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专题02 全等三角形
考点类型
考点一遍过
考点1：全等形的概念
典例1：（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考开学考试）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）下列四个图形是全等图形的是（　　）
A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（3）和（4）
【变式3】（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学周测）下列图形中，和所给图形全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
考点2：全等形的应用
典例2：（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（ ）

A．45° B．70° C．80° D．90°
【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【变式2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【变式4】（2022秋·北京西城·八年级校考期中）作图题
将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．
【变式5】（2023春·全国·七年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．
考点3：全等三角形的性质——求线段
典例3：（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，则的周长为（ ）

A．22 B．23 C．24 D．26
【变式1】（2022秋·四川甘孜·八年级统考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（　　）
A．18 B．24 C．26 D．32
【变式2】（2022秋·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB
【变式3】（2022·全国·八年级统考假期作业）如图，△ABC≌△BAD，AC与BD是对应边，BC=10 cm，DE=2 cm，那么AE的长是
A．8 cm B．10 cm
C．2 cm D．不能确定
考点4：全等三角形的性质——求角
典例4：（2023春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）如图，，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·河北石家庄·八年级校联考开学考试）如图所示两三角形全等，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，线段的延长线过点E，与线段交于点F，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
考点5：网格中的全等三角形问题
典例5：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都相等，网格中的点均是网格线的交点，若，则点是图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式1】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，网格中有△ABC及线段DE，在网格上找一点F（必段在格点上），使△DEF与△ABC全等，这样的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　)
A．585° B．540° C．270° D．315°
【变式3】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
考点6：全等三角形的判定——选择条件
典例6：（2023秋·江苏·八年级校考周测）在和中，①；②；③；④；⑤；⑥．下列条件中，不能保证的是（ ）．
A．①②③ B．②③⑥ C．②④⑤ D．①③⑤
【变式1】（2022秋·山东德州·八年级统考期末）下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF
C．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D．AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【变式2】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图，是直线外两点，且，要得到，可以添加的条件有：①；②；③；④；⑤，其中正确的（ ）
A．①或②或③ B．②或③或④
C．②或③或⑤ D．①或④或⑤
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
考点7：全等三角形的判定——判定依据
典例7：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，垂足为，，，则可得到，理由是（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级校考开学考试）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，，，，点B在线段上，，能证明的理由是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【变式4】（2023春·河北保定·七年级统考期末）一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1所示，他告诉小明，我在距树底端B点a米的C处，测得，你能测出的高度吗？
小明经过一番思考：“我若将，放倒在操场上不就可以测量了吗！”
于是他在操场上选取了一个合适的地方，画出一个直角三角形，如图2，使，米，．
小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了．
同学甲：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学乙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断．
你认为（ ）

A．甲、乙、丙的判断都正确 B．甲、乙的判断都正确
C．只有乙的判断正确 D．只有丁的判断正确
【变式5】（2023·全国·八年级专题练习）如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作交的延长线于点．线段的长即为，两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是(　　)
A． B． C． D．
考点8：全等三角形判定与性质综合
典例8：（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，，相交于点，且，．求证：．

【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式2】（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求DE的长．
【变式3】（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，已知点在第一象限的角平分线上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：

(1)点P的坐标为多少？
(2)的值为多少？
【变式4】（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【变式5】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，，，E、F 分别是、 的中点，求证：．

【变式6】（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，在中，是边上的中线，交于点D．

(1)如图①，延长到点E，使，连接．求证：；
(2)若，则中线的取值范围是多少？请说明理由
【变式7】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
考点9：全等三角形判定与性质——动点问题
典例9：（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由；
(3)若点的运动速度不相等，与全等时，求a的值．
【变式1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图1，如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．

(1)______cm；（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，？并说明理由；
(3)如图2，当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．
(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？
【变式3】（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．

(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
考点10：全等三角形判定与性质——辅助线问题
典例10：（2023秋·八年级课时练习）如图为一风筝骨架：已知，，求证：．
【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，，、交于点，求证：．

【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
(1)如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；
【理解与运用】
(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；
(3)如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．

【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
【变式4】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

【变式6】（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）
【变式7】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
考点11：角平分线的性质
典例11：（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
考点12：角平分线的性质与判定综合
典例12：（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．

【变式2】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
【变式3】（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
【变式4】（2023春·八年级单元测试）如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【变式6】（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
【变式7】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
考点13：角平分线的性质与全等综合
典例13：（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)用表示的大小；
(3)求证：平分．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．
【变式2】（2023春·河北保定·八年级校考期中）如图，交延长线于，于，，．
(1)求证：平分；
(2)直接写出与之间的数量关系．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【变式4】（2023春·八年级课时练习）如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且满足．
(1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【变式5】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．
(1)证明：；
(2)求的度数；
(3)连接，求证：平分．
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专题02 全等三角形
考点类型
考点一遍过
考点1：全等形的概念
典例1：（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案．
【详解】解：A、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考开学考试）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义和性质，即可得出答案．
【详解】解：∵全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；
全等图形的性质：全等图形的形状相同，大小相等
∴A选项大小不相等，不合题意；
B选项大小不相等，不合题意；
C选项形状相同，大小相等，是全等图形，符合题意；
D选项形状不同，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查全等图形的知识，解题的关键是掌握全等图形定义和性质．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）下列四个图形是全等图形的是（　　）
A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（3）和（4）
【答案】C
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
由图可得，（2）、（3）、（4）图中的圆形在中间的三角形上，（1）的圆在一边，所以，排除（1）；
又（2）、（3）、（4）图中的圆，很明显（3）图中的圆小于（2）、（4）中的圆；所以，排除（3）；
所以，能够完全重合的两个图形是（2）、（4）．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形，全等形的形状相同、大小相等．
【变式3】（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学周测）下列图形中，和所给图形全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据全等图形的定义只需找出与原图形大小相等，形状相同的图形即可，A、B、C选项均不符合题意，只有D符合题意，D中的图形相对于原图形顺时针作了180°的旋转变换.
故选D.
考点2：全等形的应用
典例2：（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（ ）

A．45° B．70° C．80° D．90°
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为．如图所示：

故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关几何结论是解题关键．
【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【答案】见解析
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【答案】见解析
【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．
【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．
【变式4】（2022秋·北京西城·八年级校考期中）作图题
将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．
【答案】见解析
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．
【详解】解：如图所示，（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．
【变式5】（2023春·全国·七年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
【详解】共有个小正方形，
被分成四个全等的图形后每个图形有，
如图所示：
，
【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．
考点3：全等三角形的性质——求线段
典例3：（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，则的周长为（ ）

A．22 B．23 C．24 D．26
【答案】C
【分析】直接利用全等三角形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·四川甘孜·八年级统考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（　　）
A．18 B．24 C．26 D．32
【答案】C
【分析】根据平移的性质可得：DE=AB=8，，OE=AB-DO=5，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴DE=AB=8，，
∵平移距离为4，
∴BE=4，
∵AB＝8，DO＝3，
∴OE=AB-DO=5，
∴阴影部分的面积等于
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——平移，熟练掌握平移前后图形的大小形状完全相同是解题的关键．
【变式2】（2022秋·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB
【答案】D
【分析】根据折叠前后两图形全等，逐一对选项进行判断即可．
【详解】解：∵ △CDB折叠得△DEB
∴ △CDB≌△EDB
∴ BC=BE，CD=DE
由图，AD不一定等于BD，故A不正确；
由BE=BC，AC不一定等于BC，则BE不一定等于AC，故B不正确；
由三角形三边关系，ED＋EB>DB，故C不正确；
由BC=BE，AE＋CB=AE＋BE=AB，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了折叠前后的两个图形是全等图形，利用全等三角形的性质是解决本题的关键．
【变式3】（2022·全国·八年级统考假期作业）如图，△ABC≌△BAD，AC与BD是对应边，BC=10 cm，DE=2 cm，那么AE的长是
A．8 cm B．10 cm
C．2 cm D．不能确定
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质可得AD=BC，在根据 AE＝AD－DE求出即可.
【详解】∵△ABC≌△BAD，
∴BC= AD＝10cm，
∵DE＝2cm，
∴AE＝AD－DE＝8cm.
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的特点，熟练掌握全等三角形的性质是本题解题的关键.
考点4：全等三角形的性质——求角
典例4：（2023春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）如图，，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质可得，，根据三角形内角和定理求得，结合，即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式1】（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用互补的关系求出,再利用字模型及全等性质解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴，，
∴，
由三角形内角和为可知：，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够利用全等的性质求出角度是解题关键．
【变式2】（2023秋·河北石家庄·八年级校联考开学考试）如图所示两三角形全等，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与的两边长都为b与c，
∴由全等三角形的性质，可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，线段的延长线过点E，与线段交于点F，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的内角和定理求得；然后由全等三角形的对应角相等得到．则结合已知条件易求的度数；最后利用的内角和是180度和图形来求的度数．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
考点5：网格中的全等三角形问题
典例5：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都相等，网格中的点均是网格线的交点，若，则点是图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得到，然后在网格中对点Q的位置进行比对即可．
【详解】∵
∴
因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，
故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．
所以点Q是图中点D的位置．如下图．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．
【变式1】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，网格中有△ABC及线段DE，在网格上找一点F（必段在格点上），使△DEF与△ABC全等，这样的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据网格的特点，以及线段长度可得DE与BC是对应边，然后画出图形即可．
【详解】解：如图所示：这样的点有4个;
故选D
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　)
A．585° B．540° C．270° D．315°
【答案】A
【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=180°，∠2+∠6=180°，∠3+∠5=180°，∠4=45°.
【详解】解：由图可知，∠1+∠7=180°．
同理得，∠2+∠6=180°，∠3+∠5=180°．
又∠4=45°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=585°．
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键.
【变式3】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】
根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．
考点6：全等三角形的判定——选择条件
典例6：（2023秋·江苏·八年级校考周测）在和中，①；②；③；④；⑤；⑥．下列条件中，不能保证的是（ ）．
A．①②③ B．②③⑥ C．②④⑤ D．①③⑤
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：A、由可判断，不符合题意；
B、由可判断，不符合题意；
C、由可判断，不符合题意；
D、两边对应相等及其夹角对应相等，才有三角形全等．不是夹角．故不能得出，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟记定理内容是解题关键．
【变式1】（2022秋·山东德州·八年级统考期末）下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF
C．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D．AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断.
【详解】如图：
A. 没有边的参与，不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B. 根据SSA不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C. 根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
D.∠A的对应角应该是∠D，故不能判断，本选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解决本题的关键，在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定定理的条件里必须有边，且没有边边角（SSA）这一定理.
【变式2】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图，是直线外两点，且，要得到，可以添加的条件有：①；②；③；④；⑤，其中正确的（ ）
A．①或②或③ B．②或③或④
C．②或③或⑤ D．①或④或⑤
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判定即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
又∵ ，
∴若添加①，是边边角，无法证明，故不符合题意；
若添加②，是边角边，可证明，故符合题意；
若添加③，是角角边，可证明，故符合题意；
若添加④，无法证明，故不符合题意；
若添加⑤，角边角，可证明，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据∠ABC=∠ABD与公共边AB，添加合适的条件使其符合全等三角形的判定方法即可.
【详解】由题意可知∠ABC=∠ABD，AB=AB，
若AC=AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故①正确；
若BC=BD，SSA不能证明两三角形全等，故②错误；
若∠C=∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故③正确；
若∠CAB=∠DAB，则△ABC≌△ABD（ASA），故④正确；
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）.
考点7：全等三角形的判定——判定依据
典例7：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，垂足为，，，则可得到，理由是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。
【详解】解：∵，
∴.
在RT和RT中，
,
∴(HL)。
故选.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定两个三角形全等是解决此题的关键。
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级校考开学考试）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【详解】解：由图形可知：三角形有两角和它们的夹边是完整的，
所以可以利用“角边角（）”定理画出完全一样的三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
【变式2】（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，，，，点B在线段上，，能证明的理由是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直得到直角，根据余角的性质得到，，再根据证明即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
∵，
，
同理：，
在与中，
，
，
故选A．
【点睛】此题考查的知识点是全等三角形的判定，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形三边之间的数量关系逐个判断即可求解．
【详解】解：A、∵，，，
根据判定三角形全等的方法可得，能唯一画出．选项符合题意；
B、∵，，，
两边及其中一边的对角确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出，选项不符合题意；
C、∵，，，，
∴，
∴不能画出，选项不符合题意；
D、∵， ，
∵的位置不固定，只有一边的长度和一角的度数确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出，选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系． 证明三角形全等的方法有：，，，，（直角三角形）．三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【变式4】（2023春·河北保定·七年级统考期末）一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1所示，他告诉小明，我在距树底端B点a米的C处，测得，你能测出的高度吗？
小明经过一番思考：“我若将，放倒在操场上不就可以测量了吗！”
于是他在操场上选取了一个合适的地方，画出一个直角三角形，如图2，使，米，．
小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了．
同学甲：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学乙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断．
你认为（ ）

A．甲、乙、丙的判断都正确 B．甲、乙的判断都正确
C．只有乙的判断正确 D．只有丁的判断正确
【答案】C
【分析】根据即可判断．
【详解】解：在和中，，
∴，故乙的判断正确；
只有，不能由和判断出，故甲、丙的判断都是错误的；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理：①两边夹角对应相等，②两角夹边对应相等，③三边对应相等，④两角及一边对应相等，⑤直角三角形中，直角边和斜边分别对应相等．
【变式5】（2023·全国·八年级专题练习）如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作交的延长线于点．线段的长即为，两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可判定三角形全等，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
)．
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，在测量长度或者角度问题中，如果不能直接到达，可以构造全等三角形，利用对应边(角)相等，来解决问题．
考点8：全等三角形判定与性质综合
典例8：（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，，相交于点，且，．求证：．

【答案】见解析
【分析】连接，证明，推出，再利用证明，即可证明结论成立．
【详解】证明：连接，

在和中，，
∴，
∴，
在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，根据“边角边”的判定方法可证，由此即可求证；
（2）根据可知，由此可求出的度数，由（1）的结论可求出，，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵将线段绕点旋转到的位置，
∴，
在中，
，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴在中，，
由（1）可知，，且，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，外角和性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）求证，进而运用求证；
（2）由三角形全等得，，所以．
【详解】（1）解：∵，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴
（2）解：∵
∴，．
∵，，
∴，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；运用全等三角形求证线段相等是解题的关键．
【变式3】（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，已知点在第一象限的角平分线上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：

(1)点P的坐标为多少？
(2)的值为多少？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）作轴于E，轴于F，由角平分线的性质得出，得出方程，解方程求出，即可得出P点坐标；
（2）由证明，得出，则．
【详解】（1）解：作轴于E，轴于F，如图所示：
根据题意得：，

∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的值为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
【变式4】（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【变式5】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，，，E、F 分别是、 的中点，求证：．

【答案】见详解
【分析】连接，先证明，即有，进而可得，再证明，即可作答．
【详解】连接，如图，

∵，
即在和中，，，
∴，
∴，
∵E、F 分别是、 的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．
【变式6】（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，在中，是边上的中线，交于点D．

(1)如图①，延长到点E，使，连接．求证：；
(2)若，则中线的取值范围是多少？请说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先由三角形中线的定义得到，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围即可求出的取值范围．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，证明是解题的关键．
【变式7】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由此可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
考点9：全等三角形判定与性质——动点问题
典例9：（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由；
(3)若点的运动速度不相等，与全等时，求a的值．
【答案】(1)
(2)相等，理由见解析
(3)
【分析】（1）先根据路程=速度×时间，得出，即可根据；
（2）根据题意得出，，根据中点的定义得出，即可求证，得出，根据平角和三角形内角和得出，，可得出结论；
（3）根据点的运动速度不相等，得出，则，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，运动时间为t秒，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
当时，，，
∵，点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵点的运动速度不相等，
∴，
根据题意可得：，
∵与全等，，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，解题的关键的掌握全等三角形的判定方法有，全等三角形对应角相等，对应边相等．
【变式1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图1，如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．

(1)______cm；（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，？并说明理由；
(3)如图2，当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，；
(3)存在，的值为2或使得与全等
【分析】（1）按照行程问题中的数量关系，用含的式子表示、的长即可；
（2）由长方形的性质得，，则，列方程求出的值即可；
（3）与全等分为两种情况，即，或，，先根据点的运动距离求出时间，再根据点的运动时间和距离求出点的运动速度．
【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：四边形是长方形，
，．
如图1，当时，，

，
解得；
当时，；
（3）解：①如图2，当，时，，

，
，
由，得，
，
解得；
②如图3，当，时，，

，
，
解得；
，
，
解得．
综上所述，或．
【点睛】此题重点考查长方形的性质、全等三角形的判定与性质、行程问题中的数量关系和列方程求解速度和时间等知识和方法，第（3）题要分类讨论，且对结果进行必要的检验，以免丢解或得出不符合题意的值．
【变式2】（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．
(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？
【答案】(1)①全等，理由见详解；②
(2)经过后，点与点第一次在边上相遇
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等；②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据“路程速度时间”公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长．
【详解】（1）解：①全等，理由如下，
∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴；
②假设，且，
∴，
∵，，
∴，，
∴点，点运动的时间，
∴点的速度为：，
∴当点的运动速度为时，与全等，
故答案为：．
（2）解：设经过后点相遇，
∴，解得，，
∴点共运动了，
∵，
∴点，点在边上相遇，
∴经过后，点与点第一次在边上相遇．
【点睛】本题主要考查运用“路程速度时间”的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键．
【变式3】（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．

(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴；
当时，点P在线段上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
①当点P在上时，

，
∴，
；
②当点P在上时，

过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：或；
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，

，
∴
解得 ；
②当点在上，点在上，时，

，
∴，
解得 ；
③当点P在上，点在上，时，

，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得 ；
④当点P在上，点Q在上，时

，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得 ；
∴运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
考点10：全等三角形判定与性质——辅助线问题
典例10：（2023秋·八年级课时练习）如图为一风筝骨架：已知，，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，即可根据证明，即可求证．
【详解】证明：连接．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握三条边都相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等．
【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，，、交于点，求证：．

【答案】见解析
【分析】连接，易证，由全等三角形的性质可得，结合已知条件进而可再证明，继而可得．
【详解】证明：如图，连接，

在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的各种判定方法是证题的关键，本题的难点在于证明两次三角形全等．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
(1)如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；
【理解与运用】
(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；
(3)如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．

【答案】(1)≌
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）≌，根据全等三角形的判定即可得到．
（2）根据（1）中的辅助线作法，延长至点Q，使，再证明≌，得到，再在中，利用三边关系进行计算即可．
（3）根据（1）中辅助线作法，延长至点M，使，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）是的中线，
,
在和中，
，
≌ ．
（2）如图2，延长至点Q，使，连接，

是的中线，
在和中，
，
≌ ,
，，
在中，
即，
∴．
（3）如图3，延长至点M，使，连接，

∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴≌ ，
∴，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴≌ ，
∴.
【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准确的作出辅助线是本题难点．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
【详解】（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
【变式4】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；
（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证
，再证，最后根据边的关系即可证明；
【详解】解：（1）
证明：延长到，使得
连接
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
证明：延长到，使得
连接
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式6】（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式7】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】（1）①如图1，
延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
考点11：角平分线的性质
典例11：（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
综上，正确的个数的3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；作OG⊥AC于G，求得OG=OD=1，根据三角形的面积的计算可证得②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，根据三角形的面积可证得④错误．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，①错误；
作OG⊥AB于G，
∵BO是∠ABC的平分线，OG⊥AC，OD⊥BC，OD=1，
∴OG= OD=1，
∵AB=4，
∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确；
在AB上取一点H，使BH=BE，
∵∠C=60°，
由①知∠AOB=90°+∠C，
∴∠AOB=90°+30°=120°，
∴∠BOE=∠AOF=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO=∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OG=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
∴S△ABC=×AB×OG+×AC×OM+×BC×OD=（AB+AC+BC） a=ab，④错误．
综上，②③正确，共2个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，

根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键．
考点12：角平分线的性质与判定综合
典例12：（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．

【答案】见解析
【分析】作，的延长线，根据条件证明即可得，从而证明．
【详解】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F，

∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线的判定， 掌握角平分线的判定定理和全等三角形的判定与性质是关键．
【变式2】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：点P到三边的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
,
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
【变式3】（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由证明得出，，①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，③正确；作于，于，则，即可判定，得出，由角平分线的判定方法得，假设平分，则可求出，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故④错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
即，
故①②正确；
由三角形的外角性质得：
，
，
，
故③正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
，
，
平分，
，
假设平分，则，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
，
而，故④错误；
正确的个数有个；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式4】（2023春·八年级单元测试）如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质得出∠ABE＝∠FBC，进而证明△ABE≌△FBC（SAS），即可判断①，继而证明△ABM≌△FBN（ASA），即可判断②，由△ABE≌△FBC，得出∠AEB＝∠FCB，可得∠ADF＝60°，即可判断④，作BP⊥AD，BQ⊥CD，垂足分别为，证明△BPM≌△BQN（ASA），得到BP＝BQ，根据角平分线的判定即可判断⑤．
【详解】解：∵△ABF和△BCE均为等边三角形，
∴AB＝FB，BC＝BE，∠ABF＝∠CBE＝60°，
∴∠MBN＝180°﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°，
∵∠ABE＝∠ABF+∠MBN＝60°+60°＝120°，
∠FBC＝∠CBE+∠MBN＝60°+60°＝120°，
∴∠ABE＝∠FBC，
在△ABE和△FBC中，
，
∴△ABE≌△FBC（SAS），故①正确；
∵△ABE≌△FBC，
∴∠BAM＝∠BFN，
在△ABM和△FBN中，
，
∴△ABM≌△FBN（ASA），
∴AM＝FN，BM＝BN，故③正确；
∵∠MAB<60°，∠ABF=60°，
∴∠AMB≠∠ABF，
∴AB≠AP，
∴AB≠FN，故②错误，
∵△ABE≌△FBC，
∴∠AEB＝∠FCB，
∠ADF＝∠DAC+∠DCA＝∠DAC+∠AEB＝∠CBE＝60°，故④正确；
作BP⊥AD，BQ⊥CD，，垂足分别为，
∴∠BPM＝∠BQN＝90°，
∵△ABM≌△FBN，
∴BM＝BN，∠PMB＝∠QNB，
在△BPM和△BQN中，
，
∴△BPM≌△BQN（ASA），
∴BP＝BQ，即点B到AD和DC的距离相等，
∴BD是∠ADC的角平分线，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，综合运用以上知识是解题的关键．
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
【变式6】（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，

∵，平分，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【变式7】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作于，如图，

又∵平分，，
∴，
即点到直线的距离为8cm；
（2）证明：∵平分，且于点，，
∴，
又，
∴，
∴点在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．
考点13：角平分线的性质与全等综合
典例13：（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)用表示的大小；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）用证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据三角形外角的性质得，再由可得，即可得到结论；
（3）作于，于，则，利用证明，由全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
（2）解：由三角形的外角性质得：，
由（1）得，
，
，
（3）证明：作于，于，如图所示，

则，
在和中，
，
，
，
于，于，
平分，
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）先说明，根据推出两三角形全等即可；
（2）过点分别作于点，于点，根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线性质得出即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：．
证明：过点分别作于点，于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴平分，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．证明三角形的全等是解题的关键．
【变式2】（2023春·河北保定·八年级校考期中）如图，交延长线于，于，，．
(1)求证：平分；
(2)直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据，即可求出答案．
【详解】（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）解：．理由如下：
由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
【变式4】（2023春·八年级课时练习）如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且满足．
(1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不改变，其值为4
【分析】（1）要求点P的坐标，只需求出的长度，如图1，求证，即可得到 ；
（2）要证，只需证明平分，过O分别作于M点，作于N点，如图2，只需证明、即可；
（3）连接，如图3，求证，从而有，由此可得
．
【详解】（1）解：（1）如图1，
，
，
，
则，
即，
，
，
在与中，
，
，
，
故点P的坐标为；
（2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图2，
在四边形中，，
在与中，
，
，
，
，
平分，
；
（3）不改变，其值为4．理由如下：
连接，如图3
，D为的中点，
，，
，
即
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
【变式5】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．
(1)证明：；
(2)求的度数；
(3)连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)60°
(3)见解析
【分析】（1）由△ABD和△BCE都是等边三角形得BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，所以∠ABE＝∠DBC＝60° ∠DBE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DBC，得AE＝DC；
（2）由△ABE≌△DBC得∠BAE＝∠BDC，因为∠BAD＝∠BDA＝60°，所以∠HAD＋∠HDA＝＝120°，所以∠AHD＝60°；
（3）作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，即可证明△BAF≌△BDG，则BF＝BG，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”即可证明HB平分∠AHC．
【详解】（1）证明：如图1，
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝60° ∠DBE，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC．
（2）解：如图1，由（1）得△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴∠HAD＋∠HDA
＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA
＝∠HAD＋∠BAE＋∠BDA
＝∠BAD＋∠BDA
＝120°，
∴∠AHD＝180° （∠HAD＋∠HDA）＝60°．
（3）证明：如图2，作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，
则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，
由△ABE≌△DBC得∠BAF＝∠BDG，
在△BAF和△BDG中，
，
∴△BAF≌△BDG（AAS），
∴BF＝BG，
∴点B在∠AHC的平分线上，
∴HB平分∠AHC．
【点睛】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知识，证明三角形全等是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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