资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破04 一元二次方程的应用
重难突破
1．（2023春·八年级单元测试）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝66 B．＝66
C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66
【答案】A
【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）=484，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一年的产量为400（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400（1+x）（1+x），
则列出的方程是400（1+x）2=484．
故选：B．
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b是解决问题的关键．
3．（2022·浙江杭州·模拟预测）近年，我市推出“五水共治”专项行动，经两年时间，我市的污水利用率提高了．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这两年的污水利用率的平均增长率是x，利用原有污水利用率×（1+平均每年污水利用率的增长率）2=污水利用率，列方程即可．
【详解】解：设这两年的污水利用率的平均增长率是x，
根据题意列方程得，（1+x）2=130%，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）一个小组有若干人，每个同学都将自己的贺卡向全组其他同学各送一张，若全组共送贺卡张，则这个小组共（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等量关系即可.
【详解】设小组人数为x个，则每个人送他人（x-1）张卡片，可列方程x（x-1）=72,解得x=9（-8舍去）.所以本题选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够从文字中提取关系式进行解答.
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
6．（2022秋·江苏泰州·九年级泰州市海军中学校考期中）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】设参加比赛的球队数共有x队，根据题意即可列出一元二次方程，即可求解.
【详解】设参加比赛的球队数共有x队，
根据题意得
解得x1=8,x2=-7（舍去）
故参加比赛的球队数共有8队，故选C.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的根据是根据题意找到等量关系进行求解.
7．（2022秋·九年级单元测试）某地年投入教育经费万元，预计年投入元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2010年投入2100万元，预计2012年投入3500万元即可得出方程．
【详解】设教育经费的年平均增长率为x，
则2011的教育经费为：2100×(1+x)
2012的教育经费为：
那么可得方程：
故选B.
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
8．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．
【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2
∴
故选B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．
二、填空题
9．（2022春·上海静安·九年级校考专题练习）某工厂今年产值为a亿元，计划在两年内产值平均每年增长百分之x，则该厂两年后的年产值是 ．
【答案】
【分析】明年的产值为，后年的产值是明年的，即.
【详解】解：明年的产值为，后年的产值是在明年的产值的基础上增加的，为，即该厂两年后的产值为.
故答案为：
【点睛】易错点是得到后年的产值应在明年的产值的基础上增加．
10．（2023·全国·九年级假期作业）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米，为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则 米．
【答案】10或11
【分析】设仓库的宽AB为x米，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为（84-4x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，解之此题得解．
【详解】解：设仓库的宽AB为x米，则仓库的长为（84-4x）米，
根据题意得：x（84-4x）=440，
解得：x=10或x=11，
故答案为：10或11．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）某校进行体操队列训练，原有8行12列，后增加69人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或x列，则列方程得 ．
【答案】
【分析】设增加了行，根据体操队伍人数不变列出方程即可．
【详解】解：设增加了行，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
12．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为元，经过两个月后的价格为元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为 ．
【答案】
【分析】设这件商品价格每月的增长率为x，根据9月份的价格为100元以及两个月后的价格为121元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这件商品价格每月的增长率为x，
根据题意，得
，
解得，（不合题意，舍去）．
故这两个月平均每月的增长率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
13．（2022·新疆乌鲁木齐·校联考一模）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为 ．(用百分数表示)
【答案】40%
【分析】设该地区居民年人均收入平均增长率为，根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.
【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为，
，
解得，，(舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
14．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）某地区新能源汽车保有量2020年底达到30万辆，2022年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】可先表示出2021年的产能，那么2021年的产能×（1＋增长率）＝41，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，则2021年的产能为，2022年的产能在2021年产能的基础上增加，为，
则列出的方程是．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2023秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率，设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意可直接列出方程．
【详解】设该市5G用户数平均年增长率为x，
则根据题意可直接列出方程．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系是解题关键．
16．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）上海玩具厂年月份生产玩具个，后来生产效率逐月提高，月份生产玩具个，设平均每月增长率为，则可列方程 ．
【答案】
【分析】设平均每月增长率为x，则二月份生产玩具的数量为3000（1+x）个，三月份生产玩具的数量为3000（1+x）2个，根据题意找出等量关系：三月份生产玩具的数量是3630个，据此等量关系列出方程即可．
【详解】设平均每月增长率为x，依题意得：
该方程为：3000（1+x） 2 =3630．
故答案为： =3630.
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找出合适的等量关系列出方程是解题关键．
三、解答题
17．（2023秋·八年级课时练习）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求与之间的函数关系式；
(2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
（2）利用总利润每个排球的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：这种排球每个的实际售价是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．（2022秋·九年级单元测试）某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为331万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
【答案】10%
【分析】设该公司二、三月份营业额平均增长率是x，根据公式增长后的量=增长前的量×（1+增长率），表示出二月与三月的营业额，根据第一季度总营业额为331万元，即可列方程求解．
【详解】设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．
根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，
解得x1=0.1，x2=-3.1（不合题意，舍去）．
答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，根据公式增长后的量=增长前的量×（1+增长率），表示出二月与三月的营业额是解题的关键.
19．（2023春·八年级课时练习）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元，用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．
(1)、型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，型口罩受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销售为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少5盒.当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润为元？
【答案】(1)型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元；
(2)元．
【分析】（1）设型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设型口罩每盒售价为元，销售型口罩所得日均总利润为1125元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设型口罩每盒进价是元，则型口罩每盒进价为元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，，
答：型口罩每盒进价是30元，则型口罩每盒进价为50元；
（2）解：设型口罩每盒售价为元，销售型口罩所得日均总利润为1125元，
根据题意得：，
即
∴
解得：
答：当型口罩每盒售价为65元时，销售型口罩所得日均总利润为1125元
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
20．（2022秋·九年级课时练习）如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.
(1)如果a＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？
(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？
【答案】（1）养鸡场的长、宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m.（2）建成长为15 m，宽为10 m或长为20 m，宽为7.5 m的养鸡场．
【详解】分析：
（1）设与墙垂直的一边长为xm，则由题意可得与墙平行的一边长为（35-2x）m，根据长方形的面积计算公式结合题意列出方程，解方程即可求得养鸡场的长和宽；
（2）由养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a，结合（1）中所得结果进行分析即可.
详解：
(1)设养鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(35－2x)m，根据题意得：x(35－2x)＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x＝10时，35－2x＝15；
当x＝7.5时，35－2x＝20.
答：养鸡场的长、宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m.
(2)由题意可知，养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a，结合（1）中的结果可知：
①当a＜15时，问题无解；
②当15≤a＜20时，问题有一解，即可建成长为15 m、宽为10 m的养鸡场；
③当a≥20时，问题有两解，即可建成长为15 m，宽为10 m或长为20 m，宽为7.5 m的养鸡场．
点睛：（1）“读懂题意，结合图形，知道用竹篱笆只围了养鸡场的三面”是解答第1小题的关键；（2）“读题题意，知道养鸡场与墙平行一边的长度不大于墙的长度a”是解答第2小题的关键.
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，
(1)出发多少秒后，四边形的面积为？
(2)出发多少秒后，四边形的面积能否为？为什么？
【答案】(1)2秒
(2)不能，见解析
【分析】（1）设t秒后，四边形的面积为 ，则，，根据，列出方程，即可求解；
（2）设x秒后，四边形的面积为 ，则，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设t秒后，四边形的面积为 ，则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
整理得：，
解得：，
当时，，
∵Q不与点C重合，
∴不合题意舍去，
所以2秒后，四边形的面积为；
（2）解：设x秒后，四边形的面积为 ，则，
∴，根据题意得：
，
整理得：，
∵
∴此方程无实数根，
∴四边形的面积不能为．
22．（2022秋·河南安阳·九年级阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．市场调研表明:当销售价为每上涨1元时，其销售量就将减少10个．商场要想销售利润平均每月达到10000元，每个台灯的定价应为多少元 这时应进台灯多少个
【答案】50元；500个．
【详解】试题分析：首先设定价为x元，根据题意列出方程，从而求出x的值，根据定价求出台灯的数量．
试题解析：设售价定为x元， 根据题意得：[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，
整理，得x2﹣130x+4000=0， 解得：=50，=80（舍去），
600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（50﹣40）=500（个）
答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．
考点：一元二次方程的应用
23．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？
【答案】经过2秒后的面积等于
【分析】过点Q作于E，根据直角三角形30度角的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
过点Q作于E，则．
∵，
∴．
∴．
设经过t秒后的面积等于，
则
根据题意，．
．
．
当时，，不合题意舍去，取．
答：经过2秒后的面积等于．
【点睛】此题考查了直角三角形30度角的性质，动点问题，三角形的面积计算公式，解一元二次方程，正确理解直角三角形的性质是解题的关键．
24．（2022秋·四川泸州·九年级统考期末）李大爷今年开了一家商店，10月份盈利2400元，12月份的盈利达到3456元，求10月到12月每月盈利的平均增长率．
【答案】10月到12月每月盈利的平均增长率为
【分析】设10月到12月每月盈利的平均增长率为x，由10月份盈利额×＝12月份的盈利额，列出方程求解即可．
【详解】解：设10月到12月每月盈利的平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：10月到12月每月盈利的平均增长率为．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023·贵州·模拟预测）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
销售单价（元） 34 35 36 37 38 39 40
月平均销售量（件） 430 425 420 415 410 405 400
若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）25%；（2）35元
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【详解】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2=400，
解得：x1==25%，x2=（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，
设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40-25-m）（400+5m）=4250，
解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去），
40-5=35元．
答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
26．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
（1）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
（2）当售价定为多少元时，其销售利润达到最大，最大利润是多少？
【答案】(1)50或80； (2) 售价为65元时利润最大，利润最大为12250元；
【分析】(1) 假设这种台灯上涨x元，根据题意列出方程，再求解即可得到答案；
(2)根据利润＝每个台灯的利润×销售量列出一元二次方程，再根据二次函数的性质求最大利润即可得到答案；
【详解】解：(1) 假设这种台灯上涨x元，根据题意可得方程：
，
即：，
化简得：，
即：
解得：或，
此时售价定价为：10＋40=50（元）或者40+40=80（元）；
(2)设台灯售价为x元，利润为y元，根据题意得：
，
即：，
化简得：
即：，
根据二次函数的性质，开口向下，越靠近对称轴的点对应的值越大，对称轴处取得最大值，
因此，当x=65时，取得最大利润y=12250；
故售价为65元时利润最大为12250元；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，通过实际问题列一元二次方程，根据二次函数的性质求利润最大，根据题意准确列出方程和函数表达式是解题的关键．
27．（2022秋·宁夏银川·九年级校考期中）如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒．
（1）当t为多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？请说明理由；
（2）当t为多少秒时，AQ＝DC？请说明理由；
（3）当t为多少秒时，PQ⊥DC？请说明理由．
【答案】（1）t＝时，四边形PQCD是平行四边形，理由见解析；（2）当t＝或t＝4时，AQ＝DC，理由见解析；（3）当t＝秒，使得PQ⊥DC，理由见解析
【分析】（1）若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，根据题意可列出关于t的一元一次方程，求解即可；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AB=6，利用勾股定理可求出CE的长，从而得出BC=12，BQ=12-5t，在直角△ABQ中利用勾股定理求解即可
（3）利用△CPQ∽△CED求解即可．
【详解】解：（1）t＝时，四边形PQCD是平行四边形，理由如下：
由题意知，AP＝4t，CQ＝5t，
∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，
∵四边形PQCD成为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴4﹣4t＝5t，
解得：t＝，
即t＝时，四边形PQCD是平行四边形；
（2）过点D作DE⊥BC于E，连接AQ，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝6cm，
BE＝AD＝4cm，
由勾股定理得，CE＝，
∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，
∵CQ＝5t，BC＝12，
∴BQ＝12﹣5t，
∵AQ＝CD，
∴，
解得：t＝或t＝4（不符合题意，舍去）；
（3）如下图，由题意知，CP＝14﹣4t，
∵PQ⊥CD，
∴∠CPQ＝90°，
∴∠CPQ＝∠CED，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPQ∽△CED，
∴
即，
解得t＝，
此时，CQ＝×5＝＜BC，
∴存在t＝秒，使得PQ⊥DC．
【点睛】本题是一道关于四边形的综合题目，设计的知识点有矩形的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，综合运用以上知识点是解此题的关键．
28．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为2万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为2.42万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
【答案】(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为
(2)每件商品的售价应该定为110元
【分析】设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可；
（2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000，再求出解，根据题意确定答案即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得
，
解得，（舍去）．
所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是；
（2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是元，每天的销售量是件，根据题意，得
，
解得，．
因为要使销售量尽可能大，
所以．
所以每件商品的售价应该定为110元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
29．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）某精品店购进甲乙两种小礼品，已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（1）求甲种礼品的进价；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元／件销售，每天可卖40件；若按5元／件销售，每天可卖60件．假设每天销售的件数y（件）与售价x（元／件）之间满足一次函数关系，当甲礼品的售价定为多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
【答案】（1）4元；（2）5元或7元
【分析】（1）设甲种礼品的进价为m元，则乙种礼品的进价为（m－1）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设y与x的关系式为：y＝kx＋b，利用待定系数法求出完整解析式，然后根据题意建立一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）设甲种礼品的进价为m元，则乙种礼品的进价为（m－1）元，
则由题意：2m＋m－1＝11，
解得：m＝4，
答：甲种礼品的进价为4元．
（2）设y与x的关系式为：y＝kx＋b，
把x＝6，y＝40；x＝5，y＝60代入上式，
得：，解得，
∴y与x的关系式为：y＝－20x＋160．
由题意得：（x－4）(－20x＋160)＝60，
整理得：x2－12x＋35＝0，
解得：x＝5或x＝7，
答：当甲礼品的售价定为5元或7元时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元．
【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，理解题意，熟练利用待定系数法求出一次函数表达式，准确建立一元二次方程并求解是解题关键．
30．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2．42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．
（1）求这个增长率；
（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．
【答案】（1）参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%；（2）参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．
【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；
（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有万人，其他人士有万人．根据师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%，社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%，列二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为，根据题意，得
解方程，得，（舍去）．
答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．
（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有万人，其他人士有万人．　根据题意，得
解方程组，得
．
答：参与第三批公益课的师生人数为1．98万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
31．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：如图的“冰墩墩”和“雪容融”．已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
(1)请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
(2)某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月销售该“冰墩墩”的收入多少万元？
【答案】(1)冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元
(2)159.72万元
【分析】（1）设冰墩墩每个的售价是x元，雪容融每个的售价是y元，根据题意得：，计算求解的值即可；
（2）设月平均增长率为a，则11月份的销售量为，12月份的销售量为，根据题意，得：，求出满足要求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：设冰墩墩每个的售价是x元，雪容融每个的售价是y元，根据题意得：，
解得，
所以，冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元．
（2）解：设月平均增长率为a，则11月份的销售量为，12月份的销售量为，
根据题意，得：，
解得， （不合题意，舍去），
（万元），
所以，2022年1月销售该“冰墩墩”的收入为万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程组的应用．解题的关键在于根据题意列方程或方程组．
32．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）如图，某医院用一段长为50米的警示带围出一个一边靠墙的矩形封闭区域作为疫苗接种观察区，已知墙长为25米（靠墙面无需使用警示带）．
(1)若矩形ABCD的面积为200平方米，求矩形的边AD的长；
(2)想使围出的矩形的面积最大，边AD的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【答案】(1)20米
(2)想使围出的矩形的面积最大，边AD的长应为米，最大面积为平方米
【分析】（1）设矩形的边AD的长为x米，则CD=（50-2x）米，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设矩形的面积为S平方米，矩形的边AD的长为a米，根据列出S关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边AD的长为x米，则CD=（50-2x）米，根据题意得：
，
解得：，
当AD=5米时，CD=50-2×5=40米＞25米，不符合题意，舍去，
答：矩形的边AD的长为20米；
（2）解：设矩形的面积为S平方米，矩形的边AD的长为a米，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵-2＜0，
∴当时，S取得最大值，最大值为，
即想使围出的矩形的面积最大，边AD的长应为米，最大面积为平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程或函数关系式．
33．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元．甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，每天少卖出2袋．乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋．假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数．
(1)当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出______袋，乙零食每天多卖出袋______；乙零食售价______元；
(2)当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？
【答案】(1)26，10，13
(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元
【分析】（1）根据题意列出算式进行计算即可求解；
（2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）
甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出30﹣2×2＝26（袋），
则乙销售了10袋，乙零食的售价为14﹣1＝13（元）．
故答案为：26，10，13；
（2）
设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，
（5+x）（30﹣2x）+（6+2x）（14﹣﹣7）＝268，
∴，
解得 ，
∵售价均为整数，
∴x＝4．
答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
34．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：
(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；
(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？
(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
【答案】(1)y=40x+160；
(2)这种水果每千克降价9元；
(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．
【分析】（1）根据“当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．”找出等量关即可．
（2）设这种水果每千克降价x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
（3）设该商品每千克降价x元，根据题意列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质和最值，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，得y=160+120×，
即y=40x+160；
（2）解：设这种水果每千克降价x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
，
整理，得，
解这个方程，得＝3，＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9．
答：这种水果每千克降价9元．
（3）解：设该商品每千克降价x元，根据题意，得
=
=．
当x=6时，=4000．
答：当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数关系式．
35．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米
【分析】仓库的宽为x米，则可以知道该仓库的长为：米，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设仓库的宽为x米，根据题意，可以知道该仓库的长为：米
由题意可列出方程：
整理，得，
解方程，得，，
当时，长=，不合题意舍去，
当时，长=，符合题意，
答：仓库的长与宽分别为10米和6米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
36．（2023·山东临沂·统考一模）【问题情境】某超市销售一种进价为元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价（元/千克） … …
销售量（千克） … …
【建立模型】
(1)请你利用所学知识，分别建立能够刻画每天销售量与销售单价、每天的利润与销售单价之间的关系式；
【模型应用】
(2)当销售单价为多少时，超市每天获利最多？每天最多获利是多少元？
(3)超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求每天利润为元时的销售单价．
【答案】(1)答案见解析
(2)销售单价定为元/千克时，超市每天获利最多，最多获利元
(3)销售单价应为元/千克
【分析】（1）如图，设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接，发现各点都在同一直线上，故y与x可以用一次函数关系来表示，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设超市销售该商品每天的利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可求解；
（3）根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接，发现各点都在同一直线上，故y与x可以用一次函数关系来表示，
设，则，
解得，
．
设超市销售该商品每天的利润为w元，
则．
（2），
，
∴当x＝35时，w取得最大值，．
因此销售单价定为35元/千克时，超市每天获利最多，最多获利450元．
（3）超市利润400元时，，
解得，．
因为超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
．
因此，销售单价应为30元/千克．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
37．（2022春·河南南阳·九年级统考期中）我省南部的南宫山景区，为吸引游客组团来此旅游特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人
（1）若某单位组织22名员工去南宫山景区旅游，则购买门票共需多少元？
（2）若某单位共支付南宫山景区门票费用1500元，试求该单位这次共有多少名员工去南宫山旅游.
【答案】（1）购买门票共需1452元；（2）该单位这次共有25名员工去南宫山景区旅游.
【分析】（1）利用单价=原价-2×超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价=单价×数量即可求出结论；
（2）设该单位这次共有x名员工去七峰山生态旅游区旅游，利用数量=总价÷单价结合人数为整数可得出20＜x≤27，由总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）（元/人），
（元）
答：购买门票共需1452元。
（2）设该单位这次共有x名员工去南宫山景区旅游
依题意得，
解得（不合题意，舍去）
答：该单位这次共有25名员工去南宫山景区旅游.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
38．（2022春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）银泰百货名创优品店购进600个钥匙扣，进价为每个8元，第一周以每个12元的价格售出200个，第二周若按每个12元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售．据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低元销售，销售一周后，商店对剩余钥匙扣清仓处理，以每个6元的价格全部售出．
（1）如果这批钥匙扣共获利1050元，那么第二周每个钥匙扣的销售价格为多少元？
（2）这次降价活动，1050元是最高利润吗？若是，说明理由；若不是，求出最高利润．
【答案】（1）9元;（2）1250元．
【分析】（1）设获利为w，根据每周的利润等于每周的销售量乘以（售价-进价），再将它们加起来，即可得w关于x的函数，然后让其等于1050，解方程即可；
（2）将（1）中的利润函数写成顶点式，即可知最大值，从而可得结论．
【详解】（1）∵第二周每个旅游纪念品的销售价格为（12-x）元，设获利为w，由题意得：
w=200×（12-8）+（12-x-8）（200+50x）+（6-8）[（600-200）-（200+50x）]
=800+50（4-x）（4+x）-2（200-50x）
=800+800-50x2-400+100x
=-50x2+100x+1200
如果这批钥匙扣共获利1050元，则-50x2+100x+1200=1050
∴x2-2x-3=0
∴（x-3）（x+1）=0
∴x=3或x=-1（舍）
∴12-3=9（元）
∴第二周每个钥匙扣的销售价格为9元．
（2）∵w=-50x2+100x+1200
=-50（x-1）2+1250
∴当x=1时，w有最大值，最大值为1250元．
∴这次降价活动，1050元不是最高利润，最高利润是1250元．
【点睛】此题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程进行解答.
39．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．
【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（50﹣x）（40+2x）=2400，
解得：x1=10，x2=20，
因为尽量减少库存，x1=10舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设每天盈利为W元，则
W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450，
当x=15时，W最大为2450．
答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
40．（2022春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）如图，一幅长、宽的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．
【答案】水平彩条宽度为，竖直彩条的宽度为．
【分析】水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为，由面积关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：设水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，或 （不合题意舍去），
∴， ，
答：水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积；由题意列出方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破04 一元二次方程的应用
重难突破
1．（2023春·八年级单元测试）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝66 B．＝66
C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66
2．（2022·江苏·九年级专题练习）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江杭州·模拟预测）近年，我市推出“五水共治”专项行动，经两年时间，我市的污水利用率提高了．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·九年级单元测试）一个小组有若干人，每个同学都将自己的贺卡向全组其他同学各送一张，若全组共送贺卡张，则这个小组共（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·江苏泰州·九年级泰州市海军中学校考期中）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2022秋·九年级单元测试）某地年投入教育经费万元，预计年投入元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022春·上海静安·九年级校考专题练习）某工厂今年产值为a亿元，计划在两年内产值平均每年增长百分之x，则该厂两年后的年产值是 ．
10．（2023·全国·九年级假期作业）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米，为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则 米．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）某校进行体操队列训练，原有8行12列，后增加69人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或x列，则列方程得 ．
12．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为元，经过两个月后的价格为元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为 ．
13．（2022·新疆乌鲁木齐·校联考一模）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为 ．(用百分数表示)
14．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）某地区新能源汽车保有量2020年底达到30万辆，2022年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
15．（2023秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率，设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为 ．
16．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）上海玩具厂年月份生产玩具个，后来生产效率逐月提高，月份生产玩具个，设平均每月增长率为，则可列方程 ．
三、解答题
17．（2023秋·八年级课时练习）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求与之间的函数关系式；
(2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？
18．（2022秋·九年级单元测试）某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为331万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
19．（2023春·八年级课时练习）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元，用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．
(1)、型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，型口罩受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销售为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少5盒.当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润为元？
20．（2022秋·九年级课时练习）如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.
(1)如果a＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？
(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，
(1)出发多少秒后，四边形的面积为？
(2)出发多少秒后，四边形的面积能否为？为什么？
22．（2022秋·河南安阳·九年级阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．市场调研表明:当销售价为每上涨1元时，其销售量就将减少10个．商场要想销售利润平均每月达到10000元，每个台灯的定价应为多少元 这时应进台灯多少个
23．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？
24．（2022秋·四川泸州·九年级统考期末）李大爷今年开了一家商店，10月份盈利2400元，12月份的盈利达到3456元，求10月到12月每月盈利的平均增长率．
25．（2023·贵州·模拟预测）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
销售单价（元） 34 35 36 37 38 39 40
月平均销售量（件） 430 425 420 415 410 405 400
若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？
26．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
（1）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
（2）当售价定为多少元时，其销售利润达到最大，最大利润是多少？
27．（2022秋·宁夏银川·九年级校考期中）如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒．
（1）当t为多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？请说明理由；
（2）当t为多少秒时，AQ＝DC？请说明理由；
（3）当t为多少秒时，PQ⊥DC？请说明理由．
28．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为2万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为2.42万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
29．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）某精品店购进甲乙两种小礼品，已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（1）求甲种礼品的进价；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元／件销售，每天可卖40件；若按5元／件销售，每天可卖60件．假设每天销售的件数y（件）与售价x（元／件）之间满足一次函数关系，当甲礼品的售价定为多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
30．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2．42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．
（1）求这个增长率；
（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．
31．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：如图的“冰墩墩”和“雪容融”．已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
(1)请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
(2)某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月销售该“冰墩墩”的收入多少万元？
32．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）如图，某医院用一段长为50米的警示带围出一个一边靠墙的矩形封闭区域作为疫苗接种观察区，已知墙长为25米（靠墙面无需使用警示带）．
(1)若矩形ABCD的面积为200平方米，求矩形的边AD的长；
(2)想使围出的矩形的面积最大，边AD的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
33．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元．甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，每天少卖出2袋．乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋．假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数．
(1)当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出______袋，乙零食每天多卖出袋______；乙零食售价______元；
(2)当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？
34．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：
(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；
(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？
(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
35．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
36．（2023·山东临沂·统考一模）【问题情境】某超市销售一种进价为元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价（元/千克） … …
销售量（千克） … …
【建立模型】
(1)请你利用所学知识，分别建立能够刻画每天销售量与销售单价、每天的利润与销售单价之间的关系式；
【模型应用】
(2)当销售单价为多少时，超市每天获利最多？每天最多获利是多少元？
(3)超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求每天利润为元时的销售单价．
37．（2022春·河南南阳·九年级统考期中）我省南部的南宫山景区，为吸引游客组团来此旅游特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人
（1）若某单位组织22名员工去南宫山景区旅游，则购买门票共需多少元？
（2）若某单位共支付南宫山景区门票费用1500元，试求该单位这次共有多少名员工去南宫山旅游.
38．（2022春·浙江绍兴·八年级绍兴市元培中学校考期中）银泰百货名创优品店购进600个钥匙扣，进价为每个8元，第一周以每个12元的价格售出200个，第二周若按每个12元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售．据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低元销售，销售一周后，商店对剩余钥匙扣清仓处理，以每个6元的价格全部售出．
（1）如果这批钥匙扣共获利1050元，那么第二周每个钥匙扣的销售价格为多少元？
（2）这次降价活动，1050元是最高利润吗？若是，说明理由；若不是，求出最高利润．
39．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
40．（2022春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）如图，一幅长、宽的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑