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重难突破06 相似三角形的常见模型
重难突破
模型一：A字型
1．（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，是的高，点，在边上，点、分别在、边上，，，四边形是正方形，求正方形的边长．

【答案】
【分析】由四边形是正方形，可得，即可证得，设正方形的边长为 ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：，解此方程即可求得答案．
【详解】四边形是正方形，
∴，
是的高，
是的高，
∵，
∴，
，
设正方形的边长为 ，
则，，
，
解得：，
正方形的边长为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
2．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，D、E分别是、上的点，且，．

(1)求证：；
(2)若，求的长度
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由，，得出，，即可证明；
（2）由，得出，，进而得出，得出，，证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
3．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？
【答案】经过或秒，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【分析】由于相似三角形的对应边不能确定，故应分，两种情况进行讨论．
【详解】解：∵中，，，
∴cm，
∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动，
∴，
∴当时，，即，解得（秒）；
当时，，即，解得（秒）；
综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．

(1)当，时，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可得到答案；
（2）分别证明，得到，，进而得到，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟知平行线分线段成比例定理，相似三角形对应边成比例是解题的关键．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
即
∵，，，
∴，
解得： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
6．（2022秋·陕西·九年级校考期末）如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先根据平行线分线段成比例定理得到，进而推出，再根据，即可证明．
（2）根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
7．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴ ，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
8．（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
模型二：8字型
9．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，梯形中， ，点F在上，连与的延长线交于点G．

(1)求证：；
(2)当点F是BC的中点时，过F作交于点E，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2cm
【分析】（1）由平行得到内错角相等，从而得证三角形相似；
（2）由相似可证,求证，得；求证是的中位线，得，可求，进而．
【详解】（1）证明：∵梯形，
∴，
∴．
（2）解：由（1），
∴
∵,
∴,
又，
∴，
∴，
∵，F为中点，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质；由相似三角形、全等三角形得到线段间的关系是解题的关键．
10．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．

(1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形．
(2)求证：．
【答案】(1)5；，
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法结合平行四边形的性质可得结论；
（2）证明得到，再证明得出，从而得到，故可得出结论．
【详解】（1）图中有5对相似三角形，为：
故答案为：5；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，
∵，
∴
又，
∴
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练证明相似三角形是解答本题的关键．
11．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据，对顶角相等，即可证明；
（2）根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
12．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长；
②求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用两角分别相等的两个三角形相似即可求证；
（2）①利用相似三角形对应边的比相等和平行四边形对边相等即可求解；
②利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）证明：∵平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴．
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
②∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键是证明三角形相似．
13．（2022春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，抛物线与轴交于，，对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连接交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．
(2)求与的面积之比．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把A点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到顶点的坐标；
（2）利用抛物线的对称性得到点的坐标为，再证明，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2），抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为，
，，
∵，
∴，
∴与的面积之比．
【点睛】本题考查了求解抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，的角平分线分别与、交于点E、F．若，，求的值．

【答案】
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进一步求得．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房的高度为米，楼房的高度为米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．

【答案】这棵树的高度是米；
【分析】根据题意可得，，，即可得到，从而得到，，即可得到，，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
答：这棵树的高度是米；
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是根据题意提取出三角形相似的条件，结合三角形相似的性质列等式求解
16．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结．量得的长为米，求池塘两端的距离．
【答案】米
【分析】根据，，可得，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
∴池塘两端的距离为米．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握其判定方法，性质的综合运用是解题的关键．
模型三：子母型
17．（2023秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，为上一点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据两角对应相等证明；
（2）根据（1）的结论得出，把有关线段的值代入计算即可．
【详解】（1）证明：，，
；
（2）解：设，
，
，
解得：
即
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．
18．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）在中，，垂直平分，分别交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证；
（2）先证明，从而得到，再由，即可求证．
(1)
证明：，
，
垂直平分 AB ，
，
，
，
，
；
(2)
证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
19．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知在中，是上一点，连接，且．
（1）求证
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）.
【分析】（1）由题意直接根据相似三角形的判定定理进行分析论证即可；
（2）由题意根据相似三角形的性质得出比例式求出AC，再进行分析计算即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例，同时注意数形结合思想的应用．
20．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，平分交于D．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由，得，由平分得，故可证；
（2）设，则，，，由相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴∠DBC=∠A
∴；
（2）设，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，即，
解得：或（负值不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
22．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．
【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
23．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期中）如图，在中，点D、E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F．若AE平分，CE=CF．
（1）求证：；
（2）如图1，过点E作交AC的延长线于点G，求证
（3）如图2，若，AD=2，BD=6，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）由AE平分∠BAC可得∠BAE=∠CAF；由CE=CF得∠CFE=∠CEF，从而由三角形外角性质可得∠B=∠ACD ，因而易得；
（2）由EG∥CD，得∠ACD=∠G=∠B，∠DCB=∠CEG，故可得△DCB∽△CEG，从而可得结论；
（3）过点E作交AC的延长线于点G，由（1）得对应边成比例，可求得AC的长，从而在Rt△ADC、Rt△ABC中由勾股定理可分别求得CD、BC的长，易证△BAE≌△GAE，可得CG=AC，再由（2）的结论可求得CE的长，因而可求得BE的长．
【详解】（1）∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAF
∵CE=CF
∴∠CEF =∠CFE
∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAF
∴∠B=∠ACD
∵∠BAC=∠CAD
∴
（2）∵EG∥CD
∴∠ACD=∠G，∠DCB=∠CEG
由（1）∠B=∠ACD
∴∠B=∠G
∴△DCB∽△CEG
∴
即
（3）如图，过点E作交AC的延长线于点G
由（1）
∴
∵AB=AD+BD=8
∴
∴AC=4
在Rt△ADC中由勾股定理得：
在Rt△ABC中由勾股定理得：
由（2）知：∠B=∠G，∠BAE=∠CAF
∵AE=AE
∴△BAE≌△GAE(AAS)
∴AG=AB=8
∴CG=AC=4
由（2）的结论有：
即
∴
∴BE=BC-CE=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．善于利用前面已经证明了的结论．
24．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：AC DF＝BD BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．
【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）证明△ABD≌△BCE（SAS），得出∠BAD＝∠CBE，则∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；
（2）证明△ADB∽△BDF，得出，由AB＝AC可得出结论；
（3）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，证明△BAF≌△CAH（SAS），得出∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，可证明AF∥CH，得出，进而即可得出答案．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，
∴∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°；
（2）证明：由（1）知∠BAD＝∠DBF，
又∵∠ADB＝∠BDF，
∴△ADB∽△BDF，
∴，
又AB＝AC，
∴，
∴AC DF＝BD BF；
（3）证明：延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，
由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH＝60°，AF＝AH，
∴∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，
即∠BAF＝∠CAH，
在△BAF和△CAH中，
,
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，
又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠ABF＝∠CAF，
∴∠ACH＝∠CAF，
∴AF∥CH，
∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，
∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，
∴FH＝2CH，
∴FH＝2BF，
∵FD∥CH，
∴，
∴BD＝DC．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．
模型四：一线三等角型
25．（2022春·福建泉州·八年级泉州五中校考期末）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）设，若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】（1），
，
在和中，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
26．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3时，AM最短为.
【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值．
【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B．
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；
①当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1；
②当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA．
∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B．
∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=．
综上所述：BE=1或．
（3）设BE=x．
又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解答此题的关键．
27．（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，，，
，，
由（1）知，
，
即，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似．
28．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知中，，，点是边上的一个动点（点与点，不重合），点在边上，．若为等腰三角形，求的长．

【答案】2或
【分析】分两种情况讨论：当时，证明，可得；当时，设，则，证明，可得，，再证明，可得，当，则，此时，重合，舍去，从而可得答案．
【详解】解：（1）当时

∵，
∴，
∵，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当时

设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即
解得 ，（不符合题意的根舍去）经检验符合题意；
（3）当，则，此时，重合，舍去；
∴的长为2或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
29．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长

【答案】
【分析】根据得到，结合即可得到，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质得到三角形相似．
30．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．
(1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论．
(2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题：
①求证：；
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）证明，可得，即可证明；
（2）①由∠，，可证；，，可证：；
②，，可得，由，可得．
【详解】（1）解：在图（）中，
，
；
在图（）中，根据旋转的性质，
，
，，
，
，
，
，
；
（2））①在图（1）中，
，
，
，
，
在图（）中，，
，
在和中，
②，理由如下，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的相似，熟练掌握等腰三角形的性质以及等腰三角形共点旋转模型是解题的关键．
31．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
(3)当点是线段的中点时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明，再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．
（3）由，可得，结合为的中点，可得，结合，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵沿翻折得到，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵四边形是矩形， ，，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，．
在中， ．
设CE的长为x，则．
∵，
∴．
∴，
即．
∴，
即．
（3）∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
32．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB边上一点，BD＝4，点E为BC边上的动点，以E为顶点作∠DEF＝60°，射线EF交AC边于点F．
(1)如图1，若BE＝1，求CF的长；
(2)如图1，当点E在线段BC上运动时，求CF的取值范围；
(3)如图2，过点D作DP⊥DE交射线EF于点P，连接AP，当时，求AP的长．
【答案】(1)
(2)0≤CF≤
(3)
【分析】（1）通过证明△BDE∽△CEF，可得，即可求解；
（2）当点E与点B重合时，点F与点C重合，CF的最小值为0，由相似三角形的性质可得，求出CF＝，由二次函数的性质可求CF的最大值；
（3）由相似三角形的性质可得CE＝2，可证△CEF是等边三角形，△BDE是等边三角形，由直角三角形的性质可求DE的长，PD的长，PH的长，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∠DEF＝60°，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠DEF+∠CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CEF，
∴，
∴＝，
∴CF＝；
（2）解：当点E与点B重合时，点F与点C重合，则CF的最小值为0，
由（1）可知：，
∴，
∴CF＝＝，
∴当CE＝3时，CF有最大值，
∴0≤CF≤；
（3）解：∵DP⊥DE，∠DEF＝60°，
∴∠DPE＝30°，
∴PE＝2DE，PD＝DE，
∵＝，
∴PF＝3EF，
∴PE＝4EF，
∴DE＝2EF，
∵△BDE∽△CEF，
∴＝＝2，
∴CE＝2，BE＝2CF，
∴BE＝4，
∴CF＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF＝2，
∴DE＝4，EP＝8，
∴DP＝4，
如图，过点P作PH⊥BA，交BA的延长线于点H，
∵BD＝BE＝4，∠ABC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，
∴∠PDH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴HP＝PD＝2，DH＝HP＝6，
∴AH＝DH﹣AD＝6﹣2＝4，
∴AP＝＝＝2．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
模型五：手拉手型
33．（2022秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）如图，已知，连接、，求证： ．
【答案】见解析
【分析】由相似三角形的性质可得，，可得，由两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证．
【详解】证明：，
，，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
34．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】可证，，从而可证，可得，即可求证．
【详解】证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定及性质，垂直的定义，掌握判定方法及性质是解题的关键．
35．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证，从而可证，可得，可求，即可得证；
（2）过作交于，可求，可证，可得，可求，即可求解．
【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
．
（2）解：如图，过作交于，

由旋转得：，
，，
，
，
，
由（1）同理可证，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，面积转化，掌握性质及判定方法是解题的关键．
36．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，在四边形中，．点在内部，且满足 ，．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先证明，推出，即，再得到，即可证明结论；
（2）由相似三角形的对应角相等得到，延长交于点，由三角形的外角性质即可证明结论；
（3）相似三角形的性质得到和，由勾股定理得到，通过计算即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴，
即．
∵，
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴．
延长交于点．
则，
．
故
；
（3）证明：∵，
∴，即．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明是解题的关键．
37．（2023春·福建漳州·九年级校考阶段练习）已知：如图，正方形与正方形．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，求的值；
(3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质得出，，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）如图①，连接，由正方形的性质得到证明，即可得到；
（3）如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R，证明，得到，则，再证明，即可证明，得到，则，由三角形中位线定理得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵正方形与正方形，
∴，，
∴，
∴ ，
∴；
（2）解：如图①，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R，
∵，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，点N是中点，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
38．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；
（2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解；
（3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴△PBD为等边三角形
∴，
∴
在和中
∴
∴
（2）过点作，如下图：
∵当α＝120°时，
∴，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋转的性质可得：，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度
当在线段上时，如下图：
由题意可得：
∵α＝120°，
∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
当在线段延长线上，如下图：
则，
由（2）得，
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
综上所述：点D到CP的距离为或
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
39．（2022秋·福建泉州·九年级校考自主招生）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
40．（2023·福建·九年级专题练习）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【答案】（1）1，（2）45°（3），
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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重难突破06 相似三角形的常见模型
重难突破
模型一：A字型
1．（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，是的高，点，在边上，点、分别在、边上，，，四边形是正方形，求正方形的边长．

2．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，D、E分别是、上的点，且，．

(1)求证：；
(2)若，求的长度
3．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．

(1)当，时，求的长；
(2)求证：．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．

6．（2022秋·陕西·九年级校考期末）如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
7．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
模型二：8字型
9．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，梯形中， ，点F在上，连与的延长线交于点G．

(1)求证：；
(2)当点F是BC的中点时，过F作交于点E，若，，求的长．
10．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．

(1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形．
(2)求证：．
11．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
12．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长；
②求的面积．
13．（2022春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，抛物线与轴交于，，对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连接交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．
(2)求与的面积之比．
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，的角平分线分别与、交于点E、F．若，，求的值．

15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房的高度为米，楼房的高度为米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．

16．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结．量得的长为米，求池塘两端的距离．
模型三：子母型
17．（2023秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，为上一点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）在中，，垂直平分，分别交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
19．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知在中，是上一点，连接，且．
（1）求证
（2）若，，求的长．
20．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，平分交于D．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
21．（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
22．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
23．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期中）如图，在中，点D、E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F．若AE平分，CE=CF．
（1）求证：；
（2）如图1，过点E作交AC的延长线于点G，求证
（3）如图2，若，AD=2，BD=6，求BE的长．
24．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：AC DF＝BD BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．
模型四：一线三等角型
25．（2022春·福建泉州·八年级泉州五中校考期末）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）设，若，求线段的长．
26．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
27．（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
28．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知中，，，点是边上的一个动点（点与点，不重合），点在边上，．若为等腰三角形，求的长．

29．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长

30．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．
(1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论．
(2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题：
①求证：；
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
31．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
(3)当点是线段的中点时，求证：．
32．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB边上一点，BD＝4，点E为BC边上的动点，以E为顶点作∠DEF＝60°，射线EF交AC边于点F．
(1)如图1，若BE＝1，求CF的长；
(2)如图1，当点E在线段BC上运动时，求CF的取值范围；
(3)如图2，过点D作DP⊥DE交射线EF于点P，连接AP，当时，求AP的长．
模型五：手拉手型
33．（2022秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）如图，已知，连接、，求证： ．
34．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：．
35．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；
36．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，在四边形中，．点在内部，且满足 ，．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．
37．（2023春·福建漳州·九年级校考阶段练习）已知：如图，正方形与正方形．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，求的值；
(3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由．
38．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
39．（2022秋·福建泉州·九年级校考自主招生）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
40．（2023·福建·九年级专题练习）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
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