5 　　 8 9 10 　　
　　 9 　　 6 　　 4 　　 3
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】(1)
(2)填表及画图详见解析
(3)用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内
【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将时，代入利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）分别将与I的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的与值，从而完成图表；
（3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）电流是电阻的反比例函数，设，
时，
，
解得，
；
（2）列表如下：
3 4 5 6 8 9 10 12
12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 3
（3）将代入，
，
，
由函数的图象在第一象限I随着R的增大而减小，
即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
【变式1】（2022秋·山东东营·九年级校考阶段练习）喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．

(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】(1)当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；
(2)3.25分钟
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【详解】（1）解：设停止加热时，设，
由图可知，将代入得：，解得：，
，
当时，得，解得：，
点坐标为，
点坐标为，
设当加热烧水时，设，
由图及题意可知，将代入得：，解得：，
当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；；
（2）解：把代入，得，（分钟）；
从烧水开到泡茶需要等待分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
【变式2】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 8 ……
硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为 ？
【答案】(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为 ．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为 ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
【变式3】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．

(1)______；
(2)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？
【答案】(1)27
(2)当时，解析式为；当时，函数的解析式为
(3)175分钟
【分析】（1）根据“从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克”即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分别令，即可求解．
【详解】（1）解：∵从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克
∴
（2）解：当时，设y与x之间的函数关系式为
∵经过点
∴
解得：，
∴解析式为；
当时，y与x之间的函数关系式为
∵经过点
∴
解得：，
∴函数的解析式为；
（3）解：令解得：，
令，解得：
∴分钟，
∴服药后能持续175分钟.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、利用函数图象解决实际问题等．将实际问题与函数建立正确联系是解题关键．
考点10：反比例函数的存在性问题——三角形
典例10：（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．

(1)直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点在反比例函数的图象上，当的面积为9时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明，进而可推算出点的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）设点的坐标为，利用，建立关于的方程解出值即可．
【详解】（1）解：根据线段绕点逆时针旋转得到线段可知：，，
又∵，
又∵
∴
，
，，
，
．
在上，，
反比例函数解析式为：．
（2）设点的坐标为，
，
，即：，
，，
这样的点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．
【变式1】（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接．

(1)当时，求直线的解析式；
(2)当时，求的长；
(3)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值；不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）先求出，坐标，然后用待定系数法求出结果即可；
（2）过点A作轴于点E，根据，得出，根据轴，轴，得出，求出，得出，求出，，即可得出答案；
（3）根据点B的横坐标为，得出，，根据，得出，即，求出即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
当时，点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点A作轴于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
∴．
（3）解：存在；此时．
∵点B的横坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，平行线判定和性质，解题的关键是求出点A的坐标，得出反比例函数解析式．
【变式2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．

(1)求k的值．
(2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由正方形面积求得点B的坐标为，即可得解；
（2）由翻折可得点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由解析式得，设直线的解析式为，将两点坐标代入求解；
（3）设点，由得，，，分情况讨论：①若，②若，③若，分别列方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形，
∴.
∴点B的坐标为．
∴．
（2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到，
∴．
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4 ．
∵点E，点F在函数的图象上，
∴．
设直线的解析式为，将两点坐标代入，得
解得
∴直线的解析式为．
（3）解：存在．
如图，设点，由得
，，，
①若，则，解得或；
②若，，解得或；
③若，，解得；
∴点P的坐标为．

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键．
【变式3】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足 ．

(1)求，的值及反比例函数的解析式；
(2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；
(3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)矩形，理由见解析
(3)， ，
【分析】（1）把和分别代入得：；进而把代入得，即可求解；
（2）根据 ，设的解析式为，依题意得出的坐标为，进而可得解析式为，进而得出，过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（3）①当时，根据图形可得，②当时，由图得，代入反比例数解析式，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：把和分别代入得：；
把代入得，
所求反比例函数解析式为，
（2） ，
设的解析式为，
又 ，在轴的正半轴上，
的坐标为，
以点、、、构成的四边形是矩形，理由如下：
解析式为，
，
，，，
，
又
四边形是平行四边形
过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，
，
，
是矩形

（3）①当时，由图得：，
，则，
，

②当时，由图得
，解得： 舍去
，
综上所述：的坐标为， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考点11：反比例函数的存在性问题——四边形
典例11：（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；
(2)如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
(3) 分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
，
，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得 或，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，
，
，
，
设的解析式为，
，
，
解得： ，
解析式为，
当时，，
；
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，

设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为；
当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，
设点 的坐标为，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
，
经检验符合题意，
∴点的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用分类讨论的思想解决问题．
【变式1】（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）如图，一次函数（，为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数（为常数且）的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)求两个函数图象的另一个交点的坐标．
(3)请观察图像，直接写出不等式的解集．
(4)点、分别为轴和双曲线上的动点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）先求出的坐标，证明，求出点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立两个函数解析式，求出交点坐标即可；
（3）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案；
（4）分为边和对角线两种情况，根据平行四边形对边相等且平行进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，，，
∴
，
，
∴，
，
，
，
∴点，
，
，
解得，
∴一次函数解析式为．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：联立，解得：或，
∴直线和双曲线的另外一个交点坐标为：，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或
（4）解：如图所示，当为边，四边形是平行四边形时，
∴，
∴轴，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴；

如图所示，当为边，四边形是平行四边形时，
∴，
∴轴，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴；

如图所示，当为对角线，四边形是平行四边形时，
∴，即轴， ，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴；
综上所述，点M的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定等等，正确利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图像分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)当四边形为正方形时，点F的坐标是多少？
(3)当时，请判断矩形与矩形，这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)相似，相似比
【分析】（1）根据矩形的判定与性质求得点，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设正方形的边长为a，则，从而可得，再把点F代入反比例函数解析式计算即可；
（3）当时，假设矩形与矩形相似，则，设，则，从而可得点，利用反比例函数图象上点的坐标特征得，解得（舍去），，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵反比例函数的图像经过点E，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：设正方形的边长为a，则，
∴B点坐标为，A点坐标为，
∴F点坐标为，
把代入得，解得，（舍去），
∴F点坐标为．
（3）解：当时，矩形与矩形相似．
∵矩形与矩形能相似，
∴，
，设，则，
∴A点坐标为，
∴F点坐标为，
把代入得，解得（舍去），，，
∴相似比．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质和相似的性质、解一元二次方程，理解图象与坐标的关系，求反比例函数解析式是解题的关键．
【变式3】（2023春·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．

(1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】(1)点B在反比例函数的图象上，理由见解析
(2)证明见解析
(3)点P的坐标为或或
【分析】（1）求出点的坐标，判断即可；
（2）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明，可得结论；
（3）分三种情况：当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，．
【详解】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上．
理由：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，
∴，
∵A，B关于原点对称，
∴，
∵时，，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：由题意，，，
∵C，D关于原点对称，
∴，
∵A，B关于原点对称，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）解：如图，
当四边形是菱形时，．
当四边形是菱形时，．
当四边形是菱形时，，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
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专题06 反比例函数
考点类型
考点一遍过
考点1：反比例函数的定义
典例1：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【变式1】（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）下列函数中属于反比例函数的个数为（　　）
① ② ③ ④（为常数，且）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2022秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
考点2：反比例函数图像性质——对称性
典例2：（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（ ）

A． B．4 C． D．8
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴，垂足为，若的面积为，则此反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·辽宁阜新·九年级统考期末）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
B． C． D．
【变式3】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称
B．它的图象分布在第一、三象限，是轴对称图形
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
考点3反比例函数图像性质——增减性
典例3：（2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）若点，，，都在反比例函数（k为常数，）的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知点，在反比例函数的图象上，若，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·安徽亳州·九年级校考开学考试）若点，在反比例函数的图象上，当时，m的值可能是（ ）
A．4 B． C．1 D．2
【变式3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若点，在反比例函数的图像上，则m满足（ ）
A． B． C． D．或
考点4：反比例函数图像性质——四边形
典例4：（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，点B在双曲线上，点A在双曲线上，且轴，点C和点D在x轴上，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B．21 C． D．24
【变式2】（2022·吉林长春·统考二模）如图，矩形OABC有两边在坐标轴上，点D、E分别为AB、BC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D、E．若△BDE的面积为1，则k的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【变式3】（2022·内蒙古包头·统考一模）如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点5：反比例函数k的几何意义
典例5：（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，则（ ）．

A．6 B．5 C．4 D．3
【变式1】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在的图象上有两点、，过这两点分别向轴引垂线，交轴于、两点，连结、，记、的面积，，则与的大小关系是（ ）

A． B． C． D．不确定
【变式2】（2023春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（ ）

A．3 B．6 C． D．4
【变式3】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B、D，连接，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）

A． B．8 C． D．
【变式4】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点P，点Q都在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，的面积为，若，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C． D．
【变式5】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如下图，过反比例函数（）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数（）于点B，连接．若，则k的值为（ ）

A．4 B． C． D．
【变式6】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形、、、设它们的面积分别是、、，则、、的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法确定
【变式7】（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（ ）

A．1 B． C． D．2
考点6：求反比例函数解析式
典例6：（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ）

A．5 B．12 C． D．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022·安徽·九年级专题练习）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　）
A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4）
【变式5】（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）已知反比例函数图象经过点则下列点中必在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
考点7：反比例函数与一次函数——交点
典例7：（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数（a常数，且）和反比例函数（k常数）相交于和B两点，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【变式1】（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，的三个顶点分别为，，，若反比例函数的图像与有交点，则的取值范围是（ ）．

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若直线与双曲线交于点，则的值为（ ）
A．2023 B． C． D．
【变式3】（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，当时，的取值范围是（　　）

A．或 B．或
C．或 D．或
考点8：反比例函数与一次函数综合应用
典例8：（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积．
【变式1】（2023·山西晋中·校联考模拟预测）已知直线与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标．
(2)当时，则x的取值范围是______．
(3)连接并延长与第一象限的双曲线交于点C，连接、，请直接写出的面积与的面积之间的数量关系．
【变式2】（2023春·河南周口·八年级统考期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)结合图像直接写出不等式时，的取值范围；
(3)在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标．
【变式3】（2023·广东汕尾·校考模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
(1)________，________，________；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．
考点9：反比例函数实际应用
典例9：（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，当时，．
(1)写出关于的函数解析式：
(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
3 4 5 　　 8 9 10 　　
　　 9 　　 6 　　 4 　　 3

(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【变式1】（2022秋·山东东营·九年级校考阶段练习）喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．

(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【变式2】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 8 ……
硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……

(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为 ？
【变式3】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．

(1)______；
(2)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？
考点10：反比例函数的存在性问题——三角形
典例10：（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．

(1)直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点在反比例函数的图象上，当的面积为9时，求点的坐标．
【变式1】（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接．

(1)当时，求直线的解析式；
(2)当时，求的长；
(3)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值；不存在，说明理由．
【变式2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．

(1)求k的值．
(2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足 ．

(1)求，的值及反比例函数的解析式；
(2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；
(3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
考点11：反比例函数的存在性问题——四边形
典例11：（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）如图，一次函数（，为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数（为常数且）的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)求两个函数图象的另一个交点的坐标．
(3)请观察图像，直接写出不等式的解集．
(4)点、分别为轴和双曲线上的动点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【变式2】（2022秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图像分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)当四边形为正方形时，点F的坐标是多少？
(3)当时，请判断矩形与矩形，这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
【变式3】（2023春·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．

(1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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