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重难突破03 “△”、根与系数的关系综合
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）若方程的两个实数根分别为、，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接由根与系数的关系公式求解即可．
【详解】∵一元二次方程有解时，两根之和，
∴对于原方程，，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本结论并灵活运用是解题关键．
2．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论．
【详解】∵在方程中，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的概念，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键．
3．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）已知点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据平面直角坐标系各个象限内点的特征，得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出，再根据，，得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
∴关于的一元二次方程的判别式为：，
∵，，
∴，
∴，
∴一元二次方程有两个不等的实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了平面直角坐标系各个象限内点的特征、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在根据平面直角坐标系各个象限内点的特征，得出，．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．平面直角坐标系各个象限内点的特征：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）．
4．（2022秋·广东东莞·九年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据根的判别式的进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程的判别式，
，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
5．（2022秋·九年级课时练习）关于x的方程的两个实数根分别为和，且，则k的值是（ ）
A．－3 B． C．－2 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，即，
∴当时，，所以不符合题意；
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
6．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m 1)x2+4x+1=0有实数根，
∴
解得：且，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
7．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】由关于x的方程没有实数根，可得 从而可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，
∴
∴
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程没有实数根，则 再建立不等式解题”是关键．
8．（2022秋·贵州遵义·九年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根和k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
9．（2022春·湖南·八年级校考阶段练习）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x 4x 10 B．3x 8x 3 0
C．x 2x 3 0 D．(x 2)(x 3) 12
【答案】C
【分析】分别计算出判别式△＝b2 4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
【详解】解：A、方程变形为：x2＋4x 10＝0，△＝42 4×1×（ 10）＝56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、△＝82 4×3×（ 3）＝100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
C、△＝（ 2）2 4×1×3＝ 8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2 5x 6＝0，△＝52 4×1×（ 6）＝49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2 4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】把方程化成一般式，求出根的判别式判断即可．
【详解】解：
化简得，，
，
方程没有实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟记根的判别式，准确计算．
11．（2022秋·广东深圳·九年级统考期中）已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为（ ）
A．-1 B．9 C．3 D．27
【答案】C
【详解】试题解析：∵α，β是方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴α+β=5，αβ=-2，
∴α+β+αβ=5-2=3．
故选C．
考点：根与系数的关系．
12．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】求出△的值即可判断．
【详解】解：一元二次方程x2-x+1=0中，
Δ=（-1）2-4×1×1＜0，
∴原方程无解．
故选 D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系，熟练掌握根的判别式是解题关键．
13．（2022秋·全国·九年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，即且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与根的关系是解题的关键．
14．（2022秋·山西太原·九年级统考期中）方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】解：由方程2x2+3x﹣5＝0可得：
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
【答案】A
【详解】设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=m2-4=0，
解得m1=2，m2=-2，
当m=2时，原方程变形为x2+2=0，△=0-2×4＜0，此方程无实数解；
当m=-2时，原方程变形为x2-2=0，△=0+2×4＞0，此方程有两个不等的实数解，
所以m=-2．
故选A．
16．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
17．（2007·山东潍坊·中考真题）对于二次函数，我们把使函数值等于的实数叫做这个函数的零点，则二次函数（为实数）的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
【答案】B
【详解】令为0，所以=0.
∵△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m－2）2+4＞0，
∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．
18．（2022秋·福建南平·九年级统考期中）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】将原方程变形为一般式，求出根的判别式的值，可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
19．（2022秋·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2022 B．2022 C． D．4010
【答案】B
【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
20．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出结论．
【详解】∵，，，
∴ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”．
二、填空题
21．（2022秋·九年级单元测试）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2， 则x1（x2+x1）+x22的最小值为 ．
【答案】
【详解】△= ，解得：．由根与系数的关系得： ，．
= = = = =
∴当m=时，的最小值为 ．
点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的最值．解题的关键是利用完全平方公式转化要求的式子，然后代入，配方即可得到结论．
22．（2022秋·广东东莞·九年级校联考阶段练习）若关于的一元二次方程一个根是1，且、满足等式，则 ．
【答案】
【分析】将代入中可得，再根据二次根式的性质可得，，将，代入中即可求出c的值．
【详解】将代入中
∵
∴
解得
将代入中
将，代入中
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握二次根式的性质、代入法是解题的关键．
23．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）若方程有实数解，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】当时，方程为，方程有实数根；当时，根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【详解】解：当时，方程为，方程有实数根；
当时，
∵一元二次方程有实数解，
，
解得：，
综上，方程有实数解，则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解和一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握方程的解和一元二次方程根的判别式是解题的关键．
24．（2023·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
25．（2022·湖北黄石·九年级校考学业考试）已知方程的两根是、，则 .
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得方程的两根之和与两根之积，然后代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵方程的两根是、，
∴，
∴.
故答案为4.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是求解的关键.
26．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2， 则+= ．
【答案】23
【分析】由根与系数的关系可得，，将其代入x12+x22=(x1+x2)2-2x1 x2中，即可求出结论．
【详解】∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为，
∴，，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1 x2=(-5)2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，若()的两根为，则，．
27．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】直接利用根与系数的关系求得即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
28．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+ax+nb＝0（1≤n≤3，n为整数），其中a是从2、4、6三个数中任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件An（n＝1，2，3），当An的概率最小时，n的所有可能值为 ．
【答案】2或3
【分析】算出相应的概率，判断n的值即可．
【详解】（1）当n=1时，△=a2-4b，
①a=2，b=1，△=a2-4b=4-4=0，有实根，
②a=2，b=3，△=a2-4b=4-12=-8＜0，无实根，
③a=2，b=5，△=a2-4b=4-20=-16＜0，无实根，
④a=4，b=1，△=a2-4b=16-4=12＞0，有实根，
⑤a=4，b=3，△=a2-4b=16-12=4＞0，有实根，
⑥a=4，b=5，△=a2-4b=16-20=-4＜0，无实根，
⑦a=6，b=1，△=a2-4b=36-4=32＞0，有实根，
⑧a=6，b=3，△=a2-4b=36-12=24＞0，有实根，
⑨a=6，b=5，△=a2-4b=36-20=16＞0，有实根．
P（An）=．
（2）当n=2时，△=a2-8b，
①a=2，b=1，△=a2-8b=4-8=-4＜0，无实根，
②a=2，b=3，△=a2-8b=4-24=-20＜0，无实根，
③a=2，b=5，△=a2-8b=4-40=-36＜0，无实根，
④a=4，b=1，△=a2-8b=16-8=8＞0，有实根，
⑤a=4，b=3，△=a2-8b=16-24=-8＜0，无实根，
⑥a=4，b=5，△=a2-8b=16-40=-24＜0，无实根，
⑦a=6，b=1，△=a2-8b=36-8=28＞0，有实根，
⑧a=6，b=3，△=a2-8b=36-24=12＞0，有实根，
⑨a=6，b=5，△=a2-8b=36-40=-4＜0，无实根．
P（An）=．
（3）当n=3时，△=a2-12b，
①a=2，b=1，△=a2-12b=4-12=-8＜0，无实根，
②a=2，b=3，△=a2-12b=4-36=-32＜0，无实根，
③a=2，b=5，△=a2-12b=4-60=-56＜0，无实根，
④a=4，b=1，△=a2-12b=16-12=4＞0，有实根，
⑤a=4，b=3，△=a2-12b=16-36=-20＜0，无实根，
⑥a=4，b=5，△=a2-12b=16-60=-44＜0，无实根，
⑦a=6，b=1，△=a2-12b=36-12=24＞0，有实根，
⑧a=6，b=3，△=a2-12b=36-36=0，有实根，
⑨a=6，b=5，△=a2-12b=36-60=-24＜0，无实根．
P（An）=．
由以上三种情况可知：An的概率最小时，n的所有可能值为2或3．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
29．（2022·江苏南京·校联考二模）设x1、x2是方程x2＋mx＋3＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则m＝ ．
【答案】－4
【分析】根据根与系数的关系，得出x1+x2＝﹣m，x1 x2＝3，代入x1+x2﹣x1x2＝1，即可求出m的值．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2＋mx＋3＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1 x2＝3，
∴x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣3＝1，
∴m＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
30．（2023春·陕西西安·九年级校考开学考试）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】先整理成一般式，再根据二次项系数不为零，根的判别式大于等于0，列式计算即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且，
故且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握这些知识是解决此题的关键．
31．（2022·浙江杭州·统考二模）已知方程x2 3x+m=0有两个实数根，则m所取的值可以是 ．（填一个即可）
【答案】2
【分析】一元二次方程有两个实数根，即根的判别式Δ=b2-4ac≥0，即可求m的值．
【详解】解：∵方程x2-3x+m=0有两个实数根，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4m≥0，
解得m≤．
故答案为：2．(答案不唯一)
【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根．
32．（2022·河南洛阳·统考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则x的取值范围为 ．
【答案】a≥0且a≠1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1≠0且Δ≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据题意得a-1≠0且Δ=(-2)2-4（a-1）×(-2)≥0，
解得a≥0且a≠1．
故答案为a≥0且a≠1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
33．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系结合方程的两个实数根互为倒数，可求出的值，再将其代入原方程，取使得原方程根的判别式的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
．
当时，原方程为，
∴，不符合题意，
∴舍去；
当时，原方程为，
，符合题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记两根之积等于是解题的关键．
34．（2022秋·八年级单元测试）已知是方程的根，则的值是 ．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
35．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3.
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△＝4﹣4（m﹣2）≥0，
∴m≤3.
故答案为：3.
【点睛】考核知识点：一元二次方程根判别式.熟记根判别式是关键.
三、解答题
36．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若x为方程的一个根，且满足0＜x＜3，求整数m的值．
【答案】（1）见解析；（2）整数m的值为﹣2、﹣1．
【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；
（2）利用因式分解法求得x1＝﹣1、x2＝﹣m，利用0＜x＜3得出0＜﹣m＜3，据此求得m的取值范围，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵△＝（m+1）2﹣4×1×m
＝m2+2m+1﹣4m
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵（x+1）（x+m）＝0，
∴x+1＝0或x+m＝0，
即x1＝﹣1、x2＝﹣m，
∵0＜x＜3，
∴0＜﹣m＜3，
解得：﹣3＜m＜0，
则整数m的值为﹣2、﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
37．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）已知关于一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足，求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求得m的值．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0有两个实数根，
∴△≥0，即9-4（m-2）≥0
解得．
答：m的求值范围为；
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2=3，x1 x2=m-2，
∵x1，x2满足2x1=x2+1，
把x2=3-x1代入，得
2x1=3-x1+1
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
38．（2022秋·河北唐山·九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+(m﹣1)2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=28时，求m的值．
【答案】（1）m≥；（2）符合条件的m的值为3．
【详解】试题分析：（1）若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，即可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可得x1+x2=2m，x1·x2=(m﹣1)2，再根据x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2即可求得m的值，结合（1）即可确定出m的具体值.
试题解析：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）2≥0，
整理得：2m-1≥0，
解得：m≥；
（2）∵x12+x22=28，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=28，
∵x1+x2=2m，x1·x2=（m﹣1）2，
∴（2m）2﹣2（m﹣1）2=28，
∴m=3或m=-5，
∵原方程有两个实数根，m≥，
∴m=-5舍掉，
符合条件的m的值为3．
39．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知是方程的两个实根，求的最值．
【答案】的最小值为
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入，由得到，再利用二次函数图像与性质求出最值即可得到答案．
【详解】解： 是方程的两个实根，
，，且，
，即，
，
，且，
，对称轴为，令，且，
对于抛物线，它的开口向上，当时，的值随着的增大而增大，
当时，的值取最小值，最小值为．
【点睛】本题考查利用二次函数图像与性质求最值，涉及一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与判别式的关系等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
40．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根：
(2)若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
【答案】(1)见解析
(2)，m=2
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可；
（2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∵，
∴．
∴方程恒有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2
∴原方程为：
原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1．
∴，另一个根为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握常见解一元二次方程的方法以及用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．
41．（2022·九年级课时练习）已知关于的方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行求解即可．
【详解】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即，
解得，即，
∴的取值范围是．
（2）由韦达定理可知，，
∵，∴，即，
∵，
∴，，∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
42．（2022秋·九年级单元测试）在关于的一元二次方程中，
若，方程有实数根，求的取值范围；
若是此方程的一个实数根，，，求的值．
【答案】（1）c≤1；（2）
【分析】（1）根据b=2，方程有实数根，得出△=22-4c≥0求出即可；
（2）将m以及即可求出m以及b的值．
【详解】解：若，
则方程为．
∵,
．
∴．
解：由题意得，
．
，
．
∴，
∴．
解：由题意得，
．
∴．
∴．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
43．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）已知关于的方程
当时，解这个方程；
试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程．
【答案】；证明见解析.
【分析】（1）当a=2时，化简原方程，再解方程即可；（2）利用配方法证明≠0，由此即可证得结论．
【详解】当时，原方程化简为：
解得：.
∵
∴
故这个方程都是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，解决第（2）问时，证明二次项系数≠0是解题的关键．
44．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）已知关于x的方程：（m﹣2）x2+x﹣2＝0
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两实数根为x1、x2，且x12+x22＝5，求m的值．
【答案】（1）m≥；（2）m＝3
【分析】（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：（1）当m﹣2≠0时，△＝1+8（m﹣2）≥0，
∴m≥且m≠2，
当m﹣2＝0时，x﹣2＝0，符合题意，
综上所述，m≥
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝，x1x2＝，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴+ ＝5，
∴＝1或＝﹣5，
∴m＝3或m＝（舍去）．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
45．（2023春·北京·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最小整数时，求方程的解．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）满足条件的最小值为，
此时方程为，
解得，．
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
46．（2022春·北京·八年级北京师大附中校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，设方程的两个实数根分别为，（其中>），若y是关于m的函数，且，求y与m的函数解析式．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）证明方程总有两个不相等的实数根，也就是证明判别式大于0；（2）解关于x的一元二次方程可得，，把，的值代入即可求得y与m的函数解析式．
试题解析：解：（1）由题意有＞0．
∴ 不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）方程的两个实数根分别为，（其中>），
解关于x的一元二次方程可得，
，．
∴．
考点：一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法．
47．（2022秋·广东汕尾·九年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知关于x的方程
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若方程有两个不等实根x1，x2，且满足，求k的值
【答案】(1)见解析
(2)-2
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）由x1+x2=k+2，x1x2=2k，将原式变成仅含有k的一元二次方程，在进行求解即可；
【详解】（1）△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，
∵（k-2）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=k+2，x1x2=2k，
∴x12-（k+2）x1+2k=0，
∴x12=（k+2）x1-2k，
∵x12 2x1+kx2＝4，
∴（k+2）x1-2k-2x1+kx2=4，
∴kx1-2k+kx2=4，
∴k（x1+x2）-2k=4，
∴k2=4，
∵方程有不相等实根
∴k≠2
∴k=-2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
48．（2023秋·九年级课时练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.
【详解】（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
49．（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知：关于x的方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0 （m≠0）．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；
（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？
【答案】（1）m1=m2=-3．（2）x1=1，x2=．（3）当m取1、3或-3时，方程的两个根均为正整数．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论；
（3）根据（2）的结论结合方程的两个根均为正整数，即可得出的值，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=[-3（m+1）]2-4m（2m+3）=0，
∴（m+3）2=0，
∴m1=m2=-3．
（2）∵mx2-3（m+1）x+2m+3=0，即[mx-（2m+3）]（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=．
（3）∵x1=1、x2==2+均为正整数，且m为整数，
∴=1、-1或3．
当=1时，m=3，
当=-1时，m=-3，
当=3时，m=1．
∴当m取1、3或-3时，方程的两个根均为正整数．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”；（2）利用因式分解法解方程；（3）根据（2）的结论结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．
50．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）已知．
(1)化简A；
(2)若a，b是方程的两根，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整式乘除法则与加减法则直接化简即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积的关系代入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：∵a，b是方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查整式化简求值与一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握 ，．
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重难突破03 “△”、根与系数的关系综合
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）若方程的两个实数根分别为、，则等于
A．3 B． C． D．
2．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）已知点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4．（2022秋·广东东莞·九年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2022秋·九年级课时练习）关于x的方程的两个实数根分别为和，且，则k的值是（ ）
A．－3 B． C．－2 D．
6．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
7．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．2 B．0 C． D．
8．（2022秋·贵州遵义·九年级校联考期中）关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根和k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·湖南·八年级校考阶段练习）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x 4x 10 B．3x 8x 3 0
C．x 2x 3 0 D．(x 2)(x 3) 12
10．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
11．（2022秋·广东深圳·九年级统考期中）已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为（ ）
A．-1 B．9 C．3 D．27
12．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
13．（2022秋·全国·九年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
14．（2022秋·山西太原·九年级统考期中）方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
15．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
16．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
17．（2007·山东潍坊·中考真题）对于二次函数，我们把使函数值等于的实数叫做这个函数的零点，则二次函数（为实数）的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
18．（2022秋·福建南平·九年级统考期中）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
19．（2022秋·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2022 B．2022 C． D．4010
20．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
二、填空题
21．（2022秋·九年级单元测试）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2， 则x1（x2+x1）+x22的最小值为 ．
22．（2022秋·广东东莞·九年级校联考阶段练习）若关于的一元二次方程一个根是1，且、满足等式，则 ．
23．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）若方程有实数解，则的取值范围是 ．
24．（2023·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
25．（2022·湖北黄石·九年级校考学业考试）已知方程的两根是、，则 .
26．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2， 则+= ．
27．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的方程的两根分别为，，则的值为 ．
28．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+ax+nb＝0（1≤n≤3，n为整数），其中a是从2、4、6三个数中任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件An（n＝1，2，3），当An的概率最小时，n的所有可能值为 ．
29．（2022·江苏南京·校联考二模）设x1、x2是方程x2＋mx＋3＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则m＝ ．
30．（2023春·陕西西安·九年级校考开学考试）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是 ．
31．（2022·浙江杭州·统考二模）已知方程x2 3x+m=0有两个实数根，则m所取的值可以是 ．（填一个即可）
32．（2022·河南洛阳·统考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则x的取值范围为 ．
33．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则 ．
34．（2022秋·八年级单元测试）已知是方程的根，则的值是 ．
35．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
三、解答题
36．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若x为方程的一个根，且满足0＜x＜3，求整数m的值．
37．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）已知关于一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足，求m的值．
38．（2022秋·河北唐山·九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+(m﹣1)2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=28时，求m的值．
39．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知是方程的两个实根，求的最值．
40．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根：
(2)若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
41．（2022·九年级课时练习）已知关于的方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
42．（2022秋·九年级单元测试）在关于的一元二次方程中，
若，方程有实数根，求的取值范围；
若是此方程的一个实数根，，，求的值．
43．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）已知关于的方程
当时，解这个方程；
试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程．
44．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）已知关于x的方程：（m﹣2）x2+x﹣2＝0
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两实数根为x1、x2，且x12+x22＝5，求m的值．
45．（2023春·北京·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最小整数时，求方程的解．
46．（2022春·北京·八年级北京师大附中校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，设方程的两个实数根分别为，（其中>），若y是关于m的函数，且，求y与m的函数解析式．
47．（2022秋·广东汕尾·九年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知关于x的方程
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若方程有两个不等实根x1，x2，且满足，求k的值
48．（2023秋·九年级课时练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
49．（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知：关于x的方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0 （m≠0）．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；
（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？
50．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）已知．
(1)化简A；
(2)若a，b是方程的两根，求A的值．
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