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专题04 整式乘法及其因式分解
考点类型
考点一遍过
考点1：幂的基础运算
典例1：（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【变式1】（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）已知，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：，
，
，
，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
当时，，故C符合题意；
当时，，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可得解．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
【变式3】（2022秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）一种计算机每秒可做次运算,它工作秒运算的次数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．
【详解】解：它工作2×104秒运算的次数为：
（4×108）×（2×104）
=（4×2）×（108×104）
=8×1012
=8×1012．
故选D．
【点睛】本题主要利用单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质求解，科学记数法表示的数在运算中通常可以看做单项式参与的运算．
考点2：幂的综合运算
典例2：（2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据幂的运算性质进行化简，再合并同类项即可；
（2）先把各项化为同底数幂，再计算同底数幂的乘法和除法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，涉及同底数幂的乘法和除法积的乘方，合并同类项等知识，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算:
（1） （2）
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先算幂的乘方、同底数幂相乘、再算加减；
（2）先算积的乘方再算同底数幂乘法；
【详解】解：
（1）
=
=
=4
（2）
=
=
【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方．掌握相关运算法则是关键．
【变式2】（2022春·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期末）计算：．
【答案】0
【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．
【变式3】（2022秋·上海青浦·七年级校考阶段练习）计算：(-2a3)2+(-a2)3-3a2·(-a3)·a
【答案】
【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则将原式化为整式的加法，再合并同类项即可解
【详解】解：原式=
=
【点睛】本题为同底数幂乘法、幂的乘方与合并同类项的综合计算题，难度不大，熟练掌握相关运算法则是解题关键.
考点3：幂运算的应用——简便计算
典例3：（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）用简便方法计算．
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用积的乘方的运算法则，即可求解；
（2）将变形为，再逆用积的乘方的运算法则，即可求解；
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市平江中学校校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)简便运算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则化简，进而合并同类项得出答案；
（3）直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了及同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算法则．
【变式3】（2022春·浙江宁波·七年级校考阶段练习）用简便方法计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）0.5
【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算；
（2）逆用两次积的乘方法则进行计算．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
考点4：幂运算的逆运算
典例4：（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据幂的运算公式：，进行逆用运算，即可求解．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解题的关键．
【变式1】（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得，即可求解．
【详解】解：由可得
∴
∴
故选：B
【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得．
【变式2】（2023春·河北沧州·七年级校考期中）若为正整数．且，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．
【详解】解析：
，
故选D．
【点睛】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据积的乘方的逆用法则计算即可．
【详解】解：
．
故选B．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用．掌握积的乘方的逆用法则是解题关键．
考点5：幂运算的应用——比较大小
典例5：（2022秋·八年级单元测试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可．
【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，
而125＜243＜256，
所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）．
【变式1】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）已知，比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论．
【详解】解：，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
【变式2】（2022秋·广西来宾·七年级统考阶段练习）已知a=42，b=58 ， c=(-10)4 ， 则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．b>c> a B．b>a> c C．c>a>b D．a>b>c
【答案】A
【解析】分别把b、c的数字分解成b=58=54×54， c=24×54，从而可得出a、b、c的大小关系．
【详解】解：∵c=(-10)4=104=(2×5)4=24×54，
b=58=54×54，
54=625>42，
∴b＞c＞a．
故选：A．
【分析】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握乘方的意义和积的乘方的运算法则是解本题的关键．
【变式3】（2023·江苏·七年级假期作业）如，，是比较，大小（ ）
A． B． C． D．、大小不能正确
【答案】C
【分析】先运用幂的乘方的运算性质先把A和B进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可．
【详解】解：∵A=，
，
∴A=B；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
考点6：幂运算的应用——新定义
典例6：（2022·河南周口·三模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算．且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，那么（3+2i） （1﹣i）的值为（　　）
A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i
【答案】A
【分析】首先利用多项式乘法法则进行乘法运算，然后把i2=-1代入求值即可.
【详解】解: （3+2i） （1﹣i）=3-3i+2i-2i2
=3-3i+2i-2×（-1）
=5-i，
故选择A.
【点睛】本题考查定义新运算以及多项式乘法，解决问题的关键是利用新定义把未知转化为已知.
【变式1】（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）我们定义一个新运算：，如，那么为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解．
【详解】解：由题意得：=，
故选A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键．
【变式2】（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）设a，b是实数，定义 的一种运算如下：a b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①a b＝b a；②若a b＝0，则a＝0且b＝0；③若a b＝（﹣a） b，则a＝0或b＝0；④a （b+c）＝a b+a c．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
【详解】①∵a b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，b a＝（b+a）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∴a b＝b a，故正确；
②∵a b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，故原来的计算错误；
③∵a b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，（﹣a） b＝（﹣a+b）2﹣（﹣a﹣b）2＝（a﹣b）2﹣（a+b）2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a﹣b）2﹣（a+b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2，
∴a＝0或b＝0，故正确；
④∵a （b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4a（b+c），a b+a c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac＝4a（b+c），
∴a （b+c）＝a b+a c，故正确．
故其中正确的个数是3．
故选C．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（ ）
A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04
【答案】D
【分析】根据新定义的运算和幂的相关运算，求出关于m，n的式子再进行求解.
【详解】∵，，
∴5m=0.4,5n=4
∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04
故选D.
【点睛】此题主要考查实数新定义的运算，解题的关键是根据题意求出相关式子，再根据幂的运算法则进行求解.
考点7：整式乘法
典例7：（2023·福建泉州·九年级校联考专题练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法分别对每一项进行解答，即可得出答案．
【详解】解：、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则，准确计算．
【变式2】（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．8 B．14 C． D．2
【答案】D
【分析】先根据单项式乘以多项式法则可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题关键．
【变式3】（2023春·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照单项式乘以多项式的运算法则进行运算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式的知识，牢记法则是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．
【变式4】（2023春·安徽六安·七年级校考期中）若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】首先根据多项式的乘法法则展开，然后利用根据对应项的系数相等列式求解即可．
【详解】解：，
而，
，
，，
，．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则，利用多项式的乘法法则展开多项式，再利用对应项的系数相等就可以解决问题．
【变式5】（2023春·河北沧州·七年级统考期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题意，计算多项式乘以多项式，根据一次项的系数为0，即可求解．
【详解】解：中不含一次项
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【变式6】（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，准确的将其展开是解题的关键．
【变式7】（2023秋·八年级课时练习）【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】A
【分析】根据，进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．
考点8：整式乘法的应用
典例8：（2023春·河南开封·七年级统考期末）综合与实践
提出问题：
如图，在长方形中，，点在上，点在上．，，，且．求a、b、c之间的数量关系．

探究问题：
某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的方法发现可以利用长方形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．长方形的面积S可以用两种不同的方法表示：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形看成是由，，
，组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：
方法一：___________．
方法二，．
问题解决：
（1）由于方法一和方法二表示的都是长方形的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（2）请直接运用（1）中的结论，求当，时S的值．
【答案】；（1）；（2）28
【分析】根据长方形的面积公式可求解；
（1）根据长方形的面积个三角形的面积和列式化简即可求解；
（2）将，的值代入计算可求解的值，进而可求解值．
【详解】解：．
故答案为：；
（1）由题意得：，
，
；
（2），且，，
，
，
．
答：的值为28．
【点睛】本题主要考查了整式的运算与图形的关联，注意数形结合．
【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）如图，大正方形边长为，小正方形边长为．
(1)用含，的式子表示阴影部分的面积；
(2)若，求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）阴影部分的面积两个三角形的面积之和，从而可得答案；
（2）利用非负数的性质先求解，，再代入（1）中的代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积
；
（2）∵，
∴，，
解得：，，
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算与图形的面积关系，求解代数式的值，非负数的性质，正确的列出代数式是解本题的关键．
【变式2】（2022·河北石家庄·校考二模）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．
(1)①用含n的代数式表示______，______
②用“”、“”或“”号填空：______；
(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为．
①该正方形的边长是______；（用含n的代数式表示）
②小聪同学发现，“与的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【答案】(1)①，；②；
(2)①；②与的差是定值，值为1．
【分析】（1）①结果长方形的面积的计算方法可表示出为和；②作差法，可比较大小；
（2）①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．
【详解】（1）解：①由长方形的面积的计算方法得，
，
，
故答案为：，；
②
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①乙的周长为：，
正方形的周长与乙的周长相等，
正方形的边长为，
故答案为：；
②
，
因此“与的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．
【点睛】本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式等知识，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键．
【变式3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习整式乘法时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方公式：
（图1），（图2）利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式：______；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则______；
（3）利用图4解决问题：
①若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长分别为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______；
【方法拓展】类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（4）由图5可得等式：______．
【答案】（1）；（2）21；（3）①16；②；（4）．
【分析】（1）利用图形面积相等可得等式；
（2）把已知代入（1）中的公式；
（3）①利用面积公式展开可以得到面积关系，可得出的值；②根据题意列出代数式变形可得结论；
（4）利用图形体积相等公式，利用整体与部分的关系可得：．
【详解】解：（1）利用正方形面积公式得：；
故答案为：；
（2）由（1）知：
∵，，
∴，
故答案为：21；
（3）①长方形面积为，
所以，可得：，
所以；
②；
所以，正方形的边长最长是；
故答案为：16；；
（4）根据正方体体积公式．
故答案为：
【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合思想，用代数角度解决图形问题，也可以利用图形问题解决代数．
考点9：乘法公式的几何背景
典例9：（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①；
②．
【拓展】
直接写出结果的个位数字．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；②；拓展：6．
【分析】（1）用大正方形面积减去小正方形面积，即可得到图1中阴影部分的面积；
（2）由图1可知，长方形的长为，宽为，即可求出此长方形的面积；
（3）根据图1中阴影面积与图2长方形面积相等，结合（1）和（2）的结论，即可得到答案；
（4）①利用（3）中的整式乘法的公式直接计算，即可得到答案；
②将原式变形，再利用（3）中的整式乘法的公式计算，即可得到答案；
拓展：将原式变形，再利用（3）中的整式乘法的公式计算，得到结果，再分析结果的个位数字4次为一个循环，进而得到结果的个位数字，即为答案．
【详解】解：（1）由图1可知，阴影部分的面积为，
故答案为：；
（2）由图1可知，长方形的长为，宽为，
图2中长方形的面积为，
故答案为：；
（3）由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，
，
故答案为：；
（4）①
；
②
；
拓展：
，
，，，，，，，……
结果的个位数字4次为一个循环，
，
结果的个位数字为6．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
【变式1】（2023秋·安徽芜湖·八年级统考期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值；
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分面积即可解答；
（2）①将化为，即可解答；②根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图1可得：
整个图形面积为：，空白部分面积为：，阴影部分宽为：，
由图2可得：
该长方形长为：，
∴，
故选：B．
（2）解：①，
；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握用面积法求证平方差公式，以及根据平方差公式进行计算．平方差公式．
【变式2】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ；
(3)若，，则 ；（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；
（2）由（1）中计算过程可得答案；
（3）根据（2）中的等式可得答案．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为，则面积为．
故答案为：；
（2）解：左边图形的面积，
右边的大正方形面积，
则阴影部分的面积，
因此三个代数式，，之间的等量关系为：
；
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．
【变式3】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；
（2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（3）由（2）的结论代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为，
周长为：，
故答案为：；
（2）解：由图可得：
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
（3）解：由（2）知：，
，，
，
或．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结果特征是解题的关键．
考点10：整式乘除混合运算
典例10：（2023秋·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘以多项式的运算法则求解即可；
（2）首先利用单项式乘以多项式的运算法则计算括号内，然后合并同类项，然后计算单项式乘以单项式．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【变式1】（2023春·重庆·七年级重庆一中校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可；
（2）根据多项式乘以多项式化简即可；
【详解】（1）解：原式
（2）原式
【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键．
【变式2】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和单项式除以单项式的方法解答即可；
（2）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先计算乘方，再根据同底数幂相乘计算，然后计算除法，即可求解；
（3）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；
（4）先去括号，再合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
考点11：整式化简求值
典例11：（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
【变式2】（2023秋·全国·八年级课堂例题）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再算单项式乘以单项式，然后合并同类项，再代入求值即可；
（2）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再算单项式乘以单项式，然后合并同类项，再代入求值即可．
【详解】（1）解：原式
；
当时，
原式
；
（2）解：原式
；
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3】（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：已知，其中是一个整数，，．
【答案】，46
【分析】首先按照单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式法则将原式化简，再结合题意可得，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，其中是一个整数，，
∴，，
∴原式
．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算 化简求值、实数等知识，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
考点12：因式分解的定义
典例12：（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解；
B．，是整式乘法，不是因式分解；
C．，符合因式分解的定义，是因式分解；
D．，是整式乘法，不是因式分解；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
【变式1】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据因式分解的定义逐项判断即可得解．
【详解】解：A、，从左到右是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，左边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解，符合题意；
D、，左边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式积的形式，即为因式分解，正确理解并掌握因式分解的定义是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福州黎明中学校考期中）下列代数式变形中，哪一项是分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：A．该变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．该等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．该变形是因式分解，故此选项符合题意；
D．该等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义．
【变式3】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义进行逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项错误的；
B、，且无法进行因式分解，故该选项错误的；
C、，故该选项错误的；
D、符合因式分解的定义，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
考点13：因式分解——提公因式、公式法
典例13：（2023秋·全国·八年级课堂例题）把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】找出各项的公因式即可．
【详解】解：把分解因式时，应提取的公因式是．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键．
【变式1】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）分解因式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】提取公因式即得答案.
【详解】解： ；
故选：A.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确提取公因式是解题的关键.
【变式2】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体．
【变式4】（2022秋·八年级单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键．
【变式5】（2023春·七年级课时练习）将多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据完全平方公式分解为，再将分解为由此得到答案.
【详解】==，
故选：D.
【点睛】此题考查公式法分解因式，综合运用完全平方公式、平方差公式是解题关键.
【变式6】（2023春·七年级课时练习）无论、取何值，多项式的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．
【详解】解：∵≥1＞0，
∴多项式的值总是正数．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
【变式7】（2022秋·八年级课时练习）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【详解】A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；
B、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
C、＝（4b）2 a2,能用平方差公式分解因式；故正确；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
考点14：因式分解——十字相乘
典例14：（2023秋·河北保定·九年级校考开学考试）若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，
可得，，
解得：，，
故答案为：D．
【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1】（2023春·四川达州·八年级校考期末）将多项式分解因式后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
【变式2】（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解．
【详解】解：多项式可分解为，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
【变式3】（2023春·四川达州·八年级校考期末）若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【答案】A
【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案．
【详解】解：二次三项式可分解成即，
，
解得：，，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点15：因式分解——分组分解法
典例15：（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）因式分解的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分组分解法分解因式即可．
【详解】解：原式
；
故选B．
【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式．
【变式1】（2023春·浙江宁波·七年级统考阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，正确；
C．，正确；
D．，原式分解不彻底，故不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）把分解因式，正确的分组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．
考点16：因式分解应用——求值
典例16：（2022春·福建宁德·八年级校考期中）若，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：∵，
∴
故选D．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，考查了用完全平方公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）已知，，则的值是（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】A
【分析】把原式提取公因式得到，再代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将所求式子提取公因式进行分解因式是解题的关键．
【变式2】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）已知三角形的三边长分别为，，，且满足，则三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】因式分解可得，进而可知或，从而可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形．
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，将所给式子进行因式分解是解题的关键．
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若，，，则多项式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据，，，可以得到，，的值，然后将所求式子变形，然后将，，的值代入变形后的式子计算即可．
【详解】，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键时明确题意，利用完全平方公式解答．
考点17：因式分解其他应用
典例17：（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考开学考试）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足．探索这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】利用完全平方公式将原式配成，再利用非负数的性质结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：设为①式，
得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴该三角形为直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形内角和定理，熟练运用完全平方公式是解题关键．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4．3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：
分解因式：；
求的最小值：，
可知，当时，代数式有最小值，最小值是．
根据阅读材料，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求代数式的最小值；
(3)晓静同学求得代数式的最小值为．请问晓静同学的答案是否正确．若正确，请写出取最小值时的的值；若不正确，请直接写出正确的最小值．
【答案】(1)
(2)最小值为3
(3)当时，的值最小，最小值为2
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）凑成完全平方加以一个数值的形式；
（3）原式展开，利用完全平方式配成的形式，即可求解．
【详解】（1）解：分解因式：；
（2）解：
，
当时，的值最小，最小值为3；
（3）解：晓静同学的答案不正确；
代数式的最小值为2．
代数式
当时，的值最小，最小值为2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福州黎明中学校考期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如，①用配方法分解因式：．
解：原式，
②，利用配方法求的最小值．
解：，
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解（不按要求不给分）：；
(3)若，求M的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据完全平方公式即可解答；
（3）根据完全平方公式即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为， ；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，，
∴当，时，有最小值，
即当，时，有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式3】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：
解：原式
设
∴原式
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据常数之和相等进行分组相乘，然后换元计算即可．
（2）根据常数乘积相等进行分组相乘，然后换元计算即可．
【详解】（1）
设，
∴原式
；
（2）
设，
∴原式
．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．
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专题04 整式乘法及其因式分解
考点类型
考点一遍过
考点1：幂的基础运算
典例1：（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）已知，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式2】（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）一种计算机每秒可做次运算,它工作秒运算的次数为 （ ）
A． B． C． D．
考点2：幂的综合运算
典例2：（2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算:
（1） （2）
【变式2】（2022春·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期末）计算：．
【变式3】（2022秋·上海青浦·七年级校考阶段练习）计算：(-2a3)2+(-a2)3-3a2·(-a3)·a
考点3：幂运算的应用——简便计算
典例3：（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）用简便方法计算．
(1)；
(2)
【变式2】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市平江中学校校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)简便运算．
【变式3】（2022春·浙江宁波·七年级校考阶段练习）用简便方法计算下列各题：
（1）
（2）
考点4：幂运算的逆运算
典例4：（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．16
【变式1】（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【变式2】（2023春·河北沧州·七年级校考期中）若为正整数．且，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）等于（ ）
A．1 B． C． D．
考点5：幂运算的应用——比较大小
典例5：（2022秋·八年级单元测试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）已知，比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·广西来宾·七年级统考阶段练习）已知a=42，b=58 ， c=(-10)4 ， 则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．b>c> a B．b>a> c C．c>a>b D．a>b>c
【变式3】（2023·江苏·七年级假期作业）如，，是比较，大小（ ）
A． B． C． D．、大小不能正确
考点6：幂运算的应用——新定义
典例6：（2022·河南周口·三模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算．且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，那么（3+2i） （1﹣i）的值为（　　）
A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i
【变式1】（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）我们定义一个新运算：，如，那么为（ ）
A． B． C． D．32
【变式2】（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）设a，b是实数，定义 的一种运算如下：a b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①a b＝b a；②若a b＝0，则a＝0且b＝0；③若a b＝（﹣a） b，则a＝0或b＝0；④a （b+c）＝a b+a c．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（ ）
A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04
考点7：整式乘法
典例7：（2023·福建泉州·九年级校联考专题练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．8 B．14 C． D．2
【变式3】（2023春·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式4】（2023春·安徽六安·七年级校考期中）若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5】（2023春·河北沧州·七年级统考期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【变式6】（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】（2023秋·八年级课时练习）【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
考点8：整式乘法的应用
典例8：（2023春·河南开封·七年级统考期末）综合与实践
提出问题：
如图，在长方形中，，点在上，点在上．，，，且．求a、b、c之间的数量关系．

探究问题：
某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的方法发现可以利用长方形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．长方形的面积S可以用两种不同的方法表示：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形看成是由，，
，组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：
方法一：___________．
方法二，．
问题解决：
（1）由于方法一和方法二表示的都是长方形的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（2）请直接运用（1）中的结论，求当，时S的值．
【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）如图，大正方形边长为，小正方形边长为．
(1)用含，的式子表示阴影部分的面积；
(2)若，求阴影部分面积．
【变式2】（2022·河北石家庄·校考二模）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．
(1)①用含n的代数式表示______，______
②用“”、“”或“”号填空：______；
(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为．
①该正方形的边长是______；（用含n的代数式表示）
②小聪同学发现，“与的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【变式3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习整式乘法时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方公式：
（图1），（图2）利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式：______；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则______；
（3）利用图4解决问题：
①若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长分别为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______；
【方法拓展】类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（4）由图5可得等式：______．
考点9：乘法公式的几何背景
典例9：（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①；
②．
【拓展】
直接写出结果的个位数字．
【变式1】（2023秋·安徽芜湖·八年级统考期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值；
②计算：．
【变式2】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ；
(3)若，，则 ；（直接写出答案）
【变式3】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．
考点10：整式乘除混合运算
典例10：（2023秋·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023春·重庆·七年级重庆一中校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式2】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
考点11：整式化简求值
典例11：（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【变式2】（2023秋·全国·八年级课堂例题）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【变式3】（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：已知，其中是一个整数，，．
考点12：因式分解的定义
典例12：（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福州黎明中学校考期中）下列代数式变形中，哪一项是分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点13：因式分解——提公因式、公式法
典例13：（2023秋·全国·八年级课堂例题）把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）分解因式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022秋·八年级单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（2023春·七年级课时练习）将多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（2023春·七年级课时练习）无论、取何值，多项式的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
【变式7】（2022秋·八年级课时练习）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
考点14：因式分解——十字相乘
典例14：（2023秋·河北保定·九年级校考开学考试）若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【变式1】（2023春·四川达州·八年级校考期末）将多项式分解因式后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
【变式3】（2023春·四川达州·八年级校考期末）若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
考点15：因式分解——分组分解法
典例15：（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）因式分解的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·浙江宁波·七年级统考阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）把分解因式，正确的分组为（　　）
A． B．
C． D．
考点16：因式分解应用——求值
典例16：（2022春·福建宁德·八年级校考期中）若，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）已知，，则的值是（ ）
A．18 B． C． D．
【变式2】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）已知三角形的三边长分别为，，，且满足，则三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若，，，则多项式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点17：因式分解其他应用
典例17：（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考开学考试）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足．探索这个三角形的形状，并说明理由．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4．3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：
分解因式：；
求的最小值：，
可知，当时，代数式有最小值，最小值是．
根据阅读材料，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求代数式的最小值；
(3)晓静同学求得代数式的最小值为．请问晓静同学的答案是否正确．若正确，请写出取最小值时的的值；若不正确，请直接写出正确的最小值．
【变式2】（2022秋·福建福州·八年级福州黎明中学校考期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如，①用配方法分解因式：．
解：原式，
②，利用配方法求的最小值．
解：，
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解（不按要求不给分）：；
(3)若，求M的最小值．
【变式3】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：
解：原式
设
∴原式
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
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