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重难突破07 “k”的几何意义综合
重难突破
一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）．
A．64 B．60 C．80 D．144
【答案】D
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB=10，根据角平分线的性质得PE=PC=PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t-8）+×10×t+×t×（t-6）+×6×8=t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．
【详解】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，8），B（6，0），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE=PC，PD=PC，
∴PE=PC=PD，
设P（t，t），则PC=t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，
∴×t×（t-8）+×10×t+×t×（t-6）+×6×8=t×t，
解得t=12，
∴P（12，12），
把P（12，12）代入得k=12×12=144．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
2．（2022秋·九年级单元测试）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【详解】解：∵点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，
∴四边形ABCD是矩形．
∵四边形ABCD的面积是8，
∴4×|k|=8，
解得|k|=2．
又∵双曲线位于第二、四象限，
∴k＜0．
∴k=－2．
故选D．
3．（2022·山东威海·统考一模）如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于两点，分别过点作轴的垂线，垂足为，则与的面积之和为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等，由反比例函数中k的意义即可求解．
【详解】解：由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等，
∵反比例函数中k=1，由反比例函数中k的意义知△AOC的面积为，
故△AOC与△BOD的面积之和为1．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解中k的意义．
4．（2022·西藏·九年级专题练习）如图，点是函数图象上一点，连结交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】分别过、两点作轴的垂线段、，则面积，面积，由，得到面积面积．易知，根据面积比等于相似比的平方，可得出，所以面积面积．
【详解】解：分别过、两点作轴的垂线段、，
则面积，面积．
，
面积面积．
，
．
，即，
，即，
面积面积．
故选：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定和性质，解决此类问题要熟知反比例函数图象上的某点到轴垂线段与此点与原点连线组成的三角形面积为．
5．（2022春·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考期中）如图，菱形OABC的边OC在轴上，点A、B在第一象限内，，反比例函数的图象经过点A，若菱形的面积为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，设菱形OABC的边长为x，利用三角函数求出AD=OAsin∠AOC=,OD=OAcos∠AOC=，根据菱形的面积为4，得出OC·AD=即可．
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于D，设菱形OABC的边长为x,
∵，
∴AD=OAsin∠AOC=,OD=OAcos∠AOC=，
∵菱形的面积为4，
∴OC·AD=,
∴k=xy=OD·AD=，
故选择B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，锐角三角函数，掌握待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，锐角三角函数是解题关键．
6．（2022·云南昆明·校联考一模）如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，由矩形的性质可知：BM=OM，从而可求，再由|k|=2，求得k．
【详解】解：过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，
由矩形的性质可知：BM＝OM，
∴FA＝FO，
∴S△OMF＝S△AMO＝S△ABO＝S矩形ABCO＝1，
∵S△OMF＝|k|，
∴|k|＝2，
∵图象在第二象限，
∴k＝﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出，本题属于中等题型．
7．（2022秋·九年级单元测试）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝4n，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4n2，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积 小正方形的面积即可求出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（1，n），
∴k＝1×n＝n，
∴反比例函数的解析式为，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数的图象经过B点，
∴m2＝n，
∴小正方形的面积为4m2＝4n，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，n），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（n，n），
∴大正方形的面积为4n2，
∴图中阴影部分的面积为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，是解决问题的关键．
8．（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y=(k>0)上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为、、，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F
∴
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【答案】B
【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等．
【详解】解：由题意得：A、C两点在反比例函数图象上，则过两点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
因此，直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
10．（2022春·湖南衡阳·八年级校联考期中）如图，点A是双曲线第二象限内的一点，轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【分析】设，由即可求解；
【详解】解： ∵A是双曲线第二象限内的一点，
∴设，m<0，，
∴OB=-m，，
∴
解得：
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
11．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图像经过点交于点，连接．若，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设，由，得出，根据三角形面积公式以及反比例函数系数的几何意义得到，解得．
【详解】解：反比例函数的图像经过点，，
设，
，
，
，，
反比例函数的图像经过点交于点，，
，
，
，即，
解得．
故答案为：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，掌握反比例函数的性质、正确表示出的坐标是解题的关键．
12．（2022·浙江宁波·九年级统考自主招生）如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( )
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】通过垂直平分线定理等量代换可以得到
周长=
点A通过反比例双曲线，K为定值，再利用勾股定理，联立方程即解得。
【详解】∵OA的垂直平分线交OC于B，∴，
∴周长 =
点A通过反比例双曲线，则；
再利用勾股定理
得 ，所以周长=
【点睛】垂直平分线，勾股定理，以及反比例函数为本题的要点
13．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB直角边AB上的一点C，且AC＝2BC，连接OC，△AOC的面积为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】设出点C的坐标，由AC＝2BC可表示出点A的坐标，再利用分割图形法求三角形的面积结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】设点C的坐标为(m，)(m＞0)，
∵AC＝2BC，
∴点A的坐标为(m，)．
∴S△AOC＝S△ABO﹣S△BOC＝×m×﹣×2＝2．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式．在解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合反比例函数系数k的几何意义求出图形的面积是关键．
14．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）如图，，点在反比例函数的图象上，过的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、A分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明△BCO∽△ODA，根据相似三角形的性质可求得△BOC的面积，利用反比例函数k的几何意义即可求得．
【详解】过B、A分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，
∵∠BOA=90°，
∴.∠BOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠0AD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是关键．
15．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】连接，根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A在反比例函数y＝上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
【答案】C
【分析】由双曲线中k的几何意义可知 据此可得到|k|的值；由所给图形可知反比例函数图象的两支分别在第一、三象限，从而可确定k的正负，至此本题即可解答.
【详解】∵S△AOC=4，
∴k=2S△AOC=8；
∴y=；
故选C．
【点睛】本题是关于反比例函数的题目，需结合反比例函数中系数k的几何意义解答；
17．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形的边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图像上，直线交轴点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由D（a，b），求得CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积为4，得到BC×OE＝8，由根据AB∥OE，得出＝，即BC EO＝AB CO，求得ab的值．
【详解】∵D（a，b），
∴CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D（a，b）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝ab，
∵S△BCE＝3，
∴×BC×OE＝3，即BC×OE＝6，
∵AB∥OE，
∴＝，即BC EO＝AB CO，
∴6＝b×（﹣a），即ab＝﹣6，
∴k＝﹣6，
故选：B．
【点睛】考查了反比例函数系数k的几何意义和平行线分线段成比例定理的综合应用．解题关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合思想．
18．（2023春·广东汕头·九年级校考阶段练习）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．（2022春·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，直线l与函数的图像相交，是直线的三点，过点、、分 别作轴的垂线，垂足分别为,连接,设的面积是，的面积是， 的面积是，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．
【详解】解：如图：结合题意可得：A都在双曲线上，
则有的面积是=，的面积是＞， 的面积是＜.
∴，
故选C.
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
20．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OCDE的边OC，OB都在x轴上，点E在OA边上，S△ABD＝，反比例函数（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据平行线的性质得到∠DCO=∠AOB=60°，推出△DCO是等边三角形，得到∠DOC=∠ABO=60°，得到OD∥AB，推出S△AOB=S△ADB=2，过A作AH⊥OB于H，由等边三角形的性质得到OH=BH，求得S△OAH=，于是得到结论．
【详解】连接OD，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴CD∥OA，
∴∠DCO=∠AOB=60°，
∴△DCO是等边三角形，
∴∠DOC=∠ABO=60°，
∴OD∥AB，
∴S△AOB=S△ADB=2，
过A作AH⊥OB于H，
∴OH=BH，
∴S△OAH=S△AOB=，
∵反比例函数 的图象经过点A，
∴k的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
21．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：∵P是反比例函数y = 图象上一点PA⊥x轴于点A，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
22．（2022·江苏连云港·东海实验中学校考三模）如图，A、B分别是反比例函数，，图象上的点，且轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 ．
【答案】-2
【分析】设点B的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点A的纵坐标，再代入y1的解析式求出点B的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：点B在y2=（x>0）上，
故设B（a，），
∵AB∥x轴，
∴yB=yA=；
∵点A在y1=（k<0，x<0）上，即=，
则xB=，
∴AB=xB-xA= a-=，
∴S△ABC=×AB×yB=××=3，
解得k=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点B的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
23．（2022·湖北随州·统考一模）如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点A作AF⊥y轴于F点，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BE⊥x轴于点E；
根据A，B，都在反比例函数 上，假设A(a，)，B(b，)，根据C，D又在反比例函数 上，且AB∥CD，得出A，C点的纵坐标相等，则B，D点的纵坐标相等，
得到 根据BD=2AC，得到b=2a，即可求解．
【详解】如图：过点A作AF⊥y轴于F点，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BE⊥x轴于点E；
∵A，B，都在反比例函数 上，
∴设A(a，)，B(b，)
而C，D又在反比例函数 上，且AB∥CD，
则A，C点的纵坐标相等，则B，D点的纵坐标相等，
∴当时，∴x=am，
当 时，x=bm，
所以
，
又BD=2AC
∴
∵m＞1 ∴b=2a
又
=1+
又
而AM= ，BE= ，ME=b-a
∴
故
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，三角形面积，梯形面积等，根据题意正确作出辅助线，设好未知数，代入求解是解题的关键．
24．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【分析】如图，连接OC设AC交y轴于E．根据反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积，再利用反比例函数关于原点对称的性质，推出OA＝OB即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．
∵AC⊥y轴于E，
∴S△AOE＝2，S△OEC＝4，
∴S△AOC＝6，
∵A，B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△ABC＝2S△AOC＝12，
故答案为12．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，属于中考常考题型．
25．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，且，顶点A，B恰好分别落在函数和的图象上，则k的值为______．

【答案】
【分析】利用的直角三角形两条直角边的比值是一个定值，可用相似得出面积之比，k值就可求出．
【详解】解：过点B作轴，垂足为M，过点A作轴，垂足为N，

∵点B在函数的图象上，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标之积是常数k的值．
26．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为 ．
【答案】/6.75
【分析】过点D作轴，交于点F，交轴于点G，延长交轴于点H，连接，根据的面积为3，求出的面积，设D点坐标为，则E点坐标为，根据面积列方程即可求出k的值．
【详解】解：过点D作轴，交于点F，交轴于点G，
延长交轴于点H，连接，
E为的四等分点（），的面积为3，
的面积为9，
轴，
四边形是平行四边形，
，
，
D为中点，
，
由平行四边形得，，，
，
，
设D点坐标为，则E点坐标为，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．
27．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积是 ．
【答案】6
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：设，
∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
28．（2022秋·河南·九年级河南省实验中学校考期中）如图，平行四边形 ABCD 中，A（﹣1，0）、B（0，﹣2），顶点 C、D 在双曲线 y=（x＞0）上，边 AD 交 y 轴于点 E，若点 E 恰好是 AD 的中点，则 k= ．
【答案】
【详解】试题解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2，
设C（m+1，n），D（m，n+2），
则（m+1）n=m（n+2）=k，
解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2），
∵点E是AD的中点
∴OA=OF=1
∴m=1，2m+2=4
∴k=1×4=4.
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，即可求解．
29．（2022·江苏扬州·校考一模）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D．若OAB的面积为4，则k的值是 ．
【答案】-2
【分析】过点D作DE⊥x轴于点D，由于AB⊥x轴，点D是OA的中点，故DE是OAB的中位线，ODE∽OAB，相似比为，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出k的值．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点D，
∵AB⊥x轴，点D是OA的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴ODE∽OAB，相似比为，
∵点D在双曲线上，且k＜0，
∴S△ODE＝|k|，
∴，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义及三角形中位线定理，根据题意作出辅助线．构造出△OAB的中位线是解答此题的关键．
30．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形ABCD分为四个小三角形即可求出面积.
【详解】根据反比例函数的对称性可知，OB=OA，，OD=OC，
∴的面积都等于|k|=.
∴四边形ABCD的面积为.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式.
31．（2022春·八年级课时练习）如图，双曲线（）上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 .
【答案】
【详解】∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB=2，
∴|k|=4，
∴k=-4，
即可得双曲线的表达式为：y=-
故答案为．
32．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，直线交x轴，y轴于点A、B，交反比例函数于点C，已知点B是的中点，若的面积是1，则 ．
【答案】4
【分析】通过作辅助线，利用平行线等分线段定理，得出OA=OD，进而得出CD=2OB，由△AOB的面积是1，表示出△COD的面积，进而求出k的值．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，连接OC，
∵OB∥CD，AB=BC，
∴OA=OD，CD=2OB，
∵S△AOB=1，
∴OA OB=2，
∴S△OCD=OD CD=OA×2OB=2=|k|，
∴k=4，k=-4（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
33．（2023·吉林松原·统考一模）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥y轴于B，S△ABO =3，则k=
【答案】6
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO=|k|，即可求出表达式.
【详解】解： ∵△OAB的面积为3，∴k＝2S△ABO＝6，
∴反比例函数的表达式是y=
即k=6
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意三角形面积=|k|，学生们熟练掌握这个公式.
34．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，点，在反比例函数（）图象上，轴于点，轴于点，交反比例函数（）的图象于点，连接交轴于点，若，和的面积比是9：4，则的值是 ．
【答案】
【分析】设点，由得点，然后由轴得到点的坐标为，由轴，轴得到，从而有，再由和的面积比是得到，从而列出方程求得的值．
【详解】解：设点，
轴于点，
，点的坐标为，
，
，
，
轴，
点，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
35．（2022秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考期末）过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如果的面积为，则的值为 ．
【答案】6
【分析】根据△ABC的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半可得k的值．
【详解】解：∵△ABC的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半，
∴|k|＝3，
解得k＝6或 6，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点睛】考查反比例函数系数k的几何意义，掌握△ABC的面积与反比例函数比例系数的关系是解决本题的关键．
三、解答题
36．（2022秋·九年级单元测试）如图，函数的图象过点．
求该函数的解析式；
过点分别向轴和轴作垂线，垂足为和，求四边形的面积；
求证：过此函数图象上任意一点分别向轴和轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．
【答案】 ；；矩形的面积为定值．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；
（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．
【详解】∵函数的图象过点，
∴将点的坐标代入反比例函数解析式，
得，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵点是反比例函数上一点，
∴矩形的面积．
设图象上任一点的坐标，
∴过这点分别向轴和轴作垂线，矩形面积为，
∴矩形的面积为定值．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
37．（2022春·河南南阳·八年级统考期中）如图，点，在反比例函数的图象上，作轴于点．
⑴求反比例函数的表达式；
⑵若的面积为，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用待定系数法求出m的值即可；
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）由题意：，
，
.
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
38．（2022·四川广元·校考模拟预测）如图，已知，是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
(3)求出三角形AOB的周长和面积．
【答案】(1)直线AB 的解析式为y=x-1；反比例函数解析式为y=；
(2)x＜-2或0＜x＜3
(3)；
【分析】（1）运用待定系数法，根据A（3，m），B（-2，-3），即可得到直线AB和反比例函数的解析式；
（2）根据直线AB在双曲线的下方，即可得到x的取值范围；
（3）根据两点间距离公式求出AO，BO，AB的长，即可得到三角形AOB的周长；求出直线AB与x轴交点坐标，根据三角形面积公式可求出三角形AOB的面积．
【详解】（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（-2，-3）代入，可得k=-2×（-3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（-2，-3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x-1；
（2）由图象可得，当x满足：x＜-2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）∵，
∴
∴三角形AOB的周长=
对于y=x-1，当y=0时，x=1，
∴直线y=x-1与x轴的交点坐标为（1，0）
∴
【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
39．（2022春·九年级单元测试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值.
【答案】k=6
【分析】根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|＝6，而k＞0，则k＝6．
【详解】∵y的值随x的增大而减小，∴k＞0．
由于点A在双曲线上，则S＝|k|＝6，
而k＞0，所以k＝6．
【点睛】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
40．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求．
【答案】
【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出的取值范围，然后由得出或，再运用一元二次方程根与系数的关系求出的值，由的几何意义，可知．如果过作于，则．易证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，最后由，得出结果．
【详解】解：有两根，
，
即．
由得：．
当时，，解得，不合题意，舍去；
当时，，，
解得：符合题意．
，
双曲线的解析式为：．
过作于，则．
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
41．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知双曲线（x＞0）经过长方形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．
【答案】2
【详解】如图，连接OB，因为点F为长方形OABC的边AB的中点，
所以，
又因为E、F都是双曲线上的点，
设E（a，b）、F（m，n），
所以，
，
所以，
所以．
因为S四边形OEBF＝2，
所以，
即，
解得k＝2．
42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
【答案】（1）；（2）作图见解析.
【详解】分析：（1）将P点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
详解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．
点睛：本题考查了作图-应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
43．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，已知是正比例函数函数的图象与反比例函数的图象的交点．
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接．若的面积为15，求点B的坐标．
【答案】(1)y=2x，
(2)（8，1）
【分析】（1）将点A分别代入两个函数解析式即可；
（2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据题意得=，设B（，n），得到，解方程即可求出点B的坐标．
（1）
解：将点A（2，4）代入，得2k=4，
解得k=2，
∴正比例函数解析式为y=2x；
将将点A（2，4）代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）
连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴，
∴=，
设B（，n），
∴，
整理得，
解得n1=1，n2=-16（舍去），
∴B（8，1）．
【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，由函数图象求几何图形的面积，正确理解反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
44．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
【详解】（1）解：由得，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数：，
将，代入，
解得，；
（2）由（1）知，，
结合图象可知的解集为或；
（3）解：作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，
则
当且仅当，，，三点共线时，取“=”号，有最大值.
设，
代入，，
有，解得，
∴，
取，得，
∴；
故当取得最大值时：．
．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
45．（2022·四川成都·统考二模）如图所示，一次函数y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移与反比例函数（x＞0）交于点C、D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝．
（1）求直线BC和反比例函数解析式；（2）连接BD，求△BCD的面积．
【答案】（1） ， ；（2）S△BCD＝ .
【分析】（1）作CF⊥x轴于F，根据BE＝3CE，且S△ACE＝ 求得S△ABE＝ ，根据三角形面积求得AE，从而求得OE和CF，由三角形相似求得EF，得到C点的坐标，即可根据勾股定理求得BC，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得反比例函数的解析式；
（2）设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，根据待定系数法求得解析式，从而求得H点的坐标，联立方程求得D点的坐标，然后根据S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH求得即可．
【详解】（1）作CF⊥x轴于F，
由直线y＝x+3可知，A（﹣3，0），B（0，3），
∵BE＝3CE，且S△ACE＝，
∴S△ABE＝，
∴ AE OB＝，即AE 3＝，
∴AE＝，
∴OE＝，
∵S△ACE＝AE CF＝，
∴CF＝1，
∵CF∥OB，
∴△ECF∽△EBO，
∴，即 ＝，
∴EF＝，
∴OF＝OE+DF＝2，
∴C（2，﹣1），
∴BC＝，
∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点C，
∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ；
（2）∵将直线AB向下平移与反比例函数y＝（x＞0）交于点C、D，
∴设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，
把C（2，﹣1）代入得，﹣1＝2+b，
∴b＝﹣3，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，
∴H（0，﹣3），
解，
∴D（1，﹣2），
∴S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH＝ ×3×2﹣×3×1＝．
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线
46．（2022秋·全国·九年级统考期末）如图，在反比例函数的图象上有不重合的两点、，且点的坐标是，点的横坐标为，和都垂直于轴，垂足分别为和．
求点纵坐标；
求．
【答案】(1) 点的纵坐标是；（2）．
【分析】（1）首先用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后进一步求得点B的坐标；
（2）结合图形和反比例函数可知要求的三角形的面积就是梯形的面积．
【详解】解：设反比例函数是，
把，代入得．
则反比例函数解析式是，
当时，则．即点的纵坐标是．
根据反比例函数的解析式，知三角形的面积和三角形的面积相等，都是，
则要求的三角形的面积等于直角梯形的面积是．
【点睛】要能够熟练运用待定系数法求得反比例函数的解析式；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
47．（2023秋·江西宜春·九年级校考期末）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象交于点A，交于点B.若四边形的面积为12.
(1)求k的值；
(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意及反比例函数得出，，结合图象得，代入求解即可；
（2）根据（1）中结论确定，结合函数图象即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：点，
点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即，，
，即，
，
解得：；
（2）由（1）得，
∴反比例函数的解析式为，
∴，
连接并双向延长，
根据图象得不等式的解集为或．
【点睛】题目主要考查反比例函数的几何意义，确定反比例函数的解析式及与一次函数的交点与不等式问题，理解题意，确定反比例函数的解析式是解题关键．
48．（2022·四川·九年级专题练习）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【分析】（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】（1）过作垂直于轴，垂足为，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴ ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k的几何意义是解决问题的关键．
49．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，的顶点是双曲线与直线第二象限的交点．轴于，且．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点、的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据求得的值，根据函数图象在第二、四象限，可得，即可求得这两个函数的解析式；
（2）联立两函数解析式成方程组，解一元二次方程求得点的坐标即可．
【详解】（1）∵轴于，且，
∴，解得：．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）联立两函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是抓住根据反比例函数的几何意义.
50．（2022春·广东·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A和点B，过点B作BC⊥y轴于点C，点E是x轴的正半轴上的一点，且S△BCE=2，∠AEB=90°．
（1）求m的值及点E的坐标；
（2）连接AC，求△ACE的面积．
【答案】（1），点E的坐标为（，0）；（2）2+4．
【分析】（1）由题意得：，求出，再证明∠NBE=∠AEM，则tan∠NBE=tan∠AEM，列出比例式，即可求解；
（2）由题意得：△ACE的面积=+ +，求解即可．
【详解】（1）∵BC//x轴，
故△BCE和△BCO高相等，
故二者底均为BC，
则，解得（正值已舍去），
故反比例函数表达式为，
联立一次函数和反比例函数表达式，，
解得，
故点A、B的坐标分别为(，)、(，)，
设点E（s，0）（s＞0），
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠AEB=90°，
∴∠BEN+∠AEM=90°，
∵∠BEN+∠NBE=90°，
∴∠NBE=∠AEM，
∴tan∠NBE=tan∠AEM，
∴，则，
解得（负值已舍去），
故点E（，0）；
（2）由题意得：
△ACE的面积=+ +
=×2×+××2+××2
=2+4．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式，锐角三角函数等知识，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．
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重难突破07 “k”的几何意义综合
重难突破
一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）．
A．64 B．60 C．80 D．144
2．（2022秋·九年级单元测试）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
3．（2022·山东威海·统考一模）如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于两点，分别过点作轴的垂线，垂足为，则与的面积之和为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·西藏·九年级专题练习）如图，点是函数图象上一点，连结交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2022春·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考期中）如图，菱形OABC的边OC在轴上，点A、B在第一象限内，，反比例函数的图象经过点A，若菱形的面积为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·云南昆明·校联考一模）如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
7．（2022秋·九年级单元测试）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y=(k>0)上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为、、，则( )
A． B． C． D．
9．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
10．（2022春·湖南衡阳·八年级校联考期中）如图，点A是双曲线第二象限内的一点，轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．
11．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图像经过点交于点，连接．若，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·浙江宁波·九年级统考自主招生）如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( )
A．4 B．5 C． D．
13．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB直角边AB上的一点C，且AC＝2BC，连接OC，△AOC的面积为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
14．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）如图，，点在反比例函数的图象上，过的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A在反比例函数y＝上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
17．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形的边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图像上，直线交轴点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023春·广东汕头·九年级校考阶段练习）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
19．（2022春·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，直线l与函数的图像相交，是直线的三点，过点、、分 别作轴的垂线，垂足分别为,连接,设的面积是，的面积是， 的面积是，则( )
A． B． C． D．
20．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OCDE的边OC，OB都在x轴上，点E在OA边上，S△ABD＝，反比例函数（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则 ．
22．（2022·江苏连云港·东海实验中学校考三模）如图，A、B分别是反比例函数，，图象上的点，且轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 ．
23．（2022·湖北随州·统考一模）如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为 ．
24．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为 ．
25．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，且，顶点A，B恰好分别落在函数和的图象上，则k的值为______．

26．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为 ．
27．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积是 ．
28．（2022秋·河南·九年级河南省实验中学校考期中）如图，平行四边形 ABCD 中，A（﹣1，0）、B（0，﹣2），顶点 C、D 在双曲线 y=（x＞0）上，边 AD 交 y 轴于点 E，若点 E 恰好是 AD 的中点，则 k= ．
29．（2022·江苏扬州·校考一模）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D．若OAB的面积为4，则k的值是 ．
30．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为 ．
31．（2022春·八年级课时练习）如图，双曲线（）上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 .
32．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，直线交x轴，y轴于点A、B，交反比例函数于点C，已知点B是的中点，若的面积是1，则 ．
34．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，点，在反比例函数（）图象上，轴于点，轴于点，交反比例函数（）的图象于点，连接交轴于点，若，和的面积比是9：4，则的值是 ．
35．（2022秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考期末）过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如果的面积为，则的值为 ．
三、解答题
36．（2022秋·九年级单元测试）如图，函数的图象过点．
求该函数的解析式；
过点分别向轴和轴作垂线，垂足为和，求四边形的面积；
求证：过此函数图象上任意一点分别向轴和轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．
37．（2022春·河南南阳·八年级统考期中）如图，点，在反比例函数的图象上，作轴于点．
⑴求反比例函数的表达式；
⑵若的面积为，求点的坐标.
38．（2022·四川广元·校考模拟预测）如图，已知，是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
(3)求出三角形AOB的周长和面积．
39．（2022春·九年级单元测试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值.
40．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）已知：关于的一元二次方程的两根，满足，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于（如图），求．
41．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知双曲线（x＞0）经过长方形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．
42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
43．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，已知是正比例函数函数的图象与反比例函数的图象的交点．
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接．若的面积为15，求点B的坐标．
44．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
45．（2022·四川成都·统考二模）如图所示，一次函数y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移与反比例函数（x＞0）交于点C、D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝．
（1）求直线BC和反比例函数解析式；（2）连接BD，求△BCD的面积．
46．（2022秋·全国·九年级统考期末）如图，在反比例函数的图象上有不重合的两点、，且点的坐标是，点的横坐标为，和都垂直于轴，垂足分别为和．
求点纵坐标；
求．
47．（2023秋·江西宜春·九年级校考期末）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象交于点A，交于点B.若四边形的面积为12.
(1)求k的值；
(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.
48．（2022·四川·九年级专题练习）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
49．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，的顶点是双曲线与直线第二象限的交点．轴于，且．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点、的坐标．
50．（2022春·广东·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A和点B，过点B作BC⊥y轴于点C，点E是x轴的正半轴上的一点，且S△BCE=2，∠AEB=90°．
（1）求m的值及点E的坐标；
（2）连接AC，求△ACE的面积．
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