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题组突破01 期中选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·广东深圳·九年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程有两个不相等实根，则k的取值范围且
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴
D．点P是线段的一个黄金分割点（），若，则
2．（2023秋·湖南娄底·九年级校联考期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，分别是正方形的边上的点，且，相交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A．4 B． C． D．8
6．（2022秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．cm D．2cm
8．（2022春·广西河池·八年级统考期中）下列说法正确的是（　　）
①平行四边形的对角线互相平分；
②菱形的四个内角相等；
③矩形的对角线相等且互相垂直；
④正方形具有矩形和菱形的所有性质．
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
9．（2022春·八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A．4 B．2.4 C．4.8 D．5
10．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于
A． B． C．5 D．4
11．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北保定·九年级定兴二中校联考期中）下列命题中真命题的个数是（　　）
①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方；
②两个相似三角形对应高的比等于相似比；
③已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期中）如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作垂线交于点P．若．下列结论：①；②；③点B到直线的距高为；④．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022·安徽·九年级专题练习）在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
15．（2022秋·江苏盐城·九年级阶段练习）用配方法解方程x2-2x-4=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x-1)2=5 B．(x-2)2=0 C．(x+1)2=5 D．(x-1)2=4
16．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在三个挡板的后面各藏着一只动物，分别是小猫、小狗、小熊，小明和小刚各猜一次，只要能猜中哪个挡板后面是小猫便可获胜，则两人同时获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023春·山西长治·八年级统考阶段练习）如图，由6个全等的正三角形拼成的图形中，菱形的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2023春·浙江·八年级期末）将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中，若每个矩形的周长为4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
20．（2022秋·九年级单元测试）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．负数 B． C．正数 D．无法确定
21．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）题目：“如图，矩形的边在轴上，点，点．经过点与点 的直线与矩形的边有公共点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
23．（2022秋·北京大兴·九年级校考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm,则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
24．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022秋·浙江宁波·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC=45°，BD=2a，E为BD中点，给出下列结论：①AE=a， ②∠CAE=45°，③AC= a，④取AC的中点F ， 则EF⊥AC， 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
27．（2022秋·九年级单元测试）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．24或30 C．48 D．30
28．（2022秋·贵州毕节·九年级校联考期末）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、则下列结论：①②③ ④其中正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
29．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
30．（2022春·吉林·八年级统考期中）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
31．（2022春·八年级课时练习）方程x2+2x﹣3=0的解是（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
32．（2022·安徽马鞍山·校考一模）点M为正方形的边的中点，分别连接交的延长线于E，于F，交于G．设和的面积分别为、、和，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（2022·内蒙古赤峰·统考一模）关于x的不等式组的整数解共有3个,则关于x的一元二次方程-ax2+2(a+1)x+1-a=0根的存在情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
34．（2022·贵州黔南·统考一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的任意一点，E，F分别为PB，PC的中点，四边形BCFE，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝12，则S1+S2的值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
35．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）
A．可化为
B．可化为
C．可化为
D．可化为
36．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是( )
A．2 B．–2 C．1 D．–1
37．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，BC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．（2022秋·广西·九年级统考期中）已知x1，x2 是方程的两个根，则
A．， B．，
C．， D．，
39．（2022春·八年级单元测试）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
40．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（ ）
A．5 B．3.5 C．4 D．
41．（2022·河南南阳·统考一模）如图，在四边形中，，，以为圆心，以适当的长为半径作圆弧，分别交、于、；分别以、为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧相交于点；作射线交于；作交于．若，则四边形的面积等于（ ）
A．48 B．24 C．30 D．15
42．（2022·全国·九年级专题练习）国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（ ）
A． B． C． D．
43．（2022秋·九年级课时练习）如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（ ）
A． B． C． D．
44．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
45．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．不确定
46．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ）

A．6 B．13 C．10 D．12
47．（2022秋·九年级课时练习）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
48．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
49．（2022秋·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
50．（2022春·山东东营·八年级统考期中）将一元二次方程x2+4x﹣5＝0转化成（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
51．（2022·天津宁河·九年级校联考期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
52．（2023秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）方程x2﹣4＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝4
53．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AP∥CQ，AP＝CQ，∠BQC＝90°，若正方形ABCD的面积为64，且AP+BQ＝10，则PQ的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
54．（2022春·广东·九年级校联考专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（　　）
A．25° B．35° C．50° D．65°
55．（2022春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程时，方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
56．（2023春·山东威海·八年级校联考期中）我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
57．（2022·河南郑州·校联考三模）两个袋子中分别装着写有1，2，3，4的四张卡片，卡片除数字外其余都相同，从每一个袋子中各抽取一张，则两张卡片上的数字之和不小于5的概率是（　　）
A． B． C． D．
58．（2022春·九年级单元测试）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
59．（2022春·九年级单元测试）如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
60．（2022秋·海南三亚·九年级统考期末）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为1，则c的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
61．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；②一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
62．（2022秋·四川宜宾·九年级统考期中）已知=，求=
63．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，已知中，，，，点，分别是边，上的动点，且，点关于的对称点恰好落在的内角平分线上，则长为 ．
64．（2022秋·九年级课时练习）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根，则+的值是 ．
65．（2022秋·上海·九年级校考期中）如果线段，，且是和的比例中项，则 ．
66．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使得点点、点在同一条直线上，若，则的度数为 .

67．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是 ．
68．（2022·新疆阿克苏·统考一模）如图．在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，过点D作AB的垂线，垂足为E，若，，则DE的长为 ．
69．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
请利用以上知识解决下列问题：
如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝ ．
70．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ．
71．（2022秋·九年级单元测试）如图，由个边长为的正方形组成的网格．若（相似比不是），且，的顶点都是网格内正方形的顶点，则的面积是 ．
72．（2022秋·九年级单元测试）写出一个一元二次方程使其一个根为1 .
73．（2022·山东济南·模拟预测）在等腰中，的对边分别为，已知和是关于的方程的两个实数根，则的周长是 ．
74．（2022秋·九年级课时练习）方程的根为 ．
75．（2022·四川成都·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则的面积等于 ．
76．（2023春·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使得点落在点处，则 ．
77．（2022秋·全国·九年级校联考期中）如图，正方形EFGH的边EF在ABC的边BC上，顶点H、G分别在边AB、AC上．如果ABC的边BC=30，高AD=20，那么正方形EFGH的边长为
78．（2023·辽宁鞍山·统考二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户2万户，计划到2023年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．
79．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程的二次项系数与常数项的乘积为 ．
80．（2023秋·九年级课前预习）小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为 ．
81．（2022秋·河南鹤壁·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若BD＝4，DA＝2，DE＝2，则AC＝ ．
82．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）已知关于x的方程的解都是整数，那么符合条件的整数a的所有值为 ．
83．（2022·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
84．（2023秋·九年级课时练习）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 ．
85．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，点B落在点E处．已知∠ADB＝24°，AE∥BD，则∠AFE的度数是
86．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在同一时刻太阳光下，身高1．5m的小强影长是0．9m，旗杆的影长是10．8m，则旗杆的高为 m．
87．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）在中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动．设运动时间为，如果过、两点的直线将的面积分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么 秒．
88．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，平行四边形中，E为延长线上的一点，且，交于点F．若，则的长为 ．
89．（2022春·四川南充·八年级统考期中）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为4，则正方形的对角线长为 ．
90．（2022春·四川达州·九年级专题练习）一个菱形的边长为8，面积为36，则该菱形的两条对角线的长和为 ．
91．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

92．（2022春·九年级单元测试）一个不透明的布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个．某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则可估计袋中球的总个数是 ．
93．（2022秋·江西赣州·九年级校考阶段练习）已知是方程的根，则的值为 ．
94．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，中，，平分交于点D，交点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论：①，②，③，④．其中结论正确的个数有 ．
95．（2022秋·上海·八年级期末）如图，上海实行垃圾分类政策后，各街道、各小区都在积极改造垃圾房，在工地一边的靠墙处，用12米长的栏围一个占面积为20平方米的长方形临时垃圾堆放点，栅栏只围三边，并且开一个2米的小门，方便垃圾桶的搬运.设垂直于墙的一边长为米．根据题意，建立关于的方程是 ．
96．（2022·八年级单元测试）关于的一元二次方程的一个根是3，则 ，另一个根是 .
97．（2022·山东威海·九年级统考期中）已知a、b是等腰的底和腰长，若a、b均是方程－6x+8=0的解，则的周长为
98．（2023春·全国·八年级期末）如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 ．
99．（2022春·八年级校考课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是 ，宽是 ．
100．（2022秋·九年级课时练习）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：
解：∵， ①
∴， ②
∴． ③
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ．
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题组突破01 期中选填易错题组突破（100题）
题组突破
一、单选题
1．（2022秋·广东深圳·九年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程有两个不相等实根，则k的取值范围且
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴
D．点P是线段的一个黄金分割点（），若，则
【答案】B
【分析】根据特殊平行四边形的判定和性质可判断A和C错误；根据一元二次方程的定义和根的判别式可判断B正确；根据黄金比可计算出的长度，可以判定D错误；
【详解】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形；选项错误，不符合题意；
B、∵关于x的方程有两个不相等实根
∴
解得：且
选项正确，符合题意；
C、正方形有条对称轴；选项错误，不符合题意；
D、∵点P是线段的一个黄金分割点（）
∴
∴
选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质、一元二次方程根的判别式、黄金分割；对以上各部分知识点的理解掌握是解题的关键．
2．（2023秋·湖南娄底·九年级校联考期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，分别是正方形的边上的点，且，相交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，，可证，可证结论①④；根据，，，可证结论⑤；根据，可证结论③；假设，在中，，在根据正方形的性质可证结论②．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴，故④正确；
∴，，，
∵，，
∴，故⑤正确；
∵，
∴，
∴一定成立，故③正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
∴假设不成立，，故②错误；
故正确的有：①③④⑤．
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，全等三角形的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由正方形，与是等边三角形的性质求解，求解 从而可判断①；证明 可判断②；由 可判断③； 证明 再证明 可得从而可判断 ④．
【详解】解： 正方形，
是等边三角形，
故①符合题意；
正方形，
是等边三角形，
而
由
故②符合题意；
不相似，故③不符合题意；
正方形，
，故④符合题意，
综上：符合题意的有：①②④．
故选：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
6．（2022秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到EF∥AB，FG∥BC，进而得出△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵,
∴，
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴EF∥AB，FG∥BC，
∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
7．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．cm D．2cm
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质和勾股定理求出从而得到，再由三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2OD，
∴，
∴，
∵E、F分别是AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理，熟知矩形的性质是解题的关键．
8．（2022春·广西河池·八年级统考期中）下列说法正确的是（　　）
①平行四边形的对角线互相平分；
②菱形的四个内角相等；
③矩形的对角线相等且互相垂直；
④正方形具有矩形和菱形的所有性质．
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】平行四边形的对角线互相平分；菱形的四个内角不相等；矩形的对角线相等且互相平分；正方形具有矩形和菱形的所有性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，故①正确．
菱形的四个内角不相等，故②错误．
矩形的对角线相等且互相平分，但不垂直，故③错误．
正方形具有矩形和菱形的所有性质，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形，熟练掌握四种四边形的性质是解题的关键．
9．（2022春·八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A．4 B．2.4 C．4.8 D．5
【答案】C
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC AE=AC BD可得答案．
【详解】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴
∴
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
∴BC AE=24，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解决此题的关键是作合理辅助线以及运用等面积法．
10．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于
A． B． C．5 D．4
【答案】A
【详解】试题分析：如图，四边形ABCD是菱形，，，根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由即可求得DH=,故答案选A.
考点：菱形的性质.
11．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得 且 ，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意可得 且，
解得且 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12．（2022秋·河北保定·九年级定兴二中校联考期中）下列命题中真命题的个数是（　　）
①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方；
②两个相似三角形对应高的比等于相似比；
③已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分别利用相似三角形的性质结合位似图形的性质得出即可．
【详解】①两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，正确；
②两个相似三角形对应高的比等于相似比，正确；
③已知△ABC及位似中心O，能够作2个三角形，使位似比为0.5，故此选项错误．
故正确的有2个．
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理，正确利用相似三角形的性质得出是解题的关键．
13．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期中）如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作垂线交于点P．若．下列结论：①；②；③点B到直线的距高为；④．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离小于；则③错误；
④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（）2+（）2＝，
所以S正方形ABCD＝．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
14．（2022·安徽·九年级专题练习）在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜ ∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
15．（2022秋·江苏盐城·九年级阶段练习）用配方法解方程x2-2x-4=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x-1)2=5 B．(x-2)2=0 C．(x+1)2=5 D．(x-1)2=4
【答案】A
【详解】试题分析：将-4移到方程右边得x2-2x=4，方程两边同时加上1得x2-2x+1=5，即（x-1）2=5，故选A.
点睛：本题主要考查考生对配方法解一元二次方程的掌握，配方法步骤：①移项，②二次项系数化为1，③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，④直接开方求解．配方法解一元二次方程为易考点．
16．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在三个挡板的后面各藏着一只动物，分别是小猫、小狗、小熊，小明和小刚各猜一次，只要能猜中哪个挡板后面是小猫便可获胜，则两人同时获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】让两人获胜的概率相乘即可得到所求的概率．
【详解】解：小明猜对的概率是，小刚猜对的概率是，
两人同时获胜的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率，解题的关键是掌握知识点为：两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得，当D、E、A′在同一直线时，最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，
则有，
，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE=A ′E，
即，
当D、E、A′在同一直线时，最小，
AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值为，
故答案为：D．
【点睛】本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解．
18．（2023春·山西长治·八年级统考阶段练习）如图，由6个全等的正三角形拼成的图形中，菱形的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用四边相等的四边形，是菱形，进行判断即可．
【详解】解：由题意和图可知：四边形均为菱形，故菱形的个数共6个；

故选D．
【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握四边相等的四边形，是菱形，是解题的关键．
19．（2023春·浙江·八年级期末）将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中，若每个矩形的周长为4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】如图，左侧的矩形为EFGH，求出AH＝AG－HG＝EH＋HG－HG＝EH，可得∠HAE＝∠HEA＝45°，进而求出GA＝GB＝2，然后利用勾股定理求出AB，可得BC，再根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，左侧的矩形为EFGH，则A、H、G三点共线，∠AHE＝∠AGB＝90°，
∵3个矩形相同，
∴AG＝EH＋HG，
∴AH＝AG－HG＝EH＋HG－HG＝EH，
∴∠HAE＝∠HEA＝45°，
∴∠B＝45°，
∴GA＝GB，
∵每个矩形的周长为4，
∴GB＝GA＝EH＋HG＝2，
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝，
∴菱形ABCD的面积为：BC·AG＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及菱形的性质，求出∠HAE＝∠HEA＝45°，证明GA＝GB是解答本题的关键．
20．（2022秋·九年级单元测试）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．负数 B． C．正数 D．无法确定
【答案】C
【分析】把代数a2+b2-6a+10b+35变形为2个完全平方和的形式后即可判断．
【详解】∵a2+b2 6a+10b+35=a2 6a+9+b2+10b+25+1=(a 3)2+(b+5)2+1>0，
故不论a、b取何值代数式a2+b2 6a+10b+35的值总是正数.
故选:C.
【点睛】考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键.
21．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）题目：“如图，矩形的边在轴上，点，点．经过点与点 的直线与矩形的边有公共点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】根据条件结合图形分类讨论不同点的位置，通过待定系数法求出直线的解析式易得或，再利用一次函数图像的特征可得直线与轴的交点坐标，进而即可逐一判断正误，得到结论．
【详解】解：由题意可知， ，，
四边形是矩形，
，
设直线的解析式为
当直线的解析式过，时，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
即与轴交点为，
当直线的解析式过，时，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
即与轴交点为，
经过点与点的直线与矩形的边有公共点，
的取值范围是： ，
综上所述，甲，乙答案合在一起才完整，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，图形与坐标，待定系数法求解析式，函数图像的特征，分情况根据待定系数法求出的解析式是解答本题的关键．
22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；
【详解】解：
，
方程没有实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
23．（2022秋·北京大兴·九年级校考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm,则菱形的面积为（ ）
A． B．40 C． D．
【答案】B
【分析】(一)菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．（二）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【详解】解：（一）∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的面积为四个相等的三角形面积
即：4×××=40（cm2）,
（二）：∵一个菱形的两条对角线长分别为8cm和10cm，
∴这个菱形的面积=×8×10=40（cm2）．
故选B.
【点睛】本题考查菱形的对角线互相垂直平分，从而说明对角线分成四个面积相等的直角三角形，或者熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半而求得菱形面积．
24．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出的值，再比较出其与0的大小关系即可解答．
【详解】解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意；
B．，没有实数根，不符合题意；
C．，有两个不相等实数根，符合题意；
D．由，则该方程没有实数根，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
25．（2022秋·浙江宁波·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC=45°，BD=2a，E为BD中点，给出下列结论：①AE=a， ②∠CAE=45°，③AC= a，④取AC的中点F ， 则EF⊥AC， 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题意证出AEC为等腰直角三角形，即可注意判断．
【详解】解：∵由题意得为直角三角形且E为BD中点，
∴=a，故①正确；
连接CE，同理①可证，
∴CE=AE=ED，
∴CED、AEC和AED为等腰三角形，
又∵ADC=45°，
∴，
∴AEC为等腰直角三角形，
∴CAE=45°，故②正确；
∵AEC为等腰直角三角形，且AE=a
∴AC=AE=EC=a，故③正确；
取AC的中点F，
∵AEC为等腰直角三角形，
∴EFAC，故④正确；
综上所述正确的个数有4个，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三星的性质．
26．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则．
【详解】∵平行四边形ABCD
∴，AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则，
∴，
∵△AEF的面积为2
∴
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．
27．（2022秋·九年级单元测试）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．24或30 C．48 D．30
【答案】A
【详解】解方程x2-16x+60=0，得
x1=10，x2=6
∵10＞6
∴斜边是10，直角边是6
∴另一条直角边是8
∴三角形的面积S=×6×8=24．
故选A．
28．（2022秋·贵州毕节·九年级校联考期末）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、则下列结论：①②③ ④其中正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证，在中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；分别求出与的面积比较即可；求得，．
【详解】∵四边形为正方形，将沿对折至，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
在直角△ECG中，根据勾股定理，得，
解得．
∴，
∴①正确；
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
又∵；
∴，
，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
，
∴，
∴③正确；
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴④错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
29．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质可得：AE=AB，EAD=AED=60°，由正方形的性质可得：AB=AD，DAB=90°，因此AE=AB，EAB的度数也可得，最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可求出BED的度数．
【详解】等边三角形ADE，
AE=AB，EAD=AED=60°，
正方形ABCD，
AB=AD，DAB=90°，
EAB=150°，AEB=ABE，
AEB=(180°－150°)2=15°，
BED=60°－15°=45°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，熟记相关性质是解题关键．
30．（2022春·吉林·八年级统考期中）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度．
【详解】解：∵，平分，
∴AE⊥BC，
又∵点为的中点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
31．（2022春·八年级课时练习）方程x2+2x﹣3=0的解是（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】B
【分析】本题可对方程进行因式分解，也可把选项中的数代入验证是否满足方程．
【详解】x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0，
∴x1=1，x2=﹣3
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
32．（2022·安徽马鞍山·校考一模）点M为正方形的边的中点，分别连接交的延长线于E，于F，交于G．设和的面积分别为、、和，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接交于交于P，易证，所以；易证．所以，即A正确；易证，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即B正确，C正确；易证，，所以，，因为，所以，即D错误．
【详解】解：如图，连接交于交于P，交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即A正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即B正确；
∴，故C正确；
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即D错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等，得出是解题关键．
33．（2022·内蒙古赤峰·统考一模）关于x的不等式组的整数解共有3个,则关于x的一元二次方程-ax2+2(a+1)x+1-a=0根的存在情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有3个整数解即可求得a的范围，然后根据根的判别式即可得到结论．
【详解】∵∴a∵不等式组的整数解有三个,∴-3≤a<-2.
当-a≠0时,一元二次方程的根的判别式
Δ=[2(a+1)]2-4·(-a)·(1-a)=4a2+8a+4+4a-4a2=12a+4,
当-3≤a<-2时,-32≤12a+4<-20<0,∴该一元二次方程没有实数根.
【点睛】本题考查了根的判别式，不等式组的解法及整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
34．（2022·贵州黔南·统考一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的任意一点，E，F分别为PB，PC的中点，四边形BCFE，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝12，则S1+S2的值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】先根据平行四边形与中位线定理求出EF＝BC，再得出△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，求得S△PEF＝4，再求出S△PBC的面积.
【详解】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC＝＝1：4，S四边形BCFE＝12，
∴S△PEF＝4，
∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝16．
故选C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形与中位线的性质.
35．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）
A．可化为
B．可化为
C．可化为
D．可化为
【答案】B
【分析】根据配方法可直接进行排除选项．
【详解】解：A、可化为；故配方错误，不符合题意；
B、可化为，原配方正确，故符合题意；
C、可化为，原配方错误，故不符合题意；
D、可化为，原配方错误，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
36．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是( )
A．2 B．–2 C．1 D．–1
【答案】A
【分析】将x=2代入方程即可求解.
【详解】解：将=2代入一元二次方程得,a=2,
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉代入求值的方法是解题关键.
37．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，BC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由，得，从而，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．
38．（2022秋·广西·九年级统考期中）已知x1，x2 是方程的两个根，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】∵，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根与系数的关系：是一元二次方程（）的两根时，，．
39．（2022春·八年级单元测试）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝ ，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
40．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（ ）
A．5 B．3.5 C．4 D．
【答案】A
【分析】先根据据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，再根据勾股定理求出AF即可求出CH的长．
【详解】解：延长AD交EF于M，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=7，
∴AB=BC=1，CE=EF=7，∠E=90°，
则AM=BC+CE=1+7=8，FM=EF-AB=7-1=6，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴CH=5，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF．
41．（2022·河南南阳·统考一模）如图，在四边形中，，，以为圆心，以适当的长为半径作圆弧，分别交、于、；分别以、为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧相交于点；作射线交于；作交于．若，则四边形的面积等于（ ）
A．48 B．24 C．30 D．15
【答案】B
【分析】先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，证得四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求得对角线BF的长，再菱形的面积公式即可求解．
【详解】根据作图知：AB=AF，∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB =5，
∴四边形ABEF是菱形，
如图，连接BF，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AO=OE，BO=OF，
在Rt△BOE中，BE=AB=5，OE==3，
∴BO=，则BF=2BO=8，
∴四边形的面积等于，
故选：B
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理的应用、作图-基本作图等知识，解题的关键是判断出四边形ABEF是菱形．
42．（2022·全国·九年级专题练习）国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出树状图，得出所有可能数和所求情况数，根据概率公式即可得答案．
【详解】根据题意画出树状图：
∵事件发生的所有可能性为12种；抽到的汉字恰为相反意义的事件为4种；
∴抽到的汉字恰为相反意义的概率是：=，
故选：B．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数的比；正确画出树状图，熟练掌握概率公式是解题关键．
43．（2022秋·九年级课时练习）如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.
【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，
∴，即，
解得：CD=1.
故选D.
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.
44．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A．若，，则，故此选项不符合题意；
B．若，其夹角不相等则不能判定，故此选项符合题意；
C．若，，则，故此选项不符合题意；
D．若，，则，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
45．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】抛一枚质地均匀的硬币，有两种结果，正面或反面朝上，每种结果等可能出现，利用概率公式，即可求得答案．
【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴第100次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查简单事件概率，掌握等可能事件的概率公式，是解题的关键.
46．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ）

A．6 B．13 C．10 D．12
【答案】B
【分析】连接，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴．
故选B．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
47．（2022秋·九年级课时练习）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
48．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可．
【详解】解：A、，当，时，该方程是一元一次方程，不符合题意；
B、，不满足等式两边是整式这个条件，不是一元二次方程，不符合题意
C、，化简为，该方程是一元一次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意．
故选：
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
49．（2022秋·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】由平行可得平行线分线段成比例，可得，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD=1，AB=3，DE=2，
∴，
∴BC=6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
50．（2022春·山东东营·八年级统考期中）将一元二次方程x2+4x﹣5＝0转化成（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【答案】A
【分析】根据配方法进行解答即可．
【详解】解：∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
则x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
故选：A．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键．
51．（2022·天津宁河·九年级校联考期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；
B、，是二元二次方程，故此选项错误；
C、，是一元二次方程，正确；
D、，含有分式，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．
52．（2023秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）方程x2﹣4＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝4
【答案】C
【分析】先移项，然后利用数的开方解答．
【详解】解：移项得x2＝4，开方得x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
故选C．
【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0），ax2＝b（a，b同号且a≠0），（x+a）2＝b（b≥0），a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
53．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AP∥CQ，AP＝CQ，∠BQC＝90°，若正方形ABCD的面积为64，且AP+BQ＝10，则PQ的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【分析】延长AP交BQ于点E，证明△ABE≌△BCQ可得△PEQ为等腰直角三角形，PE＝QE＝BQ﹣AP，由四边形面积为64可得BQ2+AP2＝64，再由勾股定理得PQ＝．
【详解】解：延长AP交BQ于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AP∥CQ，∠BQC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEQ＝90°，
∵∠QBC+∠ABE＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠QBC＝∠BAE，
在Rt△ABE和Rt△BCQ中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCQ（AAS），
∴BE＝CQ，AE＝BQ，
∵AP＝CQ，
∴PE＝AE﹣AP＝BQ﹣AP，
QE＝BQ﹣BE＝BQ﹣CQ＝BQ﹣AP，
∵正方形ABCD的面积为64，
∴AB＝BC＝＝8，
∵AP＝CQ，AP+BQ＝10，
∴CQ+BQ＝10，
∵∠BQC＝90°
在Rt△BQC中，
BQ2+CQ2＝BC2＝64，
即BQ2+AP2＝64，
∵（AP+BQ）2＝AP2+BQ2+2AP BQ＝64+2AP BQ＝100，
∴AP BQ＝18，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得，
PQ＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．
54．（2022春·广东·九年级校联考专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（　　）
A．25° B．35° C．50° D．65°
【答案】A
【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．
【详解】∵在菱形ABCD中，∠A=130°，
∴∠C=130°，BC=DC，
∴∠DBC=∠CDB=（180°-130°）=25°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．
55．（2022春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程时，方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过移项，方程两边同时加上9，即可配出完全平方式，进而即可得到答案．
【详解】，
移项得：，
方程两边同时加上9，得：，即：．
故选C．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
56．（2023春·山东威海·八年级校联考期中）我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：设BC=a，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AB=a，
∴BE=a-a=a，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
57．（2022·河南郑州·校联考三模）两个袋子中分别装着写有1，2，3，4的四张卡片，卡片除数字外其余都相同，从每一个袋子中各抽取一张，则两张卡片上的数字之和不小于5的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两张卡片上的数字之和不小于5的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】画树状图如下：
共16种等可能的情况，两张卡片上数字之和不小于5的情况数有10种，
∴两张卡片上的数字之和不小于5的概率为；
故选B．
【点睛】此题考查了概率的求法；得到两张卡片上的数字之和不小于5的情况数的解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
58．（2022春·九年级单元测试）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，则共有9种等可能的结果，获胜的情况数是3种，利用概率公式即可得到答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了树状图法或列表法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
59．（2022春·九年级单元测试）如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴古城墙的高度是米，
故选：．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
60．（2022秋·海南三亚·九年级统考期末）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为1，则c的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】有一个根为1，所以x=1代入题目中的方程，求c的值.
【详解】解：
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义．
二、填空题
61．（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；②一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
【答案】 且
【分析】①根据根的判别式和一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案；
②直接把代入方程，即可求出答案．
【详解】解：①∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∵，
∴k的取值范围是且；
②∵一元二次方程的一个根为，
∴把代入，得
，
解得：；
故答案为：①且；②
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
62．（2022秋·四川宜宾·九年级统考期中）已知=，求=
【答案】
【分析】由已知条件求出a和b的关系，再把其关系式代入,化简计算即可．
【详解】∵=，
∴2a=3a 3b，
∴a=3b，
∴
故答案为
【点睛】考查了比例的基本性质，内项之积等于外项之积是解题的关键.
63．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，已知中，，，，点，分别是边，上的动点，且，点关于的对称点恰好落在的内角平分线上，则长为 ．
【答案】3或
【分析】此题分两种情况：当D点落在∠A的平分线上时，根据角平分线性质特点得DN=DM，进而得出点C，D，N在同一条直线上，再根据已知条件求出CN，证明△MCD△CAN，根据相似比求出CD即可；当D点落在∠B的平分线上时，同理证明出△MCD△NCB,根据相似比求CD．
【详解】当D点落在∠A的平分线上时，如图：
过点D作DN⊥AB，DM⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DN=DM，
由对称知识知CD⊥EF,
∵ ，DN⊥AB，
∴点C，D，N在同一条直线上，
∵，，，
∴AB=10，
∵ 即 ,
∴CN=4.8,
∴AN==3.6,
∴ DN=DM=4.8-CD，
∵∠CMD=∠ANC，∠MCD=∠CAN，
∴△MCD△CAN，
∴ ,
即，
解得：CD=3；
当D点落在∠B的平分线上时，如图：
同理：△MCD△NCB,
∴
∴，
即，
解得：CD=，
故答案为：3或．
【点睛】此题考查的角平分线的性质，相似三角形的证明及应用相似比求边，也涉及到对称的相关知识，难度较大．
64．（2022秋·九年级课时练习）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根，则+的值是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝3、x1x2＝﹣2、x12＝3x1+2、x22＝3x2+2，将其代入中即可得出结论．
【详解】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根，
∴x1+x2＝3、x1x2＝﹣2、x12＝3x1+2、x22＝3x2+2，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．
65．（2022秋·上海·九年级校考期中）如果线段，，且是和的比例中项，则 ．
【答案】
【分析】根据比例中项的概念，，则可求得线段b的值．
【详解】解：根据题意得：．
即：线段（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是另两条线段的乘积，从而求解．
66．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使得点点、点在同一条直线上，若，则的度数为 .

【答案】'
【分析】由折叠可知：，所以，再由的大小即可求．
【详解】由折叠可知：，
∴，
∵'，
∴24'，
故答案为：'．
【点睛】本题考查角的计算；熟练掌握折叠的性质，能够准确计算角的大小是解题的关键．
67．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是 ．
【答案】
【分析】由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有6个，其中奇数有4个，由此求得所求事件的概率．
【详解】解：由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有3×2=6个，其中奇数有2×2=4个，
故从中任取一个数，则恰为奇数的概率是 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解题的关键是掌握概率公式进行计算．
68．（2022·新疆阿克苏·统考一模）如图．在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，过点D作AB的垂线，垂足为E，若，，则DE的长为 ．
【答案】
【分析】连接PN，PM，证明可得，可知DE=BE，再证明，根据相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：连接MP，NP，如图，
由作图可得，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
，
∴，
∵，
∴DE//CB，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，证明DE=BE是解答本题的关键．
69．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
请利用以上知识解决下列问题：
如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝ ．
【答案】2．
【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2=y，则原方程化为y2+y-6=0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．
【详解】解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4
设m2+n2＝y，
则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4
即y2+y﹣6＝0，
（y+3）（y﹣2）＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2，
∵m2+n2不能是负数，
∴m2+n2＝2
故答案为2．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．
70．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ．
【答案】24
【分析】根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积.
【详解】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
在Rt△AOB中，利用勾股定理求得BO＝3．
∴BD＝6，AC＝8．
∴菱形ABCD面积为×AC×BD＝24．
故答案为24．
【点睛】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键.
71．（2022秋·九年级单元测试）如图，由个边长为的正方形组成的网格．若（相似比不是），且，的顶点都是网格内正方形的顶点，则的面积是 ．
【答案】，，，
【分析】易求△ABC的面积，因为△A′B′C′∽△ABC（相似比不是1），利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求出△A′B′C′的面积．
【详解】∵△ABC的三边为，∴△A′B′C′三边可能为2，；2，2，2，5，5；4，2，2；
∵△A′B′C′∽△ABC，S△ABC＝2×2﹣22×11×1＝1.5，∴△A′B′C′的面积是1.5×（）2＝3；1.5×22＝6；1.5×（）2＝7.5；1.5×（2）2＝12．
故答案为3，6，7.5，12．
【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解，相似三角形面积比等于相似比的平方．解题的关键是根据△ABC的三边长找到它们的对应边最长的长度为4，2，2．
72．（2022秋·九年级单元测试）写出一个一元二次方程使其一个根为1 .
【答案】x2-x=0（答案不唯一）
【详解】由于方程有一个根是1，并且是一元二次方程，所以答案不唯一，但一定有一个因式是（x-1）．例如x2-x=0
73．（2022·山东济南·模拟预测）在等腰中，的对边分别为，已知和是关于的方程的两个实数根，则的周长是 ．
【答案】或7
【分析】首先根据题意判断，等腰三角形没有明确谁是腰和底，分两种情况进行计算：①当a为底边时，b和c为腰，即b=c，先解出m的值，进而得出b和c的值，即可得出的周长；②当a为腰时，b和c为任意一个为另一条腰，即b=a=3，解得c的值，即可得出的周长.
【详解】解：分两种情况计算：
①当a为底边时，b和c为腰，即b=c，
b和是关于的方程的两个实数根，
则，
解得
当时，方程的根为-1，不符合题意，舍去，即
即得，b=c=2，
则的周长是2+2+3=7
②当a为腰时，b和c为任意一个为另一条腰，即b=a=3，
b和是关于的方程的两个实数根，
将b=3代入，即得，则
方程为
b+c=，得c=
则的周长是3+3+=
故答案为或7
【点睛】此题主要考查二元一次方程实数根的应用，注意分两种情况，不要遗漏.
74．（2022秋·九年级课时练习）方程的根为 ．
【答案】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】原方程可化为：，
或，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法是关键．
75．（2022·四川成都·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则的面积等于 ．
【答案】6
【分析】首先根据勾股定理求出OF的长，再根据勾股定理可求DF的长，进一步得到△ODF的面积．
【详解】由B点坐标，可得，，
在中，，
即，
解得，
在中，，
的面积．
故答案为6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-对称，折叠的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理求出OF的长．
76．（2023春·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使得点落在点处，则 ．
【答案】5
【分析】先证AF=CF，再根据Rt△CFB中建立方程求出AF长，即可得到答案．
【详解】解：∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA=∠FCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠FCA=∠FAC，
∴AF=CF，
设AF为x，
∵AB=8，BC=4，
∴CF=AF=x，BF=8-x，
在Rt△CFB中，，即，
解得：x=5，
∴CF=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
77．（2022秋·全国·九年级校联考期中）如图，正方形EFGH的边EF在ABC的边BC上，顶点H、G分别在边AB、AC上．如果ABC的边BC=30，高AD=20，那么正方形EFGH的边长为
【答案】12
【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△AGE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长
【详解】
解：设AD交GH于M．
∵四边形EFMN是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=HG=MD，
∴ ,
设，则，
∴，
解得： ，
∴
这个正方形的边长为12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是中考考查相似三角形常见题型．
78．（2023·辽宁鞍山·统考二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户2万户，计划到2023年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2021年底及计划到2023年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
79．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程的二次项系数与常数项的乘积为 ．
【答案】3
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后进行求解即可．
【详解】解：把一元二次方程化为一般式为：，
∴二次项系数为1，常数项为3，
∴它们的乘积为：1×3=3；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
80．（2023秋·九年级课前预习）小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为 ．
【答案】
【分析】设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据“共送礼物20件”，列出方程即可．
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，是解题的关键．
81．（2022秋·河南鹤壁·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若BD＝4，DA＝2，DE＝2，则AC＝ ．
【答案】3
【分析】根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠BED∽△BCA，
∴，
∵DB=4，DA=2，DE=2，
∴．
∴AC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的相关性质．
82．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）已知关于x的方程的解都是整数，那么符合条件的整数a的所有值为 ．
【答案】0，
【分析】首先利用当时，得到一个一元一次方程，直接得出根，当，或a(x+1)=-1，得出a的取值．
【详解】分两种情况讨论：
当时，则；
当时，原式可以整理为：是方程的一个整数根，再由，即a(x+1)=-1，∵a，x都是整数，∴a=±1，故答案为0，．
【点睛】本题考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单．
83．（2022·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC EP，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作FH⊥PE于H，
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴AC=，∠ACD=∠FCH=45°，
∵∠FHC=90°，CF=4，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴EC=，AE=，EH=，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2=，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴EF2=EC×EP，
∴EP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
84．（2023秋·九年级课时练习）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 ．
【答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
85．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，点B落在点E处．已知∠ADB＝24°，AE∥BD，则∠AFE的度数是
【答案】33°
【分析】设BD交EF于G．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE，由平行线的性质可知：∠BGF=∠E=90°，∠DBC=∠ADB=24°．在Rt△BGF中，由2∠AFE+∠DBC=90°，即可得出结论．
【详解】解：设BD交EF于G．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE．
∵AE∥BD，∴∠BGF=∠E=90°．
∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=24°．
在Rt△BGF中，2∠AFE+∠DBC=90°，∴2∠AFE=90°－24°=66°，
∴∠AFE=33°．
故答案为33°．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质和直角三角形的两锐角互余．解题的关键是得到△BGF为直角三角形．
86．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在同一时刻太阳光下，身高1．5m的小强影长是0．9m，旗杆的影长是10．8m，则旗杆的高为 m．
【答案】18
【详解】试题分析：根据题意得：小强的身高：小强的影长=旗杆的高度：旗杆的影长，然后将数字代入进行求解.
考点：相似的应用
87．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）在中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动．设运动时间为，如果过、两点的直线将的面积分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么 秒．
【答案】或
【分析】由过D、P两点的直线将△ABC的面积分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，分点P在AB和AC上两情况讨论即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）P点在AB上时，如图1，连接AD，则AD⊥BC，过P作PH⊥BC于H，
BP=t，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，D为BC的中点，
∴BD=BC=4，
∴，
设△BPD高为h，由2S△BPD=S△PDCA，
2××4×h=×8×3-×4×h，
解得：h=2，
又∵∠PHB=∠ADB=90°，∠PBH=∠ABD，
∴△PBH∽△ABD，
∴，
即，
∴t=（s）；
（2）P点在AC上时，如图2，连接AD，则AD⊥BC，过P作PH⊥BC于H，
同理可得h′=2，
∵△PCH∽△ACD，
∴，
即，
∴CP=，
则t=5+5-=（s），
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理、面积公式以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是分两种情况进行讨论．
88．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，平行四边形中，E为延长线上的一点，且，交于点F．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据四边形是平行四边形，得到，从而得到ΔΔ，即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ΔΔ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形性质及三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据平行四边形得到相似的条件．
89．（2022春·四川南充·八年级统考期中）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为4，则正方形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】过D点作EF垂直l3于F点.利用一线三等角的模型证明△ADE △DCF，即可求出AE的长，用勾股定理求出正方形的边长及对角线长即可.
【详解】过D点作EF⊥l3于F点.
∵l1∥l2∥l3
∴EF⊥l1，EF⊥ l2
∴∠AED=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90°,AD=CD
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠EAD=90°
∴∠CDF=∠EAD
∴△ADE △DCF（AAS）
∴AE=DF
∵l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为4，
∴AE=DF=4，ED=2
根据勾股定理得，AD=
∴正方形的对角线长为=
故答案为
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等及勾股定理，关键是关键题意作出辅助线，建立一线三等角的全等模型.
90．（2022春·四川达州·九年级专题练习）一个菱形的边长为8，面积为36，则该菱形的两条对角线的长和为 ．
【答案】20
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，设，则，再根据菱形的面积公式可得，然后利用勾股定理可得，利用完全平方公式可得的值，由此即可得．
【详解】解：如图，四边形是菱形，
，
设，则，
菱形的面积为36，
，即，
，
，即，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
即菱形的两条对角线的长和为20，
故答案为：20．
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
91．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

【答案】．
【分析】首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．
【详解】解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi，

∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B1ABi，
又∵AB1＝AO tan30°，ABi＝AP tan30°，
∴AB1：AO＝ABi：AP，
∴△AB1Bi∽△AOP，
∴∠B1Bi＝∠AOP．
同理得△AB1B2∽△AON，
∴∠AB1B2＝∠AOP，
∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，
∴点Bi在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．

由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，
∴
Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，
∴
∴
∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，
∴∠PAN＝∠B1AB2，
∴△APN∽△AB1B2，
∴，
∵ON：y＝﹣x，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴OM＝MN＝，
∴PN＝，
∴B1B2＝，
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，用到了三角形的相似、和等腰三角形的性质，解题关键是找出图形中的相似三角形，利用对应边之比相等进行边长转换．
92．（2022春·九年级单元测试）一个不透明的布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个．某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则可估计袋中球的总个数是 ．
【答案】20
【分析】根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案．
【详解】解：根据题意得：袋中球的总个数是个．
故答案为：20
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
93．（2022秋·江西赣州·九年级校考阶段练习）已知是方程的根，则的值为 ．
【答案】-2018
【分析】根据一元二次方程根的定义得到2m2+3m=1，再把变形为（2m2+3m）-2019，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴2m2+3m-1=0，即2m2+3m=1，
∴=（2m2+3m）-2019=×1-2019=-2018．
故答案为：-2018．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根．
94．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，中，，平分交于点D，交点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论：①，②，③，④．其中结论正确的个数有 ．
【答案】3个
【分析】①根据等角的余角相等，进行判断；②证明，得到，进行判断；③连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判断，得到，进而推出，得到，根据平行得到，得到：，进行判断；④根据，得到，进而得到：，根据，即可推出，进行判断即可．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；故①正确；
②∵，，
∴，
∴，
∵的值未知，故②不一定正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；故③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上：正确的是①③④，共3个；
故答案为：3个．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
95．（2022秋·上海·八年级期末）如图，上海实行垃圾分类政策后，各街道、各小区都在积极改造垃圾房，在工地一边的靠墙处，用12米长的栏围一个占面积为20平方米的长方形临时垃圾堆放点，栅栏只围三边，并且开一个2米的小门，方便垃圾桶的搬运.设垂直于墙的一边长为米．根据题意，建立关于的方程是 ．
【答案】
【分析】设垃圾房的宽为x米，由栅栏的长度结合图形，可求出垃圾房的长为（14-2x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设垃圾房的宽为x米，则垃圾房的长为（14-2x）米，
根据题意得：x（14-2x）=20．
故答案为：x（14-2x）=20．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
96．（2022·八年级单元测试）关于的一元二次方程的一个根是3，则 ，另一个根是 .
【答案】
【分析】根据方程根的定义，把x的值代入原方程求m，然后根据一元二次方程根与系数的关系求另一个根．
【详解】解：当x=3时，得9（m+1）-6m-1=0，
解得m=，原方程化为 ，
根据根与系数的关系，
得 ，即
∴即另一个根x2为.
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和方程根的定义．此题需要根据解的定义先求出系数中的字母m的值，再求另一个根的值．
97．（2022·山东威海·九年级统考期中）已知a、b是等腰的底和腰长，若a、b均是方程－6x+8=0的解，则的周长为
【答案】10
【详解】试题分析：根据解方程可得：x=2或x=4；当a=b=2时，周长为6；当a=b=4时，周长为12；当a=2为底，b=4为腰，周长为19；当a=2为腰，b=4为底时，无法构成三角形.
考点：等腰三角形的性质
98．（2023春·全国·八年级期末）如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得出①正确；证明△DFE≌△CFG（ASA），由全等三角形的性质得出FE=FG，证出∠AEB=∠EBG=90°，可判断②；证出S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，由平行四边形的性质可判断③；证明四边形BCFH是菱形，由菱形的性质可得出∠BFC=∠BFH，可得出结论④．
【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE2≌△CFG（ASA），
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，
若S△ABE:S△EFB=2：3，
则S四边形DEBC=3S△ABE，
过点E作EM/∥AB交BC于点M，则四边形AEBM和四边形DEMC都是平行四边形，

∴E为AD的中点，这与条件不相符，故③错误，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
99．（2022春·八年级校考课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是 ，宽是 ．
【答案】 1.5； 0.5
【分析】根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于210元列出方程解出即可．
【详解】设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由题意得
(x+3x)×2×20+3x×x×100+55=210
解得：x=0.5
∴3x=1.5（m），
答：这面镜子的长是1.5m，宽是0.5m，
故答案为：1.5；0.5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，准确找到等量关系列出方程式是解题的关键．
100．（2022秋·九年级课时练习）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：
解：∵， ①
∴， ②
∴． ③
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ．
【答案】 ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ，
【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解．
【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②，
原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数，
正确的解答过程为：，
，
，．
故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键．
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