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专题03 轴对称
考点类型
考点一遍过
考点1：轴对称图形的识别
典例1：（2022·辽宁抚顺·九年级统考学业考试）下列四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（　　）
A． B．
C． D．
考点2：生活中的轴对称
典例2：（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
考点3：轴对称的性质与应用
典例3：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，与关于直线对称，为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上
【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，和关于直线对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④直线和的交点不一定在l上，正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
考点4：线段垂直平分线的应用
典例4：（2023·山东济南·校考三模）如图，在中，，，分别以边A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B． C．9 D．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．的平分线上任意某点处 B．线段的垂直平分线上任意某点处
C．的平分线和线段AB的交点处 D．的平分线和线段垂直平分线的交点处
【变式2】（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（ ）

A．距离A较近 B．距离B较近
C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同
【变式4】（2023秋·八年级课时练习）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（ ）

A． B．
C．垂直平分 D．点与点关于直线对称
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ）

A． B．和相互垂直平分
C．且 D．且平分
【变式6】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
【变式7】（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）

A．2 B．1 C．4 D．3
【变式8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．若4，的周长为24，则的周长为（ ）

A．12 B．16 C．18 D．20
考点5：坐标系中的轴对称——求坐标
典例5：（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．0
【变式1】（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）平面直角坐标系中的点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知．与A关于直线对称．则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点6：轴对称变换——坐标规律
典例6：（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，点的纵坐标为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1】（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，沿着“…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为 ···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·河南·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，如图2，在射线上取点F，连接，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　）

A．10 B．15 C．21 D．28
考点7：轴对称变换——作图
典例7：（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣1，3）．
（1）请你在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系并标出原点；
（2）写出点A的坐标，并作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，然后写出A′，B′，C′的坐标；
（3）小芳在（2）中的操作时来了灵感，并发现了其中的规律：若将（2）中作轴对称图记作第1次操作（变换），那么从△ABC开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2021次变换后所得的坐标是_______（请直接写出坐标）．
【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中有一个，顶点，，.

(1)将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，作出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积是 .
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若和关于x轴成轴对称，画出，点的坐标为______；
(2)在y轴上求作一点P，使得的值最小，请在图中画出P点．
【变式3】（2023秋·江苏淮安·七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上.

(1)请在图中作出关于直线l成轴对称
(2)在直线l上找一点P，使得最大.
考点8：网格中的轴对称设计
典例8：（2023春·河北保定·七年级统考期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（ ）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）图1，图2均是由大小相等的的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
考点9：最短路径问题——将军饮马
典例9：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．10 D．12
【变式1】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·山西运城·七年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．
B．
C． D．
【变式3】（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）

A． B． C． D．
【变式4】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．
考点10：等腰三角形的性质——求角、周长
典例10：（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接．若，，则（ ）

A．65° B．60° C．55° D．45°
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）如图，已知，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，已知，则（　　）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．16
【变式5】（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在中，BD、CD分别平分、，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若，，则线段EF的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式6】（2023春·八年级课时练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点A落在点处，与交于点，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【变式7】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形，连接，作垂直于E，若，，的度数为（ ）

A． B． C． D．
考点11：等腰三角形的性质——三线合一
典例11：（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．

【变式1】（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在的边上，．

(1)若，求证：；
(2)若，F为的中点，如图②，求证：．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，在中，平分，于点E，于点F，试说明与的关系．
【变式4】（2023春·福建三明·八年级统考期中）命题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.请你依据所给图形，写出已知，求证，并证明它是定理.
已知：______
求证：______
证明：
【变式5】（2022秋·新疆阿勒泰·八年级校考期末）如图，在中，平分线AD与的平分线相交于点E，过点E向AB作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由
【变式6】（2022秋·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【变式7】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．
（1）如图①，求证：AD平分∠BAC；
（2）如图②，连接BC，延长AD交BC于点E．求证：AE⊥BC．
考点12：等腰三角形的判定与性质——平行+角平分
典例12：（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；
③的周长等于与的和；④．
其中正确的有（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式1】（2022秋·山东德州·七年级阶段练习）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．29° B．151° C．122° D．109°
【变式2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是( )
①、都是等腰三角形；②；③的周长为；④．
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【变式3】（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，的两个内角的平分线，相交于点，过点作分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2023·浙江嘉兴·校考一模）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【变式5】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点13：等边三角形的性质——30°角直角三角形
典例13：（2023春·福建三明·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，平分，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点．若，则的长为( )

A． B． C． D．
【变式2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式4】（2022秋·福建莆田·八年级校考期末）在中，，斜边AC的长为10，则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．10 D．5
【变式5】（2022秋·福建福州·八年级校考期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点14：等边三角形的判定与性质综合
典例14：（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图（1），在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为．

(1)当　　　　　时，；
(2)当时，求出使的值；
(3)当时，
①是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②设与交于点，探索：与的关系，并说明理由．
【变式1】（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边的延长线上，线段，的垂直平分线交于点E，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)求与之间的数量关系．
【变式2】（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，点在等边的外部，为边上的一点，，交于点，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【变式3】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)点D在的延长线上，点M在的平分线上，连接，且．
①求证：是等边三角形；
②的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【变式4】（2022秋·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【变式5】（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，点是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？(直接写出答案，一个即可）．
考点15：等腰与等边的手拉手模型
典例15：（2023·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图（1）所示在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D、E分别是AB和AC上两点，且AD＝AE，连接DE，现将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度，得图（2）．
（1）证明：CD＝BE；
（2）若直线CD与直线BE相交于点M，则∠CMB的度数；
（3）如图（3）若将CD、BE分别延长至F、G，使DF＝CD，EG＝BE，猜想AF与AG的数量关系、∠FAG与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
【变式4】（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边中，点，分别在，边上，．

(1)若将图1中的沿射线的方向平移到的位置，如图2，则的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的绕点逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗 （不需说明理由）
②延长交于点，则的度数为______．
【变式5】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．

(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【变式6】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
【变式7】（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）如图，在中，，在中，，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接．

(1)请直接写出和的形状．
(2)求证：．
(3)求的度数．
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专题03 轴对称
考点类型
考点一遍过
考点1：轴对称图形的识别
典例1：（2022·辽宁抚顺·九年级统考学业考试）下列四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“轴对称图形”的定义进行分析判断即可.
【详解】解：A选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，符合题意；
C选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意.
故选B.
【点睛】熟记“轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线折叠，若直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形”是解答本题的关键.
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，由轴对称图形的概念不难判断是轴对称图形的是：草．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
B、该主体建筑的构图找不到对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
C、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
D、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．关键是能否找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合．
考点2：生活中的轴对称
典例2：（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
【变式1】（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

该球最后落入2号袋．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2020÷6=336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，
∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
考点3：轴对称的性质与应用
典例3：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，与关于直线对称，为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质即可解答．
【详解】解：∵与关于直线对称，为上任一点，
又∵对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，
∴，
∴是等腰三角形，选项A正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，
∴垂直平分，选项B正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应的角、线段都相等，
∴与是全等三角形，周长也必然相等，选项C正确，不符合题意；
∵直线、关于直线对称，因此交点一定在上．
∴选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用．解题的关键是掌握轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，和关于直线对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④直线和的交点不一定在l上，正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据成轴对称的两个图形的性质来进行解答即可得出答案．
【详解】解：根据轴对称性可得：；；直线l垂直平分；线和的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，共3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，，然后利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，与关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长计算方法即可解答．
【详解】解：∵点，分别是点P关于，的对称点，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等．
考点4：线段垂直平分线的应用
典例4：（2023·山东济南·校考三模）如图，在中，，，分别以边A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，求出，利用含30度角直角三角形三边的关系求，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和含30度角直角三角形的性质．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．的平分线上任意某点处 B．线段的垂直平分线上任意某点处
C．的平分线和线段AB的交点处 D．的平分线和线段垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．
【详解】解：发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，
发射塔应建在线段垂直平分线上．
发射塔到两条高速公路，的距离相等，
发射塔应建在的平分线上．
发射塔应建在的平分线和线段垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式2】（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形及垂直平分线的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A：由图像可得，，可得，不符合题意，
B：由图像可得，，可得，不符合题意，
C：由图像可得，，可得，不符合题意，
D：由图像可得，，可得，符合题意，
故选D；
【点睛】本题考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（ ）

A．距离A较近 B．距离B较近
C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同
【答案】D
【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，
∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式4】（2023秋·八年级课时练习）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（ ）

A． B．
C．垂直平分 D．点与点关于直线对称
【答案】C
【分析】先证明，根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的判定及性质可依次判断各选项的正确性．
【详解】解：在和中
∴．
∴， ．
故选项A，B不符合题意．
∵，，
∴为线段的垂直平分线，即垂直平分．
∴点与点关于直线对称．
故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质，牢记全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键．
【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ）

A． B．和相互垂直平分
C．且 D．且平分
【答案】D
【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题．
【详解】解：是由翻折得到，
，，
，平分，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型．
【变式6】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可．
【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意；
B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意；
C、如图，

，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意；
D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了垂直平分线的概念与判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念与判定方法．
【变式7】（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）

A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长，
∵，
∴的周长为2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．若4，的周长为24，则的周长为（ ）

A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据已知条件得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为24，则
∴
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
考点5：坐标系中的轴对称——求坐标
典例5：（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．0
【答案】C
【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此求出m和n，再代入求值．
【详解】解： 与关于轴对称，
，
解得，
，
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——轴对称，解二元一次方程组，解题的关键是掌握轴对称变形的性质．
【变式1】（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据关于x轴对称的点的坐标的关系得到点P关于x轴对称的点的坐标为，根据点在第一象限可得不等式组，解之即可．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，且在第一象限，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，此题利用关于x轴对称的坐标之间的关系以及第一象限内点的坐标的特征，借助于不等式组来解决．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）平面直角坐标系中的点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于x轴的对称点在第四象限，则点P在第一象限，从而横纵坐标都大于0，就得到关于m的不等式组，求出m的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
在数轴上表示其解集如下图：

故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．本题根据关于x轴对称的点坐标之间的关系，转化为不等式组的问题．同时，本题还考查了用数轴表示不等式组的解集．
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知．与A关于直线对称．则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点A的坐标，轴对称的性质和对称轴求解即可．
【详解】解：∵，与A关于直线对称，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查坐标变化——轴对称．掌握轴对称的性质是解题关键．
考点6：轴对称变换——坐标规律
典例6：（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，点的纵坐标为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得；；，于是可得到，再根据2018与4的商和余数判断出点与位置相同，在y轴的正半轴上，从而得解．
【详解】解：，，
；；，
，
2018=4×504+2，
∴点与位置相同，在y轴的正半轴上，
点，
故选B．
【点睛】本题考查了规律型问题探究点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
【变式1】（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，沿着“…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为 ···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．
【详解】解：由题意知，
A1（1，1），
A2（2，0），
A3（3，1），
A4（4，0），
A5（5，-1），
A6（6，0），
A7（7，1），
…
由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环，
∴A2020（2020，0），
故选：A．
【点睛】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．
【变式2】（2022·河南·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出点P1，P2，P3，P4的坐标，从而发现点的坐标以4为周期，作循环往复的周期变化，即可解决问题．
【详解】解：∵点P坐标为（0，2），点A坐标为（1，1），
∴点P关于点A的对称点P1的坐标为（2，0），
点P1关于点B（1，-1）的对称点P2的坐标（0，-2），
点P2关于点C（-1，-1）的对称点P3的坐标为（-2，0），
点P3关于点D（-1，1）的对称点P4的坐标为（0，2），
即点P4与点P重合了；
∵2018=4×504+2，
∴点P2018的坐标为（0，-2），
故选C．
【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以探索点的坐标的变化规律为考查的核心构造而成；解题的关键是首先探索出个别点的坐标的变化规律，然后从特殊到一般去发现一般规律，进而利用规律去解决问题．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，如图2，在射线上取点F，连接，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　）

A．10 B．15 C．21 D．28
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴．
在和中，，
∴．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，，
∴，
∵．
∴，
在中，，
∴，
∴图2中有对三角形全等；
同理：图3中有对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
所以：第6个图形中全等三角形的对数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键．
考点7：轴对称变换——作图
典例7：（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣1，3）．
（1）请你在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系并标出原点；
（2）写出点A的坐标，并作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，然后写出A′，B′，C′的坐标；
（3）小芳在（2）中的操作时来了灵感，并发现了其中的规律：若将（2）中作轴对称图记作第1次操作（变换），那么从△ABC开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2021次变换后所得的坐标是_______（请直接写出坐标）．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；A（﹣4，5），A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）；（3）（4，5）．
【分析】（1）根据B，C两点坐标作出平面直角坐标系即可；
（2）作出平面直角坐标系，写出点A的坐标，即可分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）先求出变换前4次的对应点的坐标，得到4次一个循环，从而2021次变换后所得的坐标与A′相同，即可求解．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）由（1）得：A（﹣4，5）；
如图，△A′B′C′即为所求作；
然后写出A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）．
（3）第一次变换后得到点A的对应点为A′（4，5）；
第二次变换后得到点A的对应点为（4，-5）；
第三次变换后得到点A的对应点为（-4，-5）；
第四次变换后得到点A的对应点为（-4，5）；
由此发现，变换4次为一个循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴2021次变换后所得的坐标与A′相同，即（4，5）．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——轴对称，平面直角坐标系内点的坐标的特征及规律性，解题的关键是熟练掌握画轴对称图形的步骤，对于图象的变换关键看点的变换．
【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中有一个，顶点，，.

(1)将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，作出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积是 .
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)9
【分析】（1）按要求将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，即各点的横坐标加2，纵坐标减1，可作出；
（2）在（1）前提下，按要求作出；
（3）运用割补法进行列式，即可得的面积．
【详解】（1）解：将向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
则，，；
如图所示：
；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点的坐标，正确掌握平移作图是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若和关于x轴成轴对称，画出，点的坐标为______；
(2)在y轴上求作一点P，使得的值最小，请在图中画出P点．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
【分析】（1）先找出点的对应点，然后顺次连接即可得出，根据图形即可写出点的坐标；
（2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求．
【详解】（1）如图，即为所求，，
故答案为：；
（2）如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称作图，写出平面直角坐标系中点的坐标，以及轴对称最短问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【变式3】（2023秋·江苏淮安·七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上.

(1)请在图中作出关于直线l成轴对称
(2)在直线l上找一点P，使得最大.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系可得答案．
【详解】（1）解：（1）如图，由对称性分别作出点A、B、C的对称点，顺次连接的，
即为所求；

（2）解：如图，由轴对称的性质可知，，
，
当三点共线时最大，
延长，交直线与点，

此时最大．
【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
考点8：网格中的轴对称设计
典例8：（2023春·河北保定·七年级统考期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法作图，即可得出答案．
【详解】解：如图：
故在②③位置涂色，即可满足有4条对称轴，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据轴对称的性质设计轴对称图形，利用轴对称的性质作图是解题关键．
【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（ ）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．
【详解】解：如下图，

∵图形是轴对称图形，对称轴是直线，
∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）图1，图2均是由大小相等的的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据图示，通过变换比较即可求解．
【详解】解：选项，添加①，水平翻转与图1全等，不符合题意；
选项，添加②，垂直翻转与图1全等，不符合题意；
选项，添加③，水平翻转，再垂直翻转与图1全等，不符合题意；
选项，添加④，与图1不全等，符合题意；
故选：．
【点睛】考查的是图形的变换，掌握图形变换，从不同角度分析图形是解题的关键．
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
【答案】B
【分析】首先根据题意确定出（0，0）的位置，其次根据轴对称图形的定义确定出位置即可．
【详解】解：由右下角方子的位置用（2，－1）表示，
得：左上角的圆子可以用（0，0）表示，
整个图形若为轴对称图形，则其所棋子放的位置在（1，1）处，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形、平面直角坐标系的相关知识，解题关键是掌握轴对称图形定义，即一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴．
考点9：最短路径问题——将军饮马
典例9：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】连接，由得到是等腰三角形，由等腰三角形的性质及的面积为12得到，，由直线垂直平分交于点，交于点，则，由是线段上的一个动点得到，即当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长，即可得到的周长最小值为
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，于点D，的面积为12，
∴，,
∴，
∵直线垂直平分交于点，交于点，
∴，
∵是线段上的一个动点，
∴，
∴当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长，
∴的周长为，
即的周长的最小值是7．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长．
【变式1】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．

【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
【变式2】（2023春·山西运城·七年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点，
，
，
在街道上任取除点以外的一点，连接，，，
，
在中，两边之和大于第三边，
，
，
点到两小区送奶站距离之和最小．

故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点的位置．
【变式3】（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，

∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
【变式4】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
【变式5】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．3.5 D．
【答案】A
【分析】作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，△中，，
，
的最小值为3，
故选择A．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
考点10：等腰三角形的性质——求角、周长
典例10：（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接．若，，则（ ）

A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【分析】先根据题意得出是线段的垂直平分线，故可得出，即，再由，知，根据可得答案．
【详解】解：∵根据题意得出是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，,
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）如图，已知，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，已知，则（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分情况和进行讨论即可求解；
【详解】解：当时，，
∴，
当时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，正确构造等腰三角形是解题的关键.
【变式3】（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，得，，再根据平行线的性质和角平分线的定义得，最后根据得出答案.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，理解平行四边形的性质是解题的关键．
【变式4】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．16
【答案】A
【分析】由题意可知，，有，可知，由三角形的周长可求的值，由可求的值．
【详解】解： 是的平分线
∵
∴
∴
∴
∵的周长为16，
∴
∵，
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键在于推导出．
【变式5】（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在中，BD、CD分别平分、，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若，，则线段EF的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】由平行线的性质可求出，．根据角平分线的定义可得出，，从而得出，，进而得出，，最后即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，．
∵和分别平分和，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．能结合角平分线的定义和平行线的性质证明与是等腰三角形是解决此题的关键．
【变式6】（2023春·八年级课时练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点A落在点处，与交于点，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，得出，根据等角对等边得出，即可得出答案．
【详解】解：在长方形中，∥，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出．
【变式7】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形，连接，作垂直于E，若，，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
考点11：等腰三角形的性质——三线合一
典例11：（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．

【答案】．
【分析】由，，得，，由得即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，（三线合一），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三线合一，垂直的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式1】（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．
【详解】（1）因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以；
（2）因为，点是的中点，
所以平分，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在的边上，．

(1)若，求证：；
(2)若，F为的中点，如图②，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得，进而根据等式性质求证；
（2）先求证，根据等腰三角形三线合一求证结论．
【详解】（1）证明：如图①，过A作于G．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，F为的中点，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质；熟练运用三线合一的性质是解题的关键．
【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，在中，平分，于点E，于点F，试说明与的关系．
【答案】垂直平分，理由见解析
【分析】首先证明，得到，再根据等腰三角形的性质即可得到直线垂直平分．
【详解】解：垂直平分．
∵平分，，，
∴，．
在和中，
∵
∴，
∴，
∵平分，
∴直线垂直平分．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【变式4】（2023春·福建三明·八年级统考期中）命题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.请你依据所给图形，写出已知，求证，并证明它是定理.
已知：______
求证：______
证明：
【答案】如图，中，，D是的中点，与E，与F；；证明见解析
【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明．
【详解】已知：如图，中，，D是的中点，于点E，于点F，
求证：．
证明：连接，如图，
∵，D是中点，
∴为的平分线（三线合一的性质），
又∵，，
∴（角平分线上的点到角的两边相等），
∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
故答案为：如图，中，，D是的中点，于点E，于点F；．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
【变式5】（2022秋·新疆阿勒泰·八年级校考期末）如图，在中，平分线AD与的平分线相交于点E，过点E向AB作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由
【答案】，理由见解析．
【分析】首先利用，平分得到，然后根据平分，证得即可．
【详解】解：；
理由如下：
，平分，
，
平分，，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大．
【变式6】（2022秋·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得平分，再根据证明，即可得到结果；
（2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果；
【详解】（1）证明：连接，
∵，为边的中点，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴ ，
∴；
（2）解： ，，
∴为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【变式7】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．
（1）如图①，求证：AD平分∠BAC；
（2）如图②，连接BC，延长AD交BC于点E．求证：AE⊥BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接BC，利用等腰三角形的性质以及角的和与差，得到∠DBC＝∠DCB，DB=DC，再利用SSS证明△ABD≌△ACD，即可证明AD平分∠BAC；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明．
【详解】（1）证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
即∠DBC＝∠DCB，
∴DB=DC，
在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：由（1）可知：AD平分∠BAC，
即AE平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
考点12：等腰三角形的判定与性质——平行+角平分
典例12：（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；
③的周长等于与的和；④．
其中正确的有（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得，，从而得到，都是等腰三角形；②同①有，，所以；③由②得：的周长；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等．
【详解】解：∵，
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，，
∴，都是等腰三角形．故①正确；
∴，，即有，故②正确；
∴的周长=，故③正确；
∵不一定等于，
∴不一定等于，
∴与不一定相等，故④错误；
①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．
【变式1】（2022秋·山东德州·七年级阶段练习）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．29° B．151° C．122° D．109°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【详解】∵AB∥CD，∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=180°-∠GFD=151°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是( )
①、都是等腰三角形；②；③的周长为；④．
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】解：∵，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．故①正确，
，，即有，故②正确，
的周长．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，的两个内角的平分线，相交于点，过点作分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可知，根据的周长可知的长，进一步可得的周长．
【详解】解：的两个内角的平分线相交于点，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
，
，
的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【变式4】（2023·浙江嘉兴·校考一模）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选B．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式5】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，
∵，
∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，
△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，
∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，
∴②③正确，①④不正确，
∵∠A＝80°，
∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
考点13：等边三角形的性质——30°角直角三角形
典例13：（2023春·福建三明·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，平分，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直角三角形性质，得，进一步计算得证，于是，而，进一步根据面积公式求解．
【详解】解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
中，，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形等角对等边，角直角三角形性质；由直角三角形性质得出线段间数量关系是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点．若，则的长为( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意以及含30度角的直角三角形的性质，得出，进而证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，得出是等边三角形是解题的关键．
【变式2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30 角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键．
【变式3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
【变式4】（2022秋·福建莆田·八年级校考期末）在中，，斜边AC的长为10，则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．10 D．5
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，再利用定理：在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：中，，斜边AC的长为10，如图所示，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的边的关系，解题的关键是明确题中的直角边与斜边，再利用定理进行求解．
【变式5】（2022秋·福建福州·八年级校考期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果．
【详解】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90° ∠BPQ＝90° 60°＝30°，
∴BP＝2PQ，故④正确；
∵AC＝BC，AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；
根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点14：等边三角形的判定与性质综合
典例14：（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图（1），在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为．

(1)当　　　　　时，；
(2)当时，求出使的值；
(3)当时，
①是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②设与交于点，探索：与的关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，见解析．
【分析】（1）先证为等边三角形，则当时，，即，求解即可；
（2）当，点在上，点在上，证为等边三角形，则，即，求解即可；
（3）当时，点在上，点在上，①分两种情况，当或时，②作于，证即可．
【详解】（1）如图（1），，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴当时， ，
∴，即 ，解得，
故答案为：，
（2）当，点在上，点在上，如图（2）(备用)，

∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即，
解得：，
（3）当时，点在上，点在上， ，，
①当时，，
∵，∴，即，解得(不合题意,舍去)，
当时，，
即 ，解得：，
综上所述，使是直角三角形的的值是，
②，理由如下：作于，如图(3)(备用)

∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质和动点问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键添加适当辅助线构造三角形和等边三角形的判定与性质及其应用．
【变式1】（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边的延长线上，线段，的垂直平分线交于点E，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)求与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)与之间的数量关系为
【分析】(1)根据线段，的垂直平分线交于点E，得到，根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理确定得证．
(2)根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理，邻补角计算即可．
【详解】（1）∵线段，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）与之间的数量关系为．理由如下：
∵线段，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，四边形的内角和定理，邻补角，熟练掌握上述性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，点在等边的外部，为边上的一点，，交于点，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)6
【分析】（1）利用平行线的性质，证明，，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答；
（2）连接，根据已知易证是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答．
【详解】（1）解：是等边三角形，
理由：是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形；
（2）连接，
是等边三角形，
，
，
是线段的垂直平分线，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行证明等腰三角形是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)点D在的延长线上，点M在的平分线上，连接，且．
①求证：是等边三角形；
②的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②6
【分析】（1）首先求出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出；
（2）①作于点F，交的延长线于点G，首先得出，再证明，推出，进而得出，即可得出结论；②在上截取，连接，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，证明，得出，进而得出．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴的长是6．
（2）①证明：如图1，作于点F，交的延长线于点G，
∴，
∵点M在的平分线上，°，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②解：的值为定值，
如图2，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴这个定值为6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线进行证明是解题的关键．
【变式4】（2022秋·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）只要证明，得到，推出，又，得到，即可证明是等边三角形；
（2）由，可得，是等边三角形， ，即可得，已知，即可求得的长
【详解】（1）∵，，垂足分别为点，，
∴，
∵为的中点，
∴，且
∴
∴，
∴，且，
∴，
∴是等边三角形．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵为的中点，
∴，
∵
∴，
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式5】（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，点是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？(直接写出答案，一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)当或或时，△AOD是等腰三角形
【分析】(1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2）根据全等易得，结合(1）中的结论可得为，即可求解；
(3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（2）是直角三角形．
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
，
∴．
①当时，，
∴．
②当时，，
∴．
③当时，
，
∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．
考点15：等腰与等边的手拉手模型
典例15：（2023·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得．
（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．
【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
(SAS)．
．
即AE=BD，
（2）成立；理由如下：
如图2中，、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图（1）所示在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D、E分别是AB和AC上两点，且AD＝AE，连接DE，现将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度，得图（2）．
（1）证明：CD＝BE；
（2）若直线CD与直线BE相交于点M，则∠CMB的度数；
（3）如图（3）若将CD、BE分别延长至F、G，使DF＝CD，EG＝BE，猜想AF与AG的数量关系、∠FAG与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）∠CMB的度数为a；（3）AF＝AG，∠FAG＝∠BAC，理由见解析
【分析】（1）根据SAS可证得CAD≌BAE，进而可证得CD＝BE；
（2）根据CAD≌BAE可得∠ACD＝∠ABE，再根据∠BOC＝∠ABE＋∠CMB＝∠ACD＋∠CAB即可证得∠CMB＝∠CAB＝ a，进而可求得答案；
（3）先证明CF＝BG，进而可根据SAS可证得CAF≌BAG，进而可得AF＝AG，∠CAF＝∠BAG，再利用等式的性质即可证得∠BAC＝∠FAG．
【详解】（1）证明：∵旋转，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB－∠DAB ＝∠DAE－∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE，
在CAD与BAE中，
，
∴CAD≌BAE（SAS）
∴CD＝BE；
（2）解：如图，
∵CAD≌BAE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠BOC＝∠ABE＋∠CMB＝∠ACD＋∠CAB，
∴∠CMB＝∠CAB＝ a，
∴∠CMB的度数为a；
（3）解：AF＝AG，∠FAG＝∠BAC，
理由如下：由（1）得CD＝BE，
又∵DF＝CD，EG＝BE，
∴DF＝EG，
∴DF＋CD＝EG＋BE，
即CF＝BG，
在CAF与BAG中，
，
∴CAF≌BAG（SAS）
∴AF＝AG，∠CAF＝∠BAG，
∴∠CAF－∠BAF＝∠BAG－∠BAF，
即∠BAC＝∠FAG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题．
【变式4】（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边中，点，分别在，边上，．

(1)若将图1中的沿射线的方向平移到的位置，如图2，则的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的绕点逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗 （不需说明理由）
②延长交于点，则的度数为______．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)①成立②
【分析】（1）首先证明为等边三角形，由平移的性质可得为等边三角形，且在同一直线上，根据即可获得答案；
（2）根据“”证明即可；
（3）①根据“”证明，即（2）中的结论还成立；②由全等三角形的性质可得，易知，结合，由三角形内角和定理可求得．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
由题意可知，沿射线的方向平移到的位置，
∴为等边三角形，且在同一直线上，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2），理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（3）①（2）中的结论还成立．
∵与均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式5】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．

(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由和是等边三角形可得，由可得，由“”即可证明；
（2）由和是等边三角形可得，由可得，从而得到，由可得，利用“”即可证明；
（3）由（2）可得：，由，可得，从而即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：为等边三角形，
理由如下：
由（2）可得：，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式6】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）延长交于点，根据费马点的定义可得，进而根据等腰三角形的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质，求得，即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明 ，根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）①作于，于设交 于．证明（）即可解决问题；
②在线段上取一点，使得，连接．证明（），推出即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴是等边三角形，是等边三角形，
∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴
∴四点共线，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
如图所示，延长交于点

∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴，
∴，则
∴
∵
∴
∴,
故答案为：．
（2）解：，理由如下，
如图所示，延长至，使得，连接，

∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
又，
∴ ，
∴，
∴，
即；
（3）①证明：如图，作A于，于设交 于．

，都是等边三角形，
，，，
，
)，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是就是费马点．
②在线段上取一点，使得，连接．

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键．
【变式7】（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）如图，在中，，在中，，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接．

(1)请直接写出和的形状．
(2)求证：．
(3)求的度数．
【答案】(1)是等边三角形；是等边三角形
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据由一个角是的等腰三角形是等边三角形判断即可．
（2）证明即可得到结论．
（3）根据，三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）∵，，，
∴是等边三角形；是等边三角形．
（2）∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
根据三角形内角和定理，得：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
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