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专题01 三角形
考点类型
考点一遍过
考点1：三角形的稳定性
典例1：（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）

A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
【变式1】（2023秋·福建莆田·八年级期末）下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2023秋·福建福州·八年级校考开学考试）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
考点2：三角形的相关线段
典例2：（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（2022秋·天津河东·八年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
【变式3】（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
考点3：三角形中线的应用
典例3：（2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，是的中线，点D在线段上．若，，则的长是（ ）

A．7 B． C．8 D．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC＝6，DE＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，若点D、E分别为边、的中点，且的面积等于16，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．12 B．8 C．6 D．4
【变式3】（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E分别为的中点，点F在线段上，且，若的面积为．则的面积为___________．

A．3 B．4 C．6 D．8
考点4：三角形的三边关系
典例4：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1】（2022春·福建漳州·七年级校考阶段练习）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（2022秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）下列3根小木棒中能摆成三角形的是（ ）
① ② ③ ④，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB=8，则另两边的长不可能的是（ ）
A．4，5 B．3，6 C．3，5 D．2，8
考点5：三角形三边关系的应用
典例5：（2022秋·福建福州·八年级统考期末）在中，已知两边长分别为3和6．若第三边长为奇数，则第三边的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．5或7
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在中，线段，，则第三边的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2022春·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【变式3】（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知a、b、c为三角形的三条边长，设，则m的值（ ）
A． B． C． D．或
考点6：利用高线与角平分线求角
典例6：（2023秋·福建泉州·八年级期末）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则值为（　　）
A．1 B．1.2 C．1.5 D．2
【变式1】（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·八年级课时练习）（垂线段在三角形内）如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
考点7：直角三角板中的角度问题
典例7：（2023春·福建莆田·七年级统考期末）将一副三角板（，）如图摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022春·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）一副三角板如图所示放置，ABDC，∠CAE的度数为（　　）
A．45° B．30° C．15° D．10°
【变式5】（2022春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
考点8：三角形中的双角平分线模型
典例8：（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（ ）
A．42° B．40° C．38° D．35°
【变式1】（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=125°，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．45°
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（　　）

A．30° B．35° C．50° D．85°
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，．
A．45° B．50° C．60° D．120°
【变式5】（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在中，，分别平分，且，分别平分的外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点9：蝶形中的角度计算
典例9：（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，则（　　）

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠F=90°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为(　　)

A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023春·福建福州·七年级校考阶段练习）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角如法进一步截去，如图3，则图中的（ ）

A． B． C． D．
考点10：三角形外角定理（折叠）
典例10：（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·重庆涪陵·八年级校考期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式4】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2023春·七年级课时练习）如图，将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
考点11：直角三角形的性质
典例11：（2023春·河南焦作·九年级校考期中）如图，小明从文具店买了一把直尺，他突发奇想，想验证一下这把尺子的对边是否平行，于是他把直尺与一块三角板如图放置，用量角器测量和的度数，请问下列哪个关系可以说明直尺的对边平行(　　)

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在中，，是的角平分线，于点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023春·广西玉林·七年级统考期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分； ③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【变式4】（2023春·海南儋州·七年级统考期末）取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，若，则等于（ ）

A．100° B．108° C．118° D．120°
【变式5】（2023春·广东佛山·七年级校考期中）是边上的高，平分交边于E，，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
考点12：多边形的边数
典例12：（2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【变式1】（2022春·广西钦州·七年级阶段练习）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　）
A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm
【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（ ）
A．18条 B．14条 C．20条 D．27条
【变式3】（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【变式4】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A．五 B．六 C．七 D．八
【变式5】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为( )
A．9 B．8 C．6 D．5
考点13：多边形的内角和外角
典例13：（2023秋·全国·八年级专题练习）正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点P，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C． D．
【变式3】（2022春·福建泉州·七年级校考期末）正多边形每一个内角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【变式4】（2023秋·全国·八年级课堂例题）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照如图所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）

A．12米 B．16米 C．18米 D．30米
【变式5】（2023春·四川达州·八年级校考期末）一个多边形的内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
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专题01 三角形
考点类型
考点一遍过
考点1：三角形的稳定性
典例1：（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）

A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
【变式1】（2023秋·福建莆田·八年级期末）下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】A、图形是两个长方形，不具有稳定性，故本选项不符合题意；
B、图形是平行四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意；
C、两条对角线的两侧均是三角形，具有稳定性，故本选项符合题意；
D、图形下半部分是四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴连接四边形的一条对角线，即可得到两个三角形，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，利用数形结合的思想是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建福州·八年级校考开学考试）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性可得结论．
【详解】解：三角形具有稳定性；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，比较简单．
考点2：三角形的相关线段
典例2：（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：A、线段不是的高，不符合题意；
B、线段不是的高，不符合题意；
C、线段是的高，符合题意；
D、线段不是的高，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
【详解】解：因为G为的中点，
所以是的边上的中线，故①正确；
因为，
所以是的角平分线，是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以既是的边边上的高，也是的边上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选：C．
【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
【变式2】（2022秋·天津河东·八年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
【答案】C
【详解】钝角三角形有两条高在三角形外部，所以A错误；
每一个三角形都三条高，所以B错误；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形和钝角三角形只有一条高在三角形的内部，所以C正确；
锐角三角形的三条高的交点在三角形有内部，直角三角形的三条高的交点是直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
故选C.
【变式3】（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
【答案】B
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、只有锐角三角形三条高都在三角形内，故本选项不符合题意；
B、三角形三条中线相交于一点，正确，故本选项符合题意；
C、三角形的三条角平分线一定都在三角形内，故本选项不符合题意；
D、三角形的角平分线是线段，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
考点3：三角形中线的应用
典例3：（2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，是的中线，点D在线段上．若，，则的长是（ ）

A．7 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC＝6，DE＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据三角形中线定义得BE=EC=6，再由BD=BE-DE求解即可．
【详解】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6，
∴BE=EC=6，
∵ DE=2，
∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中线，熟知三角形的中线定义是解答的关键．
【变式2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，若点D、E分别为边、的中点，且的面积等于16，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点D、E分别为边、的中点依次求解即可．
【详解】解：∵点D为边的中点，
∴，
∴，
∵点E为边的中点，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
【变式3】（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E分别为的中点，点F在线段上，且，若的面积为．则的面积为___________．

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中线平分三角形面积求出，进而得到，再由，即可得．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
考点4：三角形的三边关系
典例4：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐一分析即得．
【详解】A、∵，∴不能组成三角形；
B、∵，∴能组成三角形；
C、∵，∴不能够组成三角形；
D、∵，∴不能组成三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
【变式1】（2022春·福建漳州·七年级校考阶段练习）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据构成三角形的条件结合三角形的轴小于13进行求解即可
【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；
所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，
再根据各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）下列3根小木棒中能摆成三角形的是（ ）
① ② ③ ④，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析，可得出答案．
【详解】①，能组成三角形；
②，能组成三角形；
③，不能组成三角形；
④，不能组成三角形；
故能摆成三角形的个数有个．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．掌握组成三角形的简便方法是较小的两条边的是否大于第三条边是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB=8，则另两边的长不可能的是（ ）
A．4，5 B．3，6 C．3，5 D．2，8
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：由AB=8，则有：
A、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
B、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故符合题意；
D、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
考点5：三角形三边关系的应用
典例5：（2022秋·福建福州·八年级统考期末）在中，已知两边长分别为3和6．若第三边长为奇数，则第三边的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．5或7
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为x，则，即，又因为第三边长为奇数，所以第三边长是5或7，问题可解．
【详解】解：由题意，令第三边为x，则，即，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长是5或7，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在中，线段，，则第三边的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：第三边的取值范围是，即，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【变式2】（2022春·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，
即1＜x＜7，
∵x为整数，
∴x的最大值为6．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．
【变式3】（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知a、b、c为三角形的三条边长，设，则m的值（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系可得，即，从而可判别．
【详解】解：a、b、c为三角形的三条边长，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系；熟练掌握三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
考点6：利用高线与角平分线求角
典例6：（2023秋·福建泉州·八年级期末）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则值为（　　）
A．1 B．1.2 C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】连接，则，依据，，代入计算即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∵于点E，于点F，
∴，，
又∵，，
∴，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算
【变式1】（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可判定①；根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
【详解】∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE=∠CAE＝=52°；
①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD=90°-40°=50°；
∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；
②正确；
∵F为BC的中点，
∴S△ABF＝S△ABC.
④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.
综上，正确的结论为①②④，共3个，故选C.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解决问题的关键.
【变式2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质得出的度数即可．
【详解】解：在中，，，
，
是的角平分线，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．也考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
【变式3】（2023秋·八年级课时练习）（垂线段在三角形内）如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，由外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和等于，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键．
考点7：直角三角板中的角度问题
典例7：（2023春·福建莆田·七年级统考期末）将一副三角板（，）如图摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角等知识点．掌握相关结论是解题的关键．
【变式1】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角板的特征得到特定角的度数，进一步利用外角和内角和定理分别计算出，，的度数，即可判断．
【详解】解：由三角板可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴角的大小为的是，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，以及三角板的特征，解题时要熟练根据这些性质逐步计算角的度数．
【变式3】（2022春·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋∠ACD的度数．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在△DBC中，∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
【变式4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）一副三角板如图所示放置，ABDC，∠CAE的度数为（　　）
A．45° B．30° C．15° D．10°
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，由三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠ACD＝15°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式5】（2022春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
考点8：三角形中的双角平分线模型
典例8：（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（ ）
A．42° B．40° C．38° D．35°
【答案】B
【分析】根据、分别是的外角和外角的平分线，得出，，根据，得出，根据，，得出，最后根据三角形的内角和，得出．
【详解】解：∵、分别是的外角和外角的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和领补角的定义求出．
【变式1】（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=125°，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．45°
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（　　）

A．30° B．35° C．50° D．85°
【答案】A
【分析】利用角平分线的定义，可得出，，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】∵平分，平分，平分，平分，
∴，．
在中，， ，，
∴，即，
∴，
∴．
在中，，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论．
【详解】解：∵和的平分线交于点，
∴．
∵，
∴
．
∵，
∴
．
同理可得：，
．．．
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．
【变式4】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，．
A．45° B．50° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】 ，分别是的外角，的角平分线
，
，分别是，的角平分线
，
同理，由于、分别是、的角平分线
，
假设，根据两直线平行，同旁内角互补得
即
整理得，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算、平行线的性质、三角形内角和，根据给出的角平分线得出和的关系是解题的关键．
【变式5】（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在中，，分别平分，且，分别平分的外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】，分别平分，分别平分的外角，可求出，根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，
∵，分别平分，分别平分的外角，
∴，，，，
∴，
同理，，
在四边形中，，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线，四边形内角和定理的综合，理解并掌握角平分线的性质，四边形内角和定理是解题的关键．
考点9：蝶形中的角度计算
典例9：（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求解即可.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解答本题的关键.
【变式1】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠F=90°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，设与交于点O，利用三角形内角和推出，再利用四边形内角和为推出，从而得到，从而得解．
【详解】连接，设与交于点O，

∵，
，
∴
又∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查四边形内角和与三角形的内角和，根据题意正确作出辅助线，从而得到是解题的关键．
【变式2】（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．
【详解】解：如图，，，
，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式3】（2023春·福建福州·七年级校考阶段练习）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角如法进一步截去，如图3，则图中的（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过图1和图2的推导，得到规律：每截去一个角相应的角度和会增加，即可得到答案．
【详解】解：如图1，，

如图2，
，

可见，每截去一个角相应的角度和会增加，
∴当截去5个角时相应的角度和增加了，
∴如图3，．
故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理、三角形外角的性质等知识，根据题意找到规律是解题的关键．
考点10：三角形外角定理（折叠）
典例10：（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在图①的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图②和图③可知：，即可在中，得到另一个关于、度数的等量关系式，联立两式即可求得的度数．
【详解】解：如图：

在中，
则；
根据折叠的性质知：，；
在中，则有：，
即；
，得，
解得．
故选：A
【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】解：根据折叠的性质有：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．、
【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，得到，结合代入计算即可．
【详解】解：因为，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·重庆涪陵·八年级校考期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，，
∵，，
∴，
∴平分，平分，
∴平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．
【变式4】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】．根据折叠的性质，得到，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．
【变式5】（2023春·七年级课时练习）如图，将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角之间的数量关系，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，解出即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，理清角之间的数量关系是解本题的关键．
考点11：直角三角形的性质
典例11：（2023春·河南焦作·九年级校考期中）如图，小明从文具店买了一把直尺，他突发奇想，想验证一下这把尺子的对边是否平行，于是他把直尺与一块三角板如图放置，用量角器测量和的度数，请问下列哪个关系可以说明直尺的对边平行(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，根据直角三角形的性质可得，根据邻补角即可得到，根据同位角相等，两直线平行，即可判断．
【详解】解：如图，

，，，
，
当时，有，
此时，即，
∴当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和直角三角形的性质，熟练运用平行线的判定方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在中，，是的角平分线，于点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角平分线的定义得．再由直角三角形得两锐角互余得，从而即可求解．
【详解】解：是的角平分线，
．
于点，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线得定义及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【变式3】（2023春·广西玉林·七年级统考期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分； ③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用平行线性质和角平分线定义得到，故①错误；利用直角三角形的性质求出，求出的度数，即可判断出，故②正确；利用平行线性质和直角三角形性质求出，故③正确；利用直角三角形性质求出，得出，故④错误．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，故①错误；
，
，
，
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，故④错误，
综上所述正确的有：②③，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线性质是解答本题的关键．
【变式4】（2023春·海南儋州·七年级统考期末）取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，若，则等于（ ）

A．100° B．108° C．118° D．120°
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折变换的性质可得，然后利用平角等于180 列式计算即可得解．
【详解】∵，纸片是长方形，
∴，
由翻折的性质得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
【变式5】（2023春·广东佛山·七年级校考期中）是边上的高，平分交边于E，，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
【详解】解：平分，
，
是边上的高，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
考点12：多边形的边数
典例12：（2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
【变式1】（2022春·广西钦州·七年级阶段练习）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　）
A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm
【答案】B
【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．
【详解】由图形可得出：
该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），
故该主板的周长是96mm，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．
【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（ ）
A．18条 B．14条 C．20条 D．27条
【答案】D
【分析】先根据从n边形的一个顶点可以画条对角线确定该多边形的边数n，然后再根据一个多边形对角线总共有条解答即可．
【详解】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴，
∴，
∴则该多边形对角线一共有（条）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数的公式，掌握从n边形的一个顶点可以画条对角线和一个多边形对角线总共有条是解答本题的关键．
【变式3】（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】B
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得：，
即这个多边形是八边形，
故选∶B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形．
【变式4】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A．五 B．六 C．七 D．八
【答案】B
【分析】过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可．
【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线，
∴这个多边形的边数为；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．
【变式5】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为( )
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】B
【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算．
【详解】解：从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，
，，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形．
考点13：多边形的内角和外角
典例13：（2023秋·全国·八年级专题练习）正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点P，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据正多边形的内角和求出，，进而求出 ，再根据四边形的内角和求出答案.
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴.
∵五边形为正五边形，
∴，，
∴.
∵四边形的内角和为，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
【变式1】（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交于点F，

∵，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴°，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可．
【详解】解：，
，
则这个多边形的边数是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
【变式3】（2022春·福建泉州·七年级校考期末）正多边形每一个内角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】B
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【详解】解：正多边形的每一个内角都等于，
每个外角是，
这个多边形的边数是，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是5条．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和及对角线等知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．
【变式4】（2023秋·全国·八年级课堂例题）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照如图所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）

A．12米 B．16米 C．18米 D．30米
【答案】C
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，边长为1，一个外角度数为，根据正多边形的外角和为，求出边数，即可求出总路程．
【详解】解：由题意得：机器人所走路线是是正多边形，边长为1，一个外角度数为，
∴正多边形的边数为：，
∴机器人所走的总路程为：米；
故选：C．
【点睛】本题考查程序流程图与正多边形的计算．熟练掌握正多边形的外角和是，是解题的关键．
【变式5】（2023春·四川达州·八年级校考期末）一个多边形的内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用多边形的内角和与外角和定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得，
解得，
即这个多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和， 边形的内角和为且为整数；多边形的外角和等于，熟记是解题的关键．
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