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专题05 分式
考点类型
考点一遍过
考点1：分式及最简分式
典例1：（2023春·福建泉州·八年级校考期末）在式子，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023春·福建漳州·八年级校考阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数为（　　）
A．5 B．4. C．3 D．2
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考开学考试）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023春·福建泉州·八年级校考期中）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：分式有意义的条件
典例2：（2023春·福建福州·八年级校考开学考试）分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期末）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）要使分式有意义，则x应满足( )
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠﹣1且x≠2
考点3：分式值为0的条件
典例3：（2023春·福建泉州·八年级校考期中）若分式的值为零，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义
【变式2】（2011春·福建漳州·八年级统考期中）若分式 的值为零，则 等于（ ） 　　
A． B． C． D．
【变式3】（2022春·福建泉州·八年级校考期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．取任意实数
考点4：分式的基本性质
典例4：（2023春·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是正整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如果把分式中的，的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．保持不变
【变式3】（2023春·河南新乡·八年级统考阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
考点5：利用分式基本性质求值
典例5：（2022秋·浙江·七年级校考期中）已知，则分式的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）已知，则式子的值是（ ）
A．－1 B．－7 C． D．
【变式2】（2022春·四川内江·八年级威远中学校校考期中）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
【变式3】（2022秋·湖北荆州·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
考点6：分式的化简求值
典例6：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）先化简：再从，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）先化简，再从0、2、3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【变式2】（2023春·河南开封·八年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式3】（2023春·河南新乡·八年级校联考阶段练习）课堂上，刘老师给同学们出了这样一道题：当时，求的值．小明把抄成了，得出的结果与正确答案是一致的，你能说明这是为什么吗？
考点7：解分式方程
典例7：（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）解方程：．
【变式1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考开学考试）解分式方程：
(1)；
(2)．
【变式2】（2022春·福建宁德·九年级校考阶段练习）解分式方程：．
【变式3】（2023秋·河南周口·八年级校联考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
考点8：分式方程解的应用
典例8：（2022春·上海·六年级校考阶段练习）关于的方程的解为非负数，求自然数 ．
【变式1】（2023春·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的解为，求k的值．
(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．
【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个奇数解，求满足条件的整数a的值．
考点9：分式方程解的增根
典例9：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值．
【变式1】（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）关于的分式方程．
(1)若此方程有增根，求的值
(2)若此方程解为正数，求的取值范围．
【变式2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
【变式3】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值．
考点10：分式方程应用——行程问题
典例10：（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）列方程解应用题
八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【变式1】（2023春·山东威海·九年级统考期中）A、B两地的距离是80千米，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
【变式2】（2022·江苏盐城·校考一模）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍，求骑车学生的速度．
【变式3】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）周末学校组织七、八年级学生从学校出发，去相距12km的革命传统教育基地研学，两个年级同时出发，八年级全程骑自行车，七年级先步行1km，剩余11km乘公交车，结果两个年级同时到达，已知七年级步行的速度比八年级骑自行车的速度每小时慢10km，而七年级乘公交车的速度比八年级骑自行车的速度每小时快10km，求八年级同学骑自行车的速度．
考点11：分式方程应用——工程问题
典例11：（2023秋·浙江杭州·八年级统考开学考试）为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活动．
(1)甲队在A地植树，如果每人种4棵，还剩下66棵树苗；如果每人种5棵，则缺少30棵树苗．求甲队志愿者的人数和A地需种植的树苗数．
(2)乙队在B地植树，原计划植树1200棵，由于另有新加入的志愿者共同参与植树，每日比原计划多种，结果提前3天完成任务．问原计划每天植树多少棵？
【变式1】（2023·福建漳州·统考一模）某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．
信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；
信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的倍．
(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？
(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？
【变式2】（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）某市一个公园要改造维修，若由甲、乙两个工程队合作，12天可以完成；若甲工程队先单独做5天后，乙队也来参加，两队再合作9天可以完工，问若两队单独完成这项工程各需几天
【变式3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
考点12：分式方程应用——销售问题
典例12：（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？
(2)若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？
【变式1】（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元？
【变式2】（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．
(1)求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
(2)若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至多打几折（利润＝售价－进价）？
【变式3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）喜饼是海阳地方特产，具有独特风味，寓意喜庆团园，甲，乙两人去市场采购相同价格的同种礼盒装喜饼，甲用2400元购买的数量比乙用3000元购买的数量少10盒．
(1)利用分式方程，求甲购买该种礼盒装喜饼的数量；
(2)甲，乙两人再去采购该种礼盒装喜饼时，恰逢店庆促销，单价比上次少了20元/盒．甲购买喜饼的总价与上次相同，乙购买喜饼的数量与上次相同，则甲两次购买这种喜饼的平均单价是 　 　元/盒，乙两次购买这种喜饼的平均单价是 　 　元/盒（直接写出答案）．
考点13：分式方程应用——方案问题
典例13：（2023春·四川成都·八年级统考期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？
【变式1】（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案．
【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元
其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，如果燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）
【变式3】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）某企业用A、B两种型号的机器加工相同的零件．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用的时间相等．
(1)求A、B两种型号的机器每台每小时分别加工多少个零件？
(2)如果该企业计划安排A、B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，已知一台A型机器每小时的工作成本为100元，一台B型机器每小时的工作成本为80元，为了保证利润，这10台机器每小时的工作成本不高于925元．求最多安排几台A型机器？
(3)在（2）的条件下，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于70个，那么有哪几种安排方案？
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专题05 分式
考点类型
考点一遍过
考点1：分式及最简分式
典例1：（2023春·福建泉州·八年级校考期末）在式子，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义即可得出答案．
【详解】解：分式有：，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意是数字．
【变式1】（2023春·福建漳州·八年级校考阶段练习）下列各式中：，，，，，分式的个数为（　　）
A．5 B．4. C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据分式的定义即可答题．
【详解】解：由分式的定义判断，仅有，属于分式，其余各项均不满足分式的定义，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的定义：形如（、表示整式，不为0且含有字母）的式子叫做分式，判断分式的关键是分母中必须含有字母；易错点是是作为具体数值的数字而不作字母，如是整式．
【变式2】（2023春·福建福州·八年级校考开学考试）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 的分子和分母有公因式2，故不是最简分式，该选项不符合题意；
B. 的分子和分母没有公因式，是最简分式，该选项符合题意；
C. 的分子和分母有公因式，故不是最简分式，该选项不符合题意；
D. 的分子和分母有公因式，故不是最简分式，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简分式的知识，理解并掌握最简分式的定义是解题关键．
【变式3】（2023春·福建泉州·八年级校考期中）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
考点2：分式有意义的条件
典例2：（2023春·福建福州·八年级校考开学考试）分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可获得答案．
【详解】解：若分式有意义，
则有，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式有意义的条件是解题关键．
【变式1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期末）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义，分母不等于零进行求解即可．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义分母为零；
（2）分式有意义分母不为零；
（3）分式值为零分子为零且分母不为零．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行逐项判断即可．
【详解】解：A、当x≠0时，有意义，故选项A不符合题意；
B、∵2x2+1＞0，
∴无论x取何值，总有意义，故选项B符合题意；
C、当x≠0时，有意义，故选项C不符合题意；
D、当x≠－1时，x3+1≠0，有意义，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解答的关键．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）要使分式有意义，则x应满足( )
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠﹣1且x≠2
【答案】D
【详解】试题分析：当（x+1）（x-2）时分式有意义，所以x≠-1且x≠2，故选D．
考点：分式有意义的条件．
考点3：分式值为0的条件
典例3：（2023春·福建泉州·八年级校考期中）若分式的值为零，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D、当时，有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【变式2】（2011春·福建漳州·八年级统考期中）若分式 的值为零，则 等于（ ） 　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【详解】解： ，
，
当 时， ， 不满足条件．
当 时， ， 当 时分式的值是 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解决本题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【变式3】（2022春·福建泉州·八年级校考期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．取任意实数
【答案】A
【分析】由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值为正数可知＞0，最后解不等式即可．
【详解】，的值为正数
解得
故选A
【点睛】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到x2+5＞0．
考点4：分式的基本性质
典例4：（2023春·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是正整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：D
【点睛】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．
【变式1】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质再逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，变形正确，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的约分，掌握分式的基本性质是解本题的关键．
【变式2】（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如果把分式中的，的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．保持不变
【答案】D
【分析】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，可得，根据分式的基本性质化简即可求得答案．
【详解】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，可得
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，牢记分式的基本性质（分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变）是解题的关键．
【变式3】（2023春·河南新乡·八年级统考阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的
基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
考点5：利用分式基本性质求值
典例5：（2022秋·浙江·七年级校考期中）已知，则分式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对分式进行变形得：，然后由题意可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
【变式1】（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）已知，则式子的值是（ ）
A．－1 B．－7 C． D．
【答案】A
【分析】由得到，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和整体代入是解题法关键．
【变式2】（2022春·四川内江·八年级威远中学校校考期中）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】C
【分析】将条件变形为，再代入求值即可得解．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式的化简，将条件变形为是解答本题的关键．
【变式3】（2022秋·湖北荆州·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】根据完全平方公式可得，然后由可进行求解．
【详解】解：∵，
∴两边同时平方得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式的性质及完全平方公式，熟练掌握分式的性质及完全平方公式是解题的关键．
考点6：分式的化简求值
典例6：（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）先化简：再从，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解．
【详解】解：原式
，
，，
，，
取，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）先化简，再从0、2、3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，1
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解．
【详解】解：原式
；
因为，
取，则
原式
．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
【变式2】（2023春·河南开封·八年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】先计算分式的混合运算，再将字母的值代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【变式3】（2023春·河南新乡·八年级校联考阶段练习）课堂上，刘老师给同学们出了这样一道题：当时，求的值．小明把抄成了，得出的结果与正确答案是一致的，你能说明这是为什么吗？
【答案】见解析
【分析】根据分式的除法法则，对式子进行化简求值，即可．
【详解】∵
，
∴这个代数式的值与的取值无关，
∴小明把抄写成了，得出的结果与正确答案是一致的．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，平方差和完全平方公式的运用．
考点7：解分式方程
典例7：（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）解方程：．
【答案】0
【分析】将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：；
经检验，是原方程的解．
∴方程的解为：．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考开学考试）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
原分式方程的解为：
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验．
【变式2】（2022春·福建宁德·九年级校考阶段练习）解分式方程：．
【答案】无解
【分析】将分式方程化为整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项合并得，，
检验，将代入 ，不是原分式方程的根，
∴方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确运算．
【变式3】（2023秋·河南周口·八年级校联考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；
（2）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；
【详解】（1）解：方程两边乘，得
，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：方程两边乘，得
，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是注意检验是否为增根．
考点8：分式方程解的应用
典例8：（2022春·上海·六年级校考阶段练习）关于的方程的解为非负数，求自然数 ．
【答案】0；1；2
【分析】根据分式方程求解步骤得到关于方程的解，再根据题意进行判断即可求解；
【详解】两边同时乘以得：，
移项得： ，
化简得： ，
解得： ，
∴，
两边，得： ，
解之得： ．
∴的值为，，．
【点睛】本题主要考查知道分式方程的解情况求参数，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键．
【变式1】（2023春·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的解为，求k的值．
(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）将代入方程，即可求出k的值；
（2）先解分式方程，得，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，
得，
即，
解得；
（2）解：将去分母，
得，
解得，
因为分式方程有正数解，
则，
即，
所以，
又因为分母不为0，
即，
那么，
所以，
故且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：，
解①得，；
解②得，，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为：1，2，3，4；
∴，
解得，；
解分式方程得，；
∵方程的解为非负数，且
∴；即；
综上：且
∵a是整数，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的关键．
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个奇数解，求满足条件的整数a的值．
【答案】1，3，6
【分析】由不等式组有两个奇数解，可求得，由得出，再根据分式方程有正整数解即可得出答案．
【详解】解：根据题意解不等式组
得．
∵关于y的不等式组至少有两个奇数解，
∴，解得．
由，
解得．
∵，
∴．
∴．
∵方程有正整数解，且a为整数，
∴a＝1，3，6．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点9：分式方程解的增根
典例9：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值．
【答案】或
【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程进行求解即可．
【详解】解：分式方程去分母，得：，
整理，得：，
∵分式方程有增根，
∴，
∴或，
当时，；
当时，；
∴或．
【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的未知数的值，是解题的关键．
【变式1】（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）关于的分式方程．
(1)若此方程有增根，求的值
(2)若此方程解为正数，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)且．
【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；
（2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得；
（2）解：方程两边都乘以得，
，
解得，
方程的根为正数，
，且
∴且．
【点睛】本题考查了分式方程解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根；
（2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
将分式方程化为整式方程：，
整理得：，
将代入得：，
即若方程有增根，则．
（2）解：∵是方程的解，
将代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均为整数且，
∴或或，
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
综上，的值为或或．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式3】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)；
(2)a的值为或2．
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
【详解】（1）解：
方程两边同乘得
整理可得：
∵原方程有增根
∴，即或，
当时，，故应舍去，
当时，，解得，
∴时，方程有增根；
（2）解：由（1）知：时，原方程无解
当，方程无解
∴时，原方程无解
综上所述，a的值为或2．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
考点10：分式方程应用——行程问题
典例10：（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）列方程解应用题
八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【答案】骑车学生的速度为
【分析】设骑车学生的速度为，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，以及他们同时到达，列出方程进行计算即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，由题意，得：
，
解的：，
经检验，是原方程的解．
答：骑车学生的速度为．
【点睛】本题考查分式方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出分式方程．
【变式1】（2023春·山东威海·九年级统考期中）A、B两地的距离是80千米，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
【答案】公共汽车的速度是20km/h，小汽车的速度是60km/h.
【详解】解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．
依题意，得
，
解，得x=20．
经检验x=20是原方程的根，且符合题意．
∴3x=60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．
考点：分式方程的应用．
【变式2】（2022·江苏盐城·校考一模）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍，求骑车学生的速度．
【答案】20km/h
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为3xkm/h，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为3xkm/h，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：骑车学生的速度为20km/h．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式3】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）周末学校组织七、八年级学生从学校出发，去相距12km的革命传统教育基地研学，两个年级同时出发，八年级全程骑自行车，七年级先步行1km，剩余11km乘公交车，结果两个年级同时到达，已知七年级步行的速度比八年级骑自行车的速度每小时慢10km，而七年级乘公交车的速度比八年级骑自行车的速度每小时快10km，求八年级同学骑自行车的速度．
【答案】12km
【分析】设八年级同学骑自行车的速度为每小时xkm，则七年级步行的速度为每小时（x－10）km，七年级乘公交车的速度为每小时（x＋10）km，根据题目中的等量关系列出分式方程求解即可．
【详解】解：设八年级同学骑自行车的速度为每小时xkm，则七年级步行的速度为每小时（x－10）km，七年级乘公交车的速度为每小时（x＋10）km，
由题意得：，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
答：八年级同学骑自行车的速度为每小时12km．
【点睛】此题考查了分式方程应用题，解题的关键是正确分析出题目中的等量关系，最后不要忘了检验．
考点11：分式方程应用——工程问题
典例11：（2023秋·浙江杭州·八年级统考开学考试）为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活动．
(1)甲队在A地植树，如果每人种4棵，还剩下66棵树苗；如果每人种5棵，则缺少30棵树苗．求甲队志愿者的人数和A地需种植的树苗数．
(2)乙队在B地植树，原计划植树1200棵，由于另有新加入的志愿者共同参与植树，每日比原计划多种，结果提前3天完成任务．问原计划每天植树多少棵？
【答案】(1)甲队志愿者有96人，A地需种植的树苗数为450棵
(2)原计划每天植树80棵
【分析】（1）根据“x人，每人种4棵的树苗数总数量66；x人，每人种5棵的树苗数总数量30”列方程组，解出可得答案；
（2）根据原计划植树的天数现在植树的天数列分式方程，解出可得答案．
【详解】（1）解：设甲队志愿者有x人，A地需种植的树苗数为y棵；
由题意得：
解得：
答：甲队志愿者有96人，A地需种植的树苗数为450棵；
（2）设原计划每天植树m棵；
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天植树80棵．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组．
【变式1】（2023·福建漳州·统考一模）某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．
信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；
信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的倍．
(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？
(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？
【答案】(1)甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；
(2)在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．
【分析】（1）设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出乙施工队每天修路的长度；
（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修米道路，
根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；
（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为10．
答：在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式2】（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）某市一个公园要改造维修，若由甲、乙两个工程队合作，12天可以完成；若甲工程队先单独做5天后，乙队也来参加，两队再合作9天可以完工，问若两队单独完成这项工程各需几天
【答案】甲单独完成此项工程需要20天，乙单独完成此项工程需要30天
【分析】可以设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天，根据甲、乙两人合作，12天可以完成；甲独做5天后，乙队也来参加，两队再合作9天可以完工，即可列方程组求得x，y的值；
【详解】解：设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天，
根据题意得： ，解得：
经检验是方程组的解．
答：甲单独完成此项工程需要20天，乙单独完成此项工程需要30天．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题目中的相等关系，理解工作时间、工作量、工作效率之间的关系是解题关键．
【变式3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
【答案】原计划每天加工20套运动服
【分析】根据题意：“共用了18天完成全部任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间．
【详解】设原计划每天加工x套运动服．
根据题意，得．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天加工20套运动服．
【点睛】此题考查分式方程在实际问题中的应用，找到等量关系是解题的关键，注意分式方程需要验根．
考点12：分式方程应用——销售问题
典例12：（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？
(2)若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？
【答案】(1)甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元
(2)至少购进甲品牌的童装32套
【分析】（1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据“用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍”列出方程，解方程即可；
（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据“两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元”可列出不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
（元），
答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；
（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据题意得，
，
解得，
答：至少购进甲品牌的童装32套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系和不等关系是解题的关键．
【变式1】（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元？
【答案】甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元
【分析】设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元，根据用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元，
由题意，得，解得，
经检验，是该分式方程的解，且符合题意，．
答：甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
【变式2】（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．
(1)求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
(2)若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至多打几折（利润＝售价－进价）？
【答案】(1)第一批大樱桃每公斤进价为120元．
(2)剩余的大樱桃每公斤售价至多打9折
【分析】（1）设第一批大樱桃每公斤进价x元，根据大樱桃的进价保持不变，列出分式方程求解即可得到答案；
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折，销售利润不少于320元列出不等式，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设第一批大樱桃每公斤进价x元，
根据题意，得：
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为120元．
（2）解：设剩余的大樱桃每公斤售价打y折．
根据题意，得：，
解得，
答：剩余大樱桃每公斤售价至多打9折．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，能根据题目意思列出方程并正确求解是解题的关键．
【变式3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）喜饼是海阳地方特产，具有独特风味，寓意喜庆团园，甲，乙两人去市场采购相同价格的同种礼盒装喜饼，甲用2400元购买的数量比乙用3000元购买的数量少10盒．
(1)利用分式方程，求甲购买该种礼盒装喜饼的数量；
(2)甲，乙两人再去采购该种礼盒装喜饼时，恰逢店庆促销，单价比上次少了20元/盒．甲购买喜饼的总价与上次相同，乙购买喜饼的数量与上次相同，则甲两次购买这种喜饼的平均单价是 　 　元/盒，乙两次购买这种喜饼的平均单价是 　 　元/盒（直接写出答案）．
【答案】(1)甲购买40盒该种礼盒装喜饼
(2)48，50
【分析】（1）设甲购买x盒该种礼盒装喜饼，则乙购买盒该种礼盒装喜饼，利用单价总价数量，结合该种礼盒装喜饼的单价不变，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用单价总价数量，可求出促销前该种礼盒装喜饼的单价，结合促销时单价比上次少了20元/盒，可求出促销时该种礼盒装喜饼的单价，利用数量总价单价，可求出促销时甲、乙购买该种礼盒装喜饼的数量，再利用平均单价总价之和两次购买数量之和，即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲购买x盒该种礼盒装喜饼，则乙购买盒该种礼盒装喜饼，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解．
答：甲购买40盒该种礼盒装喜饼；
（2）促销前该种礼盒装喜饼的单价为（元/盒），
促销时该种礼盒装喜饼的单价为（元/盒），
促销时甲购买该种礼盒装喜饼的数量为（盒），
促销时乙购买该种礼盒装喜饼的数量为（盒），
甲两次购买这种喜饼的平均单价是（元/盒），
乙两次购买这种喜饼的平均单价是（元/盒）．
故答案为：48，50．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，求出甲、乙两次购买这种喜饼的平均单价．
考点13：分式方程应用——方案问题
典例13：（2023春·四川成都·八年级统考期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？
【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元
(2)共有5种进货方案
【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解；
（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆，根据购车资金不多于105万元，列不等式求解．
【详解】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价万元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年6月份A款汽车每辆售价9万元．
（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆，
由题意得：，
解得：．
∵A款汽车的数量不少于6辆，
故y可以取值：6、7、8、9、10．
答：共有5种进货方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列方程和不等式求解．
【变式1】（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案．
【答案】(1)吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元
(2)有2种购买方案
【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元，根据题意列出方程求解即可．
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，求方程的整数解即可．
【详解】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则；
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个．
由题意得：，
整理得：，
∵m、n为正整数，
∴或，
答：有2种购买方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的整数解，熟练掌握解分式方程，求方程的整数解是解题的关键．
【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元
其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，如果燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）
【答案】选择新能源，见解析
【分析】根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，据此计算比较即可得．
【详解】解：新能源车的每千米行驶费用为元，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
燃油车：元/千米，元，
新能源：元/千米，元，
∵，
∴选择新能源．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．
【变式3】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）某企业用A、B两种型号的机器加工相同的零件．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用的时间相等．
(1)求A、B两种型号的机器每台每小时分别加工多少个零件？
(2)如果该企业计划安排A、B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，已知一台A型机器每小时的工作成本为100元，一台B型机器每小时的工作成本为80元，为了保证利润，这10台机器每小时的工作成本不高于925元．求最多安排几台A型机器？
(3)在（2）的条件下，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于70个，那么有哪几种安排方案？
【答案】(1)A种型号的机器每台每小时加工8个零件，则B种型号的机器每台每小时加工6个零件
(2)6
(3)方案一：安排5台A型机器，则安排5台B型机器；方案二：安排6台A型机器，则安排4台B型机器
【分析】（1）设A种型号的机器每台每小时加工x个零件，则B种型号的机器每台每小时加工个零件，根据机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型机器每台每小时加工零件的数量，再将其代入中，即可求出B型机器每台每小时加工零件的数量；
（2）设安排a台A型机器，则安排台B型机器，根据这10台机器每小时的工作成本不高于925元，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；
（3）根据这10台机器每小时的工作成本不高于925元．求最多可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合，且a为正整数，即可得出各安排方案．
【详解】（1）解：设A种型号的机器每台每小时加工x个零件，则B种型号的机器每台每小时加工个零件，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：A种型号的机器每台每小时加工8个零件，则B种型号的机器每台每小时加工6个零件．
（2）解：设安排a台A型机器，则安排台B型机器，根据题意得：
，
解得：，
因为a为正整数，
∴a的最大值为6，
答：最多安排6台A型机器．
（3）解：根据题意得：，
解得：，
由（2）得：，且a为正整数，
∴a取5，6，
所以一共有2种安排方案，
方案一：安排5台A型机器，则安排5台B型机器；
方案二：安排6台A型机器，则安排4台B型机器．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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