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题组突破04 期末解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2022·福建龙岩·七年级校考期中）求下列各式中的x
（1）4x2＝81；
（2）（2x+10）3＝﹣27．
2．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）用适当方法解下列方程．
(1) ；
(2) ．
3．（2022秋·福建三明·七年级校考阶段练习）如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数请你画出它的主视图与左视图．
4．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“星辰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2+ 7x+4＝0是否为星辰方程，说明理由．
（2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的星辰方程，若m是此星辰方程的一个根，求m的值．
6．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
7．（2023春·福建南平·九年级专题练习）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
8．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）如图三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格的每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为，并直接写出点的坐标______；
(2)的面积为______．
9．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）某超市销售某种品牌玩具，购进该玩具的价格为10，超市决定以不超过30元/个的价格销售这些玩具．经市场调查发现：销售单价定为26元时，日销售量为20个；销售单价每降低2元，日均多售出1个．
(1)当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日销售总额为460元？
(2)该超市为提高销售量，决定让利给消费者，当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日利润总额为150元？
10．（2022·福建·模拟预测）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，泉州市于年月起在中心市区启动垃圾分类工作．在各居民小区和公共场所设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱和“其它垃圾”箱（分别记为，，，），号召市民将厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其它垃圾（分别记为、、、）投放到相应的垃圾箱中．
下表是随机抽取的吨生活垃圾的统计的数据（单位：吨）
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其它垃圾”箱
厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其它垃圾
（1）有害垃圾的正确投放率是_________________________；
（2）小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．
（3）据统计，该市中心市区每天日产垃圾吨，环卫部门每天从“其它垃圾”箱中收集到的垃圾进行分捡并把其中的“其它垃圾”送往垃圾焚烧发电厂焚烧发电，焚烧每吨“其它垃圾”可发电约度，请估算下，若该市市民能将垃圾分类包装并准确投入，则每年（按天计算）可以通过垃圾焚烧多发电多少度？
11．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请写出其逆命题，并证明其逆命题成立．
（1）逆命题是： ；
（2）已知： ；
求证： ．
证明：
12．（2022秋·福建南平·九年级校考阶段练习）已知抛物线y＝x2﹣px+2p﹣4．
(1)证明：无论p为何值．抛物线与x轴必有交点；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求出此时抛物线的顶点坐标．
13．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）厦门一中开展了“二十四节气”系列闽南美食实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为64dm的装饰材料紧紧围在一块面积为240dm2的矩形展板四周进行包边（恰好围满，且不重叠）．
(1)求这块展板较短边的长；
(2)以同样的材料，同样的方式，能紧紧围在一块而积为260dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．
14．（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点P．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的面积；
(3)求证：．
15．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图）：在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域作为休息区．现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅（如图），并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
16．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图所示，在等腰中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，DE⊥BC；
（2）在点，的运动中，是否存在时间，使得与相似？若存在，请求出对应的时间；若不存在，请说明理由．
17．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，P为边上一点，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点F，G，已知．
(1)试说明：；
(2)求的长；
(3)求的面积．
18．（2022·福建泉州·校考一模）如表是小安填写的数学实践活动报告的部分内容．
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：，，】
19．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，抛物线经过点A(4，0)、B(﹣2，0)、C(0，﹣4)
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由.
20．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考阶段练习）交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：
行驶时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
驾行L1的人数 5 14 20 18 3
驾行L2的人数 1 4 16 18 1
(1)抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；
(2)以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？
21．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）为了监控一条生产线某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在-一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
零件尺寸 107.5 109.3 108.1 109.3 109.6 108.4 108.5 109.8 108.9 109.0
抽取次序 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
零件尺寸 110.2 109.0 107.8 108.2 109.4 108.4 109.7 108.6 109.1 110.4
记零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如下表：
尺寸范围（m为正数） 零件等级 整改费用（元/个）
超标零件 100
合格零件
优等零件
特优零件
优等零件
合格零件
超标零件 80
(1)求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；
(2)若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．
22．（2022春·福建漳州·九年级统考阶段练习）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到△A'OB’，使点A的对应点A’落在AB边上，过点B’作B'C∥AB，交AO的延长线于点C．
(l)求证：∠BA 'O=∠C；
(2)若OB=2OA，求tan ∠OB'C的值．
23．（2023春·福建龙岩·八年级龙岩二中校考期中）如图1，已知，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）为中点，在上取一点，使，的延长线与的延长线交于点．
①如图2，若为中点，，求的长；
②如图2，若，，求的长．
24．（2022秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
25．（2022·福建厦门·校考模拟预测）随着北京冬奥会的成功举办，全国掀起了一股“冰雪热潮”，滑雪运动正成为一种新风尚，受到越来越多人的喜爱．铁岭市民李泓是一名业余滑雪选手，他正积极备战下个月张家口市崇礼区万龙站的滑雪比赛，比赛赛道坡面平整，坡角约，赛道长约．因训练条件受限，他在当地滑雪场找到了一条如下图所示的雪道进行训练，该雪道坡角约，坡面的铅直高度约．
为了预测比赛成绩，李泓在平时训练中对自己的滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）进行了多次测量，经统计获得如下数据（如表）并根据表中数据在平面直角坐标系中描出了2个点（如图）．
滑行时间 0 3 4 5 6 7 8
平均滑行距离 0 30 52 80 114 154 200
(1)求训练雪道的长度；（，，）
(2)李泓在该比赛赛道的最好成绩是．若按照上述与的变化规律，请判断李泓在本次比赛中是否有可能超越自己的最好成绩？并说明理由．
26．（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考阶段练习）已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标为．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图像．
27．（2022秋·福建三明·九年级校联考期中）为了测量校园内一棵高不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观察者身高CD＝1.6 m，请你计算树(AB)的高度(精确到0.1 m)．
28．（2022春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3cm，AC=6cm，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．
（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；
（2）求△A2CD的面积．
29．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
30．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，，， 是边的中点，．
(1)尺规作图：作，交于点 ；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求的长．
31．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程，
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若、是方程的两个实数根，且，求k的值
32．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，，直线l：y＝mx＋n经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使得以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数y＝（x﹣1）2．
（1）通过列表，描点（5个点），在下图画出该抛物线的图象；
（2）在（1）条件下，写出经过怎样的变化可得到函数y＝（x+1）2﹣3的图象．
34．（2022·福建·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．
（1）求证：AF2=EF FG；
（2）如果EF=，FG=，求的值．
35．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线与，垂足为，连接，．

(1)求证：；
(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
36．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)用含m的代数式表示n；
(2)求的最小值．
37．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）在正方形中，平分交边于点．
（1）尺规作图：过点作于；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
38．（2022·福建泉州·校考模拟预测）已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的记录如下：
A：66，66，68，69，70，72，72，74，75，76，76，77，78，79，83，84，85，85，91，92
B：74，75，75，76，77，78，78，78，80，81，81，82，82，84，86，88，89，91，92，93
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
(1)A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为__________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为__________；
(2)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
(3)已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
39．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
40．（2023春·八年级课时练习）如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
41．（2022春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在射线BC上，连接AE并延长，交射线DC于点F．将沿直线AE翻折，点B的对应点为点，延长交直线CD于点M．
(1)求证：；
(2)如图2，若点恰好落在对角线AC上，求的值；
(3)当时，求线段AM的长．
42．（2022·福建泉州·统考一模）如图，在四边形中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F．设，，．
（1）若∠ABE＝30°，AE＝3．请写出BE的长度；
（2）求证：△ABP∽△BFE；
（3）当四边形EFCD为平行四边形时．试求出、、的数量之间的关系式．
43．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）已知抛物线关于直线对称，且过点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
①求的值：
②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于、和、两点，若、分别为，的中点，求证：直线必过某一定点．
44．（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校联考一模）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以 ≥0，所以≥2，只有当时，等号成立．
【获得结论】在≥2（a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2，只有当时，有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若>0，只有当= 时，有最小值 ．
【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
45．（2022春·福建泉州·九年级统考阶段练习）二次函数的顶点是直线和直线的交点．
(1)用含的代数式表示顶点的坐标．
(2)①当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
②若，且满足时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
(3)试证明：无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
46．（2022春·九年级单元测试）平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数的图象上．
①分别求函数的表达式；
②直接写出使成立的的范围；
（2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值．
47．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
48．（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）已知抛物线的顶点为原点，且抛物线经过．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)已知直线（k，t为常数）与抛物线只有一个公共点．
①求证：对于每个给定的实数t，这样的直线l均有两条；
②设①中这样的两条直线与抛物线的公共点分别为A，B问：直线是否恒过某一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
49．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）（1）【发现证明】
如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明）
②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长．
50．（2022·福建福州·统考一模）如图,抛物线与x轴相交于A（1,0），B（5,0），与y轴相交于点C,对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线上一个动点（点P、M、C不在同一条直线上），分别过点A、B作AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为点D、E,连接MD、ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限内，使，求点P的坐标；
(3)点P在运动过程中，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
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题组突破04 期末解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2022·福建龙岩·七年级校考期中）求下列各式中的x
（1）4x2＝81；
（2）（2x+10）3＝﹣27．
【答案】(1) x=;(2)x=
【分析】（1）先变形为x2＝，然后根据平方根的定义求的平方根即可；
（2）根据题意求出﹣27的立方根，即有2x+10＝＝﹣3，然后解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：∵x2＝，
∴；
（2）解：2x+10＝，
∴2x+10＝﹣3，
∴x＝﹣．
【点睛】考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）；也考查了立方根的定义．
2．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）用适当方法解下列方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】（1），；（2），
【详解】（1） ，
，
△=16-4×3×(-1)=28，
∴ ，
∴，．
（2），
，
，
∴或，
∴，．
3．（2022秋·福建三明·七年级校考阶段练习）如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数请你画出它的主视图与左视图．
【答案】详见解析．
【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2．依此画出图形即可求解．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题,掌握该知识点和一定的空间想象能力是解答关键.
4．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）m<2
【分析】（1）证明△≥0即可；
（2）根据根与系数的关系得出2m＜0，求出不等式的解集即可．
【详解】（1）证明：∵△=（m+1）2-4(3m-6)=m2-10m+25=(m-5)2≥0
∴无论实数m取何值，方程总有两个实根
（2）,
（x-3）[x-(m-2)]=0,
解得：x1=3，x2=m-2
∵方程有一个根是负数
∴m-2<0，
解得，m<2
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟练地运用知识点进行求解是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“星辰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2+ 7x+4＝0是否为星辰方程，说明理由．
（2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的星辰方程，若m是此星辰方程的一个根，求m的值．
【答案】（1）一元二次方程3x2+ 7x+4＝0是星辰方程，理由见解析；（2）m的值为 或 1．
【分析】（1）利用有一个根为 1的一元二次方程为“星辰方程”对一元二次方程3x2+ 7x+4＝0是否为星辰方程进行判断；
（2）根据“星辰方程“的定义得到4＋m+n＝0，再把x＝m代入4x2﹣mx+n＝0得，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）一元二次方程3x2+ 7x+4＝0是星辰方程．
理由如下：
∵将代入方程ax2+bx+c＝0，可得：a﹣b+c＝0，
∴“星辰方程”必有一个根，
当时，3x2+ 7x+4＝0，
所以一元二次方程3x2+ 7x+4＝0为星辰方程；
（2）根据题意得4＋m+n＝0①，
把x＝m代入4x2﹣mx+n＝0得②，
② ①得，
，
解得：
即m的值为 或 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查学生阅读理解的能力．
6．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
【分析】先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.
【详解】解：∵,
=,
=,
∴二次函数y=﹣2x2+6x+4开口向下，对称轴为直线，顶点坐标.
7．（2023春·福建南平·九年级专题练习）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】应降价4元
【分析】设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，利用每天销售“冰墩墩”获得的总利润＝每个销售的利润×平均每天的销售量构造一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）如图三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格的每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为，并直接写出点的坐标______；
(2)的面积为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)8
【分析】（1）、连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使；
（2）、利用面积公式直接进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，为所作；点的坐标为；
（2）解：由图可知：．
【点睛】本题主要考查了位似三角形的作图，求三角形的面积，将不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
9．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）某超市销售某种品牌玩具，购进该玩具的价格为10，超市决定以不超过30元/个的价格销售这些玩具．经市场调查发现：销售单价定为26元时，日销售量为20个；销售单价每降低2元，日均多售出1个．
(1)当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日销售总额为460元？
(2)该超市为提高销售量，决定让利给消费者，当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日利润总额为150元？
【答案】(1)当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元；
(2)当销售单价定为16元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
【分析】（1）设当销售单价定为元时，该品牌玩具日销售总额为460元．由题意得．通过解方程求得的值．
（2）设当销售单价定为元时，该品牌玩具日利润总额为150元，根据题意可得，求出的实际取值．
【详解】（1）解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日销售总额为460元．
依题意得，
，
解得：，
∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，
∴不合题意，应舍去．
∴．
答：当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元．
（2）解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
依题意得，
解得：
∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，
∴不合题意，应舍去．
∴．
答：当销售单价定为16 元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够表示出销售量，难度不大．
10．（2022·福建·模拟预测）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，泉州市于年月起在中心市区启动垃圾分类工作．在各居民小区和公共场所设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱和“其它垃圾”箱（分别记为，，，），号召市民将厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其它垃圾（分别记为、、、）投放到相应的垃圾箱中．
下表是随机抽取的吨生活垃圾的统计的数据（单位：吨）
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其它垃圾”箱
厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其它垃圾
（1）有害垃圾的正确投放率是_________________________；
（2）小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．
（3）据统计，该市中心市区每天日产垃圾吨，环卫部门每天从“其它垃圾”箱中收集到的垃圾进行分捡并把其中的“其它垃圾”送往垃圾焚烧发电厂焚烧发电，焚烧每吨“其它垃圾”可发电约度，请估算下，若该市市民能将垃圾分类包装并准确投入，则每年（按天计算）可以通过垃圾焚烧多发电多少度？
【答案】（1）；（2）树状图见解析，；（3）可多发电度．
【分析】（1）求得有害垃圾的总数和有害垃圾正确投送的数量，即可求解；
（2）用树状图表示出所有的投放的结果数和正确投放的结果过，即可求解；
（3）求出错误投放的“其他垃圾”所占比例，即可求解．
【详解】解：（1）根据图表数据可得：有害垃圾的总数为120吨，正确投放的有害垃圾有60吨
有害垃圾的正确投放率是
故答案为：；
（2）画图如下
以上可能的结果共有种
其中投放正确的有种
；
（3）错误投放的“其它垃圾”共有（吨）
可多发电：（度）
管：可多发电度．
【点睛】此题考查了统计概率的基本知识，涉及了画树状图求解概率，用样本估计总体等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
11．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请写出其逆命题，并证明其逆命题成立．
（1）逆命题是： ；
（2）已知： ；
求证： ．
证明：
【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；（2）见解析
【分析】（1）把命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件和结论互换即可得到命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题；
（2）根据命题的条件和结论，写出已知，求证，然后利用等腰三角形的性质与判定结合三角形内角和定理证明即可．
【详解】解：（1）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为：“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形”，
故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；
（2）已知：如图所示，在中，是边上的中线，且，
求证：；
证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．（2022秋·福建南平·九年级校考阶段练习）已知抛物线y＝x2﹣px+2p﹣4．
(1)证明：无论p为何值．抛物线与x轴必有交点；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)顶点坐标为（2，0）
【分析】（1）找出，，的值，表示出根的判别式，配方后利用完全平方式的性质判断得到根的判别式大于等于0，即可得证；
（2）表示出顶点坐标，根据顶点在轴上，得到纵坐标为0，即可确定出的值，进而得出顶点坐标．
【详解】（1）证明：△，
无论为何值，抛物线与轴必有交点；
（2）解：抛物线的顶点在轴上，
，
则，
，
，
顶点坐标为．
【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，以及顶点坐标公式，解题的关键是熟练掌握公式及法则．
13．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）厦门一中开展了“二十四节气”系列闽南美食实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为64dm的装饰材料紧紧围在一块面积为240dm2的矩形展板四周进行包边（恰好围满，且不重叠）．
(1)求这块展板较短边的长；
(2)以同样的材料，同样的方式，能紧紧围在一块而积为260dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．
【答案】(1)这块展板较短边的长为12dm
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设这块展板较短边的长为xdm，则较长边的长为dm，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设这块展板较短边的长为ydm，则较长边的长为dm，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程根的判别式，可得出该方程无解，进而可得出不能用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周．
【详解】（1）解：设这块展板较短边的长为xdm，则较长边的长为dm，
依题意，得：，
解得：．
∵x＜32-x，
∴x＜16，
∴x=12．
答：这块展板较短边的长为12dm．
（2）不能，理由如下：
设这块展板较短边的长为ydm，则较长边的长为dm，
依题意，得：，
整理，得：．
∵，
∴该方程无解，即不能用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，原一元二次方程无解”．
14．（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点P．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的面积；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由可证，可得；
（2）根据等角对等边易证，根据勾股定理求得的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得，在上截取，连接，则可以证明，得到，即可证得．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，且，
，
，
，
；
（3）在上截取，连接，
，
，
，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
15．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图）：在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域作为休息区．现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅（如图），并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
【答案】休息区只能摆放张这样的休闲椅．
【分析】先根据正方形的空地面积求出正方形空地的边长，根据儿童游乐场的面积求出儿童游乐场的边长，即可得出休息区东西向和南北向的边长，已知休闲椅的长和宽，利用无理数估算大小的方法，即可知休息区只能摆放几张这样的休闲椅．
【详解】如图3：由题得，
正方形空地的边长为(米)
儿童游乐场的边长为 (米)
∵ (米)
∴休息区东西向和南北向的边长分别为米，米
∵
∴
∴休闲椅只能东西方向摆放，且只能摆放一排
∵
∴
∴休闲椅在东西方向上可并列摆放张
综上所述，休息区只能摆放张这样的休闲椅
【点睛】本题考查了正方形的性质，已知面积可求得边长，题中应用了无理数大小的估算，要想准确的估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20整数的平方都应牢记．
16．（2022秋·福建泉州·九年级统考期中）如图所示，在等腰中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，DE⊥BC；
（2）在点，的运动中，是否存在时间，使得与相似？若存在，请求出对应的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）作于点,根据题意可得，进而可得，可得比例式，代入数值求解即可；
（2）根据题意，①当BE＝DE时，，②当BD＝DE时，，得出比例式，代入数值进行计算即可．
【详解】（1）如图，作于点,
∵AB＝AC＝10，BC＝16
∴BF＝8，
∴AF＝6．
当时
则
即
解得
当时，DE⊥BC；
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
17．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，P为边上一点，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点F，G，已知．
(1)试说明：；
(2)求的长；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，设，利用勾股定理求根据方程求出x即可解决问题；
（3）先求出，，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）在和中，
，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
18．（2022·福建泉州·校考一模）如表是小安填写的数学实践活动报告的部分内容．
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：，，】
【答案】34米
【分析】解直角三角形求出FG即可解决问题．
【详解】解：在Rt△DFG中，∵∠DGF＝90°，DG＝CE＝25米，
∴FG＝DG tan44°＝25×0.97≈24（米），
∵四边形CDGE是矩形，
∴GE＝CD＝10米，
∴EF＝FG+GE＝24+10＝34（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，抛物线经过点A(4，0)、B(﹣2，0)、C(0，﹣4)
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)y＝；(2)存在，M1(1，﹣)，M2(3，﹣).
【分析】(1)设交点式为y＝a(x﹣4)(x+2)，然后把(0，﹣4)代入求出a即可；
(2)设M(a，)，连接OM，则S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，可得出关于a的方程，解方程即可求出点M的坐标.
【详解】解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x﹣4)(x+2)，
把(0，﹣4)代入得a×(﹣4)×2＝﹣4，解得a＝，
∴抛物线解析式为：y＝；
(2)设M(a，)，连接OM，
∵S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，
∴﹣＝3，
∴a2﹣4a+3＝0，
解得：a1＝3，a2＝1.
∴M1(1，﹣)，M2(3，﹣).
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及三角形的面积，利用点的坐标表示线段的长度是解题的关键．
20．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考阶段练习）交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：
行驶时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
驾行L1的人数 5 14 20 18 3
驾行L2的人数 1 4 16 18 1
(1)抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；
(2)以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？
【答案】(1)列表见解析，；
(2)从A地到火车站应选择道路进行拓宽改造
【分析】（1）列表法如图，2人选择不同道路到火车站的事件记为，2人选择道路到火车站的所有可能事件记为，则概率，进行求解即可．
（2）算出驾行从A地到达火车站所用时间的平均值和驾行从A地到达火车站所用时间的平均值为，比较两个值，较大的即为所求．
【详解】（1）解：4人中编号为1，2，3的人是选择方案的人，编号为4的人是选择方案的人，从中选2人的方案如下图，
1 2 3 4
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
∴这2人是选择不同道路到火车站的概率为．
（2）解：由图表知：驾行共有人，驾驶共有人
∴驾行从A地到达火车站所用时间的平均值为：分钟，
驾行从A地到达火车站所用时间的平均值为：分钟，
∵，
∴从地到火车站应选择道路进行拓宽改造．
【点睛】本题考查了列表法求概率，加权平均数．解题的关键在于对列表法求概率，加权平均数的熟练掌握．
21．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）为了监控一条生产线某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在-一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
零件尺寸 107.5 109.3 108.1 109.3 109.6 108.4 108.5 109.8 108.9 109.0
抽取次序 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
零件尺寸 110.2 109.0 107.8 108.2 109.4 108.4 109.7 108.6 109.1 110.4
记零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如下表：
尺寸范围（m为正数） 零件等级 整改费用（元/个）
超标零件 100
合格零件
优等零件
特优零件
优等零件
合格零件
超标零件 80
(1)求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；
(2)若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．
【答案】(1)0.2
(2)
【分析】（1）找出所抽取的20个零件出现超标零件的个数，即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，整改费用最低的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（1）所抽取的20个零件出现超标零件的个数有4个，即107.5、110.2、107.8、110.4，
∴所抽取的20个零件出现超标零件的频率为；
（2）解：把零件尺寸为107.5毫米、110.2毫米、107.8毫米、110.4毫米的4个零件分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，整改费用最低的结果有2种，即BD、DB，
∴整改费用最低的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率以及频数分布表等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2022春·福建漳州·九年级统考阶段练习）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到△A'OB’，使点A的对应点A’落在AB边上，过点B’作B'C∥AB，交AO的延长线于点C．
(l)求证：∠BA 'O=∠C；
(2)若OB=2OA，求tan ∠OB'C的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，根据旋转的性质得到∠1=∠A，于是得到结论；
（2）根据旋转的性质得到OB′=OB，∠A′OB′=∠AOB=90°，得到∠2=∠4，根据全等三角形的性质得到∠B=∠OB′C，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）∵B′C∥AB，
∴∠A+∠C=180°，
∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到△A'OB'，
∴∠1=∠A，
∵∠1+∠BA′O=180°，
∴∠BA′O=∠C；
（2）∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到△A'OB'，
∴OB′=OB，∠A′OB′=∠AOB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠BA′O=∠C，
∴△A′OB≌△COB′（AAS），
∴∠B=∠OB′C，
在中，OB=2OA，
∴tanB=，
∴tan∠OB′C=tanB．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（2023春·福建龙岩·八年级龙岩二中校考期中）如图1，已知，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）为中点，在上取一点，使，的延长线与的延长线交于点．
①如图2，若为中点，，求的长；
②如图2，若，，求的长．
【答案】（1）详情见解析；（2）①6；②
【分析】（1）首先根据题意证明四边形ABCD是平行四边形，再接着根据平行线性质得出180°，从而结合得出90°，由此即可证明结论；
（2）①首先根据平行四边形性质以及得出，从而得出，即，据此进一步证明，最后利用全等三角形性质结合题意加以求解即可；②首先根据矩形的性质得出与是直角三角形，紧接着设，利用勾股定理得出在中以及在中，据此进一步列出方程求解即可.
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形
∵，
∴180°，
∵，
∴90°
∴四边形为矩形；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴与是直角三角形，
∵CN=4，CM=3，
∴EN=CN=4，CE=6，
设，则，
在中，
在中，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质及判定、勾股定理、平行四边形性质与矩形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
24．（2022秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
【答案】（1）（，） （2）α=2β （3）y=x﹣4
【详解】试题分析：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有，
得，
∴OM=，
∴，
∴点D的坐标为（，）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°﹣2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD==，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（4x﹣3）2，
∴x=，
∴D（，），
∴直线AD的解析式为：y=x﹣，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，
解得b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣．
同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4．
考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．
25．（2022·福建厦门·校考模拟预测）随着北京冬奥会的成功举办，全国掀起了一股“冰雪热潮”，滑雪运动正成为一种新风尚，受到越来越多人的喜爱．铁岭市民李泓是一名业余滑雪选手，他正积极备战下个月张家口市崇礼区万龙站的滑雪比赛，比赛赛道坡面平整，坡角约，赛道长约．因训练条件受限，他在当地滑雪场找到了一条如下图所示的雪道进行训练，该雪道坡角约，坡面的铅直高度约．
为了预测比赛成绩，李泓在平时训练中对自己的滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）进行了多次测量，经统计获得如下数据（如表）并根据表中数据在平面直角坐标系中描出了2个点（如图）．
滑行时间 0 3 4 5 6 7 8
平均滑行距离 0 30 52 80 114 154 200
(1)求训练雪道的长度；（，，）
(2)李泓在该比赛赛道的最好成绩是．若按照上述与的变化规律，请判断李泓在本次比赛中是否有可能超越自己的最好成绩？并说明理由．
【答案】(1)训练雪道的长度为600m；
(2)能超越自己的最好成绩，理由见解析．
【分析】（1）利用解直角三角形求解即可；
（2）求出S与t的关系式，当时，求出t的值，比较其与19的大小即可
【详解】（1）解：由题意可知：
在中，
，解之得：
∴训练雪道的长度为600m．
（2）解：观察表格可以发现：每增加一秒，平均滑行距离增多6m，
设每到t秒内平均滑行：，
∴，
当时，，解之得：（舍去），，
∵
∴能超越自己的最好成绩．
【点睛】本题考查解直角三角形，一元二次方程的实际应用．（1）的关键是掌握解直角三角形，利用求解；（2）的关键是找出S与t的关系式：．
26．（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考阶段练习）已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标为．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图像．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入（0，3）求解即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（-1，4），
∴可设二次函数解析式为，
又∵点（0，3）在二次函数图像上，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）列表如下：
… -3 -2 -1 0 1 …
… 0 3 4 3 0 …
函数图像如下所示：
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．
27．（2022秋·福建三明·九年级校联考期中）为了测量校园内一棵高不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观察者身高CD＝1.6 m，请你计算树(AB)的高度(精确到0.1 m)．
【答案】树（AB）的高度为5.2米.
【详解】试题分析：如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
试题解析：由题意知 ∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=Rt∠
∴△CED∽△AEB
∴
∴
∴AB≈5.2米
28．（2022春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3cm，AC=6cm，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．
（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；
（2）求△A2CD的面积．
【答案】（1）四边形A1A2B2B1是平行四边形，理由见解析；（2）=cm2．
【分析】（1）根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得BC=3cm，进而得CB1=3cm，AB1=3cm，B1B2 =cm，A1 A2=cm，CA2=cm，由A1B1∥A2B2，得=，从而得CD=cm，进而即可求解．
【详解】（1）四边形A1A2B2B1是平行四边形，理由如下：
∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移得△A2B2C2，
∴A1B1∥A2B2，A1B1=A2B2，
∴四边形A1A2B2B1是平行四边形；
（2）在Rt△ABC中，BC===3cm，
由题意：BC=CB1=3cm，A1C=AC=6cm，
∴AB1=3cm，
∵B1B2∥BC，AB1=CB1，
∴AB2=B2B，
∴B1B2=BC=cm，
∴A1 A2= B1B2 =cm，
∴CA2=6-=cm，
∵A1B1∥A2B2，
∴=，
∴=，
∴CD=cm，
∴= CA2 CD=××=cm2．
【点睛】本题主要考查平移，旋转的性质，平行四边形的判定定理，平行线截线段定理，掌握平行线截得的线段对应成比例，是解题的关键．
29．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：若选①，
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②，不能证明．
若选③，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
30．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，，， 是边的中点，．
(1)尺规作图：作，交于点 ；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据作一个角等于已知角即可解答；
（2）先证明，即可证明，即可解答．
【详解】（1）如图：以点为圆心画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，即作，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交弧于点，连接交于点，则即为所求．
（2）∵是边的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，以及相似三角形的判定．
31．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程，
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若、是方程的两个实数根，且，求k的值
【答案】（1）证明略
（2）-1
【详解】（1）证明：∵△=（4k+1）2-4(2k-1)=16k2+5>0
∴有不等实数根；
（2）∵x1+x2=-4k-1，x1x2=2k-1
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=2k-1+2（4k+1）+4=2k-3
∴k=-1．
32．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，，直线l：y＝mx＋n经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使得以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)； ．
(2)(0，3)或(0，-1)
【分析】（1）根据待定系数法，直接将点的坐标代入，求解即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似，必须AE⊥CE和AE⊥AC，且根据判定定理 则斜边和直角边对应成比例，由此可求CE的值，进而求得E点的坐标．
【详解】（1）解∶∵反比例函数经过点A(2，3)，点B(6，a)，
∴k=3x2=6a
解得k=6，a=1，
∴B(6，1)，反比例函数解析式为；
∵直线l∶y=mx+n经过A，B两点，
解得
∴直线AB的解析式为 ．
（2）解：存在，点E的坐标为(0，1)或(0，-1)；理由如下∶
如图，将x=0，y=0分别代入，得C(0，4)，D(8，0)，
∴AC= ，CD=
∵△COD为Rt△
∴要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似，那么△ACE也为Rt△
故存在AE⊥CE（如图1）和AE⊥AC（如图2）两种情况，
①AE⊥CE
∴AE//OD，
∴ ，即
∴CE=1．
故E的坐标为(0，3)；
②AE⊥AC
∵要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似．而∠C=∠C
∴，即，解得CE=5
故E点的坐标为(0，-1)．
综上可得，点E的坐标为(0，3)或(0，-1)．
【点睛】本题考查求一次函数和反比例函数，和函数与相似三角形的判定，解题的关键是明确相似三角形的判定定理．
33．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数y＝（x﹣1）2．
（1）通过列表，描点（5个点），在下图画出该抛物线的图象；
（2）在（1）条件下，写出经过怎样的变化可得到函数y＝（x+1）2﹣3的图象．
【答案】（1）见解析；（2）将y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，向下平移3个单位可得到y＝（x+1）2﹣3．
【分析】（1）结合解析式列表，在坐标系中描点，然后连线即可得；
（2）根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：（1）列表如下：
函数图象如图所示：
（2）将y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，向下平移3个单位可得到y＝（x+1）2﹣3．
【点睛】本题考查了画二次函数的图象以及抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
34．（2022·福建·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．
（1）求证：AF2=EF FG；
（2）如果EF=，FG=，求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）=3．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形可得AB∥DC，AD∥BC，从而可得△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，则有=，，就有，即AF2=EF FG．
（2）根据比例的性质解答即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB，
∴=，，
∴，
∴AF2=EF FG；
（2）∵△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB，
∵由（1）得出AF2=EF FG==4，
∴AF=2，
∴===，
∴==3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换等知识，把证明转化为证明=，是解决本题的关键．
35．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线与，垂足为，连接，．

(1)求证：；
(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)菱形，理由见解析
(3)是等腰直角三角形时，理由见解析
【分析】（1）证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证出，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形；
（3）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
36．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)用含m的代数式表示n；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两个相等的实数根知，整理得n的含m的代数式．
（2）对进行配方，然后求最值即可．
【详解】（1）解：由题意知
∴
（2）解：
∵
∴当时，的值最小，为
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次代数式的最值．解题的关键在于配完全平方．
37．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）在正方形中，平分交边于点．
（1）尺规作图：过点作于；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）67.5°．
【分析】（1）利用基本作图作EF⊥BD于F；
（2）利用正方形的性质得到∠DBC=45°，∠BCD=90°，再根据角平分线的性质得到EF=EC，则∠EFC=∠ECB，然后利用等角的余角相等和三角形等角和计算∠BCF的度数．
【详解】（1）如图，EF为所作；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，∠BCD=90°，
∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，CE⊥BC，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECB，
∴∠BFC=∠BCF=（180°-45°）=67.5°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了正方形的性质．
38．（2022·福建泉州·校考模拟预测）已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的记录如下：
A：66，66，68，69，70，72，72，74，75，76，76，77，78，79，83，84，85，85，91，92
B：74，75，75，76，77，78，78，78，80，81，81，82，82，84，86，88，89，91，92，93
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
(1)A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为__________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为__________；
(2)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
(3)已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
【答案】(1)中位数为：，众数是78；
(2)
(3)质量等级为优秀的产品定价不能低于每件10元．
【分析】（1）由按照从小到大排列的20个数据，中位数为第10个与第11个数据的平均数可得答案，由出现次数最多的数据是众数可得众数的答案；
（2）由A生产线有2件为优秀，记为，，B生产线有3件为优秀，记为，，；再利用列表法求解概率即可；
（3）由质量良好的占比为，质量合格的占比为：，质量为优秀的占比为；设质量为优秀的产品的定价为每件元，利用“该工厂的销售利润不低于43万元”建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：A生产线20件产品的鉴定成绩排在第10个，第11个数据分别为：76，76，
∴中位数为：，
B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的数据是78，
∴B生产线20件产品的鉴定成绩的众数是78；
（2）∵A生产线有2件为优秀，记为，，B生产线有3件为优秀，记为，，；
列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
所有等可能的结果数有20种，两件产品中至少一件是A生产线生产的结果数有14种，
∴两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为：；
（3）∵质量良好的占比为，质量合格的占比为：，质量为优秀的占比为；
设质量为优秀的产品的定价为每件元，则
，
解得：，
∴质量等级为优秀的产品定价不能低于每件10元．
【点睛】本题考查的是中位数，众数的含义，利用列表法求解随机事件的概率，利用样本估计总体，一元一次不等式的实际应用，理解题意，熟练的建立不等式解题是关键．
39．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1，（4，0）．
【详解】（1）有顶点就用顶点式求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可.
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；
（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1.
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点.
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）.
40．（2023春·八年级课时练习）如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
【答案】(1)四边形ADCF是菱形，理由见解析．
(2)BF=，理由见解析．
(3)BF=
【分析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，证明△AEF≌△DEB，则AF=BD，则AF=CD．又由于AFCD，因此四边形ADCF是平行四边形，又因AD=CD，因此四边形ADCF是菱形．
(2)由正方形的性质可得FC=CD=AD，由(1)知AD=DB，则FC=CD=DB，则CB=2FC．根据勾股定理可得BF=CF，又因为CF=AD=2AE，因此BF=．
(3)连接FD交AC于O点，作FG垂直于BA的延长线于D点，先证明四边形OFGA是矩形，则FG=OA==3，GA=OF=OD．由中位线的性质得OD==4，则GA=4，GB=12，根据勾股定理可求得BF的长．
【详解】（1）∵△ABC中，∠CAB=90 ，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）
如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90 ．
∵∠CAB=90 ，
∴∠CAG=90 ．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90 ，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
【点睛】本题是一道有关四边形的综合性题目，考查了直角三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
41．（2022春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在射线BC上，连接AE并延长，交射线DC于点F．将沿直线AE翻折，点B的对应点为点，延长交直线CD于点M．
(1)求证：；
(2)如图2，若点恰好落在对角线AC上，求的值；
(3)当时，求线段AM的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)线段的长为或．
【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，即可得出，进而判定；
（2）由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质得，在中，由正切的定义即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：①点在线段上，②点在的延长线上，分别设，根据中，，得到关于的方程，求得的值即可．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
由折叠可知：，
，
；
（2）解：由（1）可知是等腰三角形，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
在中，
；
（3）解：①当点在线段上时，如图3，
由，
，
，
，即，
，
由（1）可知．
设，则，，
在中，，即，
解得：，
；
②当点在的延长线上时，如图4，
由：
，
，即，
，
则，
设，则，
在中，，即，
解得：，
．
综上所述：当时，线段的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，解题时注意分类思想与方程思想的运用．
42．（2022·福建泉州·统考一模）如图，在四边形中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F．设，，．
（1）若∠ABE＝30°，AE＝3．请写出BE的长度；
（2）求证：△ABP∽△BFE；
（3）当四边形EFCD为平行四边形时．试求出、、的数量之间的关系式．
【答案】（1）BE＝6；（2）证明过程见解析；（3）.
【详解】试题分析：（1）根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得BE＝6；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEP，∠BAP＝∠BPA，所以∠EBF＝∠PEB ，然后由点A与点P是以BE为对称轴的对称点可得AP⊥EB，又因∠BAP＋∠ABE＝90°，∠EBF＋∠ABE＝90°，再根据等角的余角相等求出∠BAP＝∠EBF，所以∠BPA＝∠BAP＝∠EBF＝∠FEB，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；（3）根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.
试题解析：解：（1）BE＝6
（2）∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
由折叠得：∠AEB＝∠PEB，∠BAP＝∠BPA，
点A与点P是以BE为对称轴的对称点
∴∠EBF＝∠PEB ，AP⊥EB
∴∠BAP＋∠ABE＝90°
∵∠ABC＝90°
∴∠EBF＋∠ABE＝90°
∴∠BAP＝∠EBF
∴∠BPA＝∠BAP＝∠EBF＝∠FEB
∴△ABP∽△BFE
（3）∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝180°-∠ABC＝90°
由折叠可得∠EPB＝∠BAD＝90°
∴BD＝
当四边形EFCD为平行四边形时，EF∥CD
∴∠BDC＝∠BAD＝90°
∵A D∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∴△ABD∽△DCB
∴
∵，，
∴
∴
考点：翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；勾股定理.
43．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）已知抛物线关于直线对称，且过点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
①求的值：
②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于、和、两点，若、分别为，的中点，求证：直线必过某一定点．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据抛物线关于直线对称，可得，再把点代入，即可求解；
（2）①设过的直线的解析式为，则直线与抛物线有且只有一个交点，联立可得，从而得到，再由过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，可得是方程的两根，即可求解；②根据题意可得，且直线过点，可设直线的解析式为，直线的解析式为，再由，可得直线的解析式为，联立可得：，从而得到，再由点M是的中点，可得点M的横坐标为，从而得到点，同理点，再求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，
∴，即，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①设过的直线的解析式为，则直线与抛物线有且只有一个交点，
联立得：，
∴，
即，
∵过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
∴是方程的两根，
∴；
②∵平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于、和、两点，
∴，且直线过点，
∴可设直线的解析式为，直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得：，
∴，
∵点M是的中点，
∴点M的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，
∴点，
同理点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线必过定点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数与抛物线的交点问题，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点坐标公式，一元二次方程的根与系数的关系，一次函数与抛物线的交点问题是解题的关键．
44．（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校联考一模）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以 ≥0，所以≥2，只有当时，等号成立．
【获得结论】在≥2（a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2，只有当时，有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若>0，只有当= 时，有最小值 ．
【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
【答案】（1）1，2（2）菱形
【详解】分析：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号成立，可得出答案；
（2）可设P（x，），可表示出AC和BD，则四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=2（x+）+12，再利用所给信息可得到其最小值，此时x=3，可得出AC=BD，可得出四边形ABCD为菱形．
详解：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号，∴当m=1时，m+≥2，即当m=1时，m+有最小值2．故答案为1，2；
（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四边形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12．∵x＞0，＞0，∴x+≥2=6，只有当x=，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．
点睛：本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数解析式、菱形的判定、四边形的面积等知识点和探究问题的能力．在（1）中关键是通过对题目信息的把握，把知识应用到题目的解决中来，在（2）中关键是设出P点坐标，用x把四边形ABCD的面积表示出来，再利用题目中的结论来解决．本题为阅读理解题，这类题目主要考查学生把握信息和处理信息的能力，难度不大．
45．（2022春·福建泉州·九年级统考阶段练习）二次函数的顶点是直线和直线的交点．
(1)用含的代数式表示顶点的坐标．
(2)①当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．
②若，且满足时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
(3)试证明：无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
【答案】(1) ；(2)①；②；(3)证明见解析.
【分析】（1）解方程组即可求出顶点的坐标；
（2）①根据二次函数的增减性列式求解即可；②当时，抛物线为，函数的最小值为，所以可得，解之可求出的取值范围；
（3）联立两个关系式，可得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.
【详解】(1)由题意得，解得，
．
(2)①根据题意得，解得，
的取值范围为.
②当时，顶点为，
抛物线为，函数的最小值为，
满足时，二次函数的最小值为，
，
解得．
(3)，
得，
，
，
抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为．
，，
，
，
，
无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．
【点睛】本题考查了一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系，二次函数的图像与性质，一元一次不等式不等式组的解法，二次函数与一元二次方程的关系，及一元二次方程根的判别式，用到的知识点较多，要熟练掌握.
46．（2022春·九年级单元测试）平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数的图象上．
①分别求函数的表达式；
②直接写出使成立的的范围；
（2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）k=6
【分析】（1）①先求出a的值，然后由待定系数法即可求出答案；②根据图像，即可得到不等式的解集；
（2）过点、作轴于点，轴于点，连，利用反比例函数的几何意义，即可求出答案
【详解】（1）①由已知，点在的图象上
，
，
点坐标为，坐标为
把，代入
，
解得：；
；
②由图象可知，使y1＞y2＞0成立的x的范围是；
（2）分别过点、作轴于点，轴于点，连
为中点
点、在双曲线上
由已知点、坐标都表示为
解得：；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．有一定难度．
47．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(， )，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y= ；
∴x2-2x-3= ，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB OC+QP BF+QP OF．
=×4×3+ ( x2+3x)×3．
= (x )2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(， )，四边形ABPC的面积的最大值为．
48．（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）已知抛物线的顶点为原点，且抛物线经过．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)已知直线（k，t为常数）与抛物线只有一个公共点．
①求证：对于每个给定的实数t，这样的直线l均有两条；
②设①中这样的两条直线与抛物线的公共点分别为A，B问：直线是否恒过某一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②直线一定经过定点
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①联立得，根据直线l与抛物线只有一个公共点得到，再证明一元二次方程对于任意实数t都有两个不相等的实数根即可；②设，先证明直线l经过点，设直线的解析式为推出，联立根据直线与抛物线只有一个交点，推出，则，同理，代入P点坐标，求出，
设直线的解析式为，则直线的解析式为，即直线一定经过定点．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①联立得，
∵直线（k，t为常数）与抛物线只有一个公共点，
∴，
∴，
∵关于k的一元二次方程，，
∴对于任意给定的实数t，关于k的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
∴对于每个给定的实数t，这样的直线l均有两条；
②设，
∵直线（k，t为常数），
∴对于任意给定的实数t，直线l都经过点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线一定经过定点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系式解题的关键．
49．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）（1）【发现证明】
如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明）
②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①不成立，结论：；②，见解析；（3）
【分析】（1）证明，可得出，则结论得证；
（2）①将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证；②将绕点逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证；
（3）求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解．
【详解】（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图1，
，，，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，结论：；
证明：如图2，将绕点顺时针旋转至，
，，，，
，
，
，
；
②如图3，将绕点逆时针旋转至，
，，
，
，
，
，
，
，
．
即．
故答案为：．
（3）解：由（1）可知，
正方形的边长为6，
，
．
，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：．
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
50．（2022·福建福州·统考一模）如图,抛物线与x轴相交于A（1,0），B（5,0），与y轴相交于点C,对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线上一个动点（点P、M、C不在同一条直线上），分别过点A、B作AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为点D、E,连接MD、ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限内，使，求点P的坐标；
(3)点P在运动过程中，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（4，3）
(3)点P坐标为（，）
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，可求得，b=6，从而可求得抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，），然后求得直线CP的解析式为y=（6-a）x-5，令y=0，从而可求得直线CP与x轴的交点坐标，最后根据列出关于a的方程，从而可求得a=4；
（3）当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立，同理当∠MDE=90°时，不成立，当∠DME=90°时，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵将点A、B的坐标代入得：，解得：，b=6，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1所示：记PC与x轴的交点为F，
∵令x=0，得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
设直线PC的解析式为，点P的坐标为（a，），
将点P的坐标代入PC的解析式得：，解得：a=0（舍去），k=6﹣a，
∴直线PC的解析式为y=（6﹣a）x﹣5，
令y=0得（6﹣a）x﹣5=0，解得x=，
∴点F的坐标（，0），
∵，
∴（﹣1）（）（），
整理得，解得（舍去），，
当时，，
∴点P的坐标为（4，3）；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴是直线x=3，
∴M（3，0），
①当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE=90°时，不成立；
③当∠DME=90°时，如图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA，
∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，
∴∠MDA=135°，
∵∠MED=45°，
∴∠NEM=135°，
∴∠ADM=∠NEM=135°，
在△ADM与△NEM中，
，
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA，
∴MN=MA=2，
∴N（3，2），
设直线PC解析式为y=kx+b，将点N（3，2），C（0，﹣5）代入直线的解析式得：，解得，
∴直线PC的解析式为y=x﹣5，
将y=x﹣5代入抛物线解析式得：，解得或，
当x=0时，交点为点C（0，﹣5）；当x=时，y=x﹣5=，
∴P（，），
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系三角形面积问题求解、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是明确题意，指导抛物线与x轴，y轴相交的特点，与x轴相交时纵坐标为0，与y轴相交时横坐标是0，运用数形结合思想和分类讨论的数学思想解答问题．
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