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期末押题预测卷01
考试范围：九上第1章-九下第2章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形( )
A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数由m的值确定
6．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
9．将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
10．如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且时，k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．﹣4 D．﹣
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
12．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 ．
13．已知ABC与DEF的相似比为5∶1，则ABC与DEF的周长比为 ．
14．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
15．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 cm.
16．抛物线与直线交于点和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
点在对称轴的左侧；
；
点有可能在抛物线上；
．
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：．
18．已知：如图，在菱形中，E、F分别是边和上的点，且．求证：．

19．已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
(1)若该函数图像经过点，求实数的值；
(2)求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
20．安全小知识：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．（参考数据：，，，，，，，，）
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
21．定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
22．某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；
(2)全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率．
23．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点P，与x轴交于A，B两点，且是等腰直角三角形．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过原点O的直线与抛物线交于C，D两点．
①若的面积为，求直线的表达式；
②若C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，求证：D，E，Q三点共线．
25．在中，为边上一点．

(1)如图1，若，求证：．
(2)若为的中点，，
①如图2，若，，求的长；
②如图3，若，，直接写出的长．
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期末押题预测卷01
考试范围：九上第1章-九下第2章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程，得出，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把代入方程
得，解得，，
而，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】俯视图是指从上往下看所得的图形，根据俯视图的定义解答即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图是：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，解答此题的关键是弄清三视图的定义．
3．如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据比例的基本性质，可知B正确.
故选：B.
4．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：再添加条件为AD＝BC，AC＝BD可以判定四边形ABCD为矩形，理由如下：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程化为，
∵Δ＝（m－1）2﹣4×1×（﹣m）
＝m2+2m+1
＝（m+1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，上面的结论反过来也成立．
6．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先根据三角形中位线的性质得到DE=AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可．
【详解】∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE=AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△ABC，
∴=，
∴△ABC的面积=2×4=8
故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
8．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】C
【详解】分析：根据相似三角形的判定：三对边分别对应成比例的两个三角形相似来进行判定．
解答：解：若设每个小正方形的边长为1，
则AC：AB：BC=：1：，
要使PD：PB：BD=：1：，
，点P只能在P3处，
故选C．
9．将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【答案】C
【分析】由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，且，
∴，即，
∵折叠，
∴，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
10．如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且时，k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．﹣4 D．﹣
【答案】A
【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，通过证明△CFO∽△OEA，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△COF面积，再利用反比例函数系数k的几何意义，即k与面积之间的关系确定k值.
【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∵∠COF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴＝（）2，
∵CA：AB＝5：8，AO＝OB，
∴CA：OA＝5：4，
∴CO：OA＝3：4，
∴＝（）2＝，∵S△AOE＝2，
∴S△COF＝，
∴＝，
∵k＜0，
∴k＝-，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解答此题的关键是求出△COF的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积是解答此题的重要途径.
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
12．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 ．
【答案】任何实数
【分析】根据一元二次方程有实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∵，
∴当为任意实数时，，满足题意；
故答案为：任意实数．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟知不同情况下根的情况（当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根）．
13．已知ABC与DEF的相似比为5∶1，则ABC与DEF的周长比为 ．
【答案】5∶1．
【详解】试题分析：根据三角形周长之比等于相似比,所以△ABC与△DEF的周长比为5∶1．
故答案是5∶1．
考点：相似比．
14．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】证明是的中位线，即可得到．
【详解】解：∵在平行四边形中，对角线交于点O，
∴点O是的中点，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边的性质，三角形中位线性质定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且其长度等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 cm.
【答案】8
【分析】根据相似三角形的性质即可解题.
【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,
由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比,
∴30:60=CD：16,
解得：CD=8cm.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.
16．抛物线与直线交于点和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
点在对称轴的左侧；
；
点有可能在抛物线上；
．
【答案】
【分析】由题可知抛物线对称轴为，再判断点横坐标与的大小关系即可；
将、两点分别代入抛物线解析式中，得到，根据的取值范围即可判断；
假设该点在抛物线上，将代入抛物线解析式中得，再根据结论下求得的、值算得的值，由两式子相等得到一个新式子，要使该点在抛物线上，则新式子的；
设直线解析式为，直线过、两点，由待定系数法求出直线解析式，将代入直线解析式中，得出，再比较和的大小即可．
【详解】解：由题可知抛物线对称轴为，
，
，
点在对称轴的左侧，故结论符合题意；
抛物线过点、点，
，
，
，
当的值随的增大而增大，
当时，，
，故结论不符合题意；
假设该点在抛物线上，
将点代入抛物线解析式中，
得，
由可知，，
有，
，
整理得，
，
点没有在抛物线上，故结论不符合题意；
，
设直线解析式为，
直线过、两点，
，
解得：，
直线解析式为，
直线与抛物线的对称轴交于点，
，
，
当时，的值随的增大而减小，
当时，，
当时，，
，故结论符合题意；
综上，结论符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：．
【答案】，
【分析】因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
整理得：，
即，
解得，，．
【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
18．已知：如图，在菱形中，E、F分别是边和上的点，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】欲证明，只要证明即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
，
，，
∴.
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
(1)若该函数图像经过点，求实数的值；
(2)求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
【答案】(1)
(2)，该函数图像经过第一、三象限
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解．
【详解】（1）解：∵该函数图像经过点，
∴，
解得：．
（2）解：∵当时，随的增大而减小，
∴．
∴的取值范围是．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
20．安全小知识：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．（参考数据：，，，，，，，，）
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【答案】(1)3.8米
(2)，安全
【分析】（1）利用正弦函数的增减性可知当时，AO取最大值，解直角三角形即可；
（2）利用解直角三角形解题即可．
【详解】（1）∵
当时，AO取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米．
（2）在中，，
，，
∴，
∵，∴人能安全使用这架梯子．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键．
21．定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；
（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②证明△ABE∽△CBA，得到，故可求解．
【详解】（1）如图，点F为所求；
（2）①∵△ABC是“和谐三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
联立化简得到a=b+1；
②∵E点是BD中点
∴BE=
由①得到AB=
∴
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴
故△ACE是“和谐三角形”．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．
22．某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；
(2)全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率．
【答案】(1)50名，；图见解析
(2)树状图见解析，
【分析】（1）根据条形统计图中想参加篮球的人数除以扇形统计图中篮球部分的占比，即可算出该班的总人数；再通过计算想参加足球的人数，计算出其他部分的人数，即可算出其他部分所对应的圆心角度数；统计图如图所示，即可解答．
（2）按题意画出树状图，即可求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率．
【详解】（1）解：由统计图可得，该班共有学生：（名），
想加入足球社团的学生有：（名），
想加入其他社团的学生有：（名），
在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：．
答：该班共有50名学生，在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是72度．
补全的条形统计图如图所示：

（2）由题意可得，

根据上图可得，总共有20种情况，恰好选出七、八年级同学各1名组成双打组合的有12种，
∴恰好选出七、八年级同学各1名的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，结合图形得出相关的数据是解题的关键．
23．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】（1），证明见解析（2）
【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似．
【详解】（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN-BM=MN．
在线段DN上截取DQ=BM，如图，
在△ADQ与△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点P，与x轴交于A，B两点，且是等腰直角三角形．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过原点O的直线与抛物线交于C，D两点．
①若的面积为，求直线的表达式；
②若C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，求证：D，E，Q三点共线．
【答案】(1)
(2)①直线的表达式为或；②共线
【分析】（1）设，则，根据勾股定理表示出的长，根据是等腰直角三角形即可求出m，进而求出抛物线的表达式；
（2）过点C作轴，轴，根据C，D两点在抛物线上，可得，再根据求解即可；根据对称求出Q，E两点坐标，求出直线的表达式为，再把点D代入验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线对称轴，顶点，如图，

∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴设，则，
∴，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，即，解得：或（舍），
∴，
把代入得： ，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①过点C作轴，轴，如图，

设直线的表达式为，
∵C，D两点在抛物线上，抛物线的表达式为，
∴，整理得，
解得：，
∵的面积为，
∴，即，
∴，即，
解得：，
∴直线的表达式为或；
证明：②如图：

由①得：直线的表达式为或，
∵抛物线的表达式为，
令，解得：，，
∴，，
∵C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，顶点，
∴，，
设直线的表达式为，
把，代入得：，解得
∴直线的表达式为，
把代入，解得，
∴符合直线的表达式，
∴D，E，Q三点共线；
当直线的表达式为时，同理证明；
【点睛】本题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质及待定系数法的运用．
25．在中，为边上一点．

(1)如图1，若，求证：．
(2)若为的中点，，
①如图2，若，，求的长；
②如图3，若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)①3；②
【分析】（1）根据已知条件得出，又，即可得证；
（2）①解法：延长到点，使，连结，设：，则，，，证明，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可求解；①解法：取中点，连结，设：，则，证明，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可求解；
②解法：延长到点，使，连结，过点作于点，证明，得出，在中，，则，建立方程，解方程，即可求解；②解法：过点作于点，在上取点，使，在中，勾股定理求得，证明，得出，解方程，即可求解．
【详解】（1）∵，即
∵，
∴；
（2）
①解法：延长到点，使，连结
设：，则，，
为的中点，为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去）

①解法：取中点，连结
设：，则
为的中点，为的中点
是的中位线
，且
，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去）
，
②解法：延长到点，使，连结，过点作于点，

设：，
中，，
，
中，，
，
，
，
为的中点，为的中点
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即
解得：，（不合题意舍去）
②解法：过点作于点，在上取点，使，

设：，
中，，
，
中，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
为的中点，
，
，，
，即
，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去）
【点睛】本题主要考查三角形的综合性题目，包括相似三角形的判定和性质，三角形中点的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
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