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重难突破03 全等三角形的辅助线模型
重难突破
模型一：倍长中线型
1．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【详解】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
2．（2022秋·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，．

(1)若，，则的取值范围是______；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）延长至点，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可；
（3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明．
【详解】（1）解：延长至点，使得，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
（3）由(1)(2)得：，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，即．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可；
（2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：（1）由题意，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
（2）如图，延长至点E，使，连接．

因为D为的中点，
所以．
在和中，
，
所以，
所以．
因为，且，，
所以，
所以．
因为线段的长度为整数，
所以．
【点睛】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是______．
(2)求得的取值范围是______．
(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到E，使，连接，，证明，得到，证明，得到，再利用即可证明．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，
∴，
故答案为：
（3）解：延长到E，使，连接，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2023·全国·八年级专题练习）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点P，连接，请证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，，即可证明；
（2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形．
（2）证明：延长至E，使，
P为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又 ，
，
，，
，
在和中，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
模型二：截长补短型（半角模型）
6．（2022春·广东广州·七年级广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1）如图1，，
理由如下：在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即．
理由：延长到点．使．连接，

在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，

，，
，
，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．

【答案】见解析
【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．
【详解】在上取点F，使

∵，分别是，的平分线
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．
8．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．
(1)，与之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）
(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．
【答案】(1)
(2)12000元
(3)千克
【分析】（1）由直接可以得到；
（2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题；
（3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1），
，
故答案为：；
（2）如图，延长至点，使，连接．
.
在与中，
，
，.
，即.
在与中，
，
，
（米）．
五边形的周长为（米），
（元）．
答：建造木栅栏共需花费12000元.
（3）千克
，
需小麦种数量为：(千克）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”．
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
(1)求∠APC的度数；
(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
【答案】(1)120°
(2)8
【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；
（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＋∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°；
（2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，AF=AE，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．
【点睛】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键．
10．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；
（2）证明：EF＝BE＋DF
【答案】（1）DF；（2）见解析
【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法；
（2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠GAB+∠EAB=45°，
∴∠GAE=∠EAF =45°，
在△AGE和△AFE中0
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴GE=EF，
∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型．
模型三：角平分线+垂直型
11．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
【答案】（1）AE=EF；（2）成立，证明见详解；（3）成立，画图、证明见详解.
【分析】（1）证△AGE≌△EBF即可；
（2）在AC上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可；
（3）在AC延长线上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可.
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分别是AC、BC的中点
∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（2）成立；在AC上截取点G使AG=EB，
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（3）成立，如下图：在AC延长线上截取点G使AG=EB
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=90°－∠CBA=45°
∴∠CGE =∠EBF
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，读懂材料构造全等三角形是解决此题的关键.
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，于，，.求证：；.
【答案】详见解析
【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
【详解】如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°，
，OC=OC，
，
，，
，，
，
，，
∵，，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.
13．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．

∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．
14．（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）先说明，根据推出两三角形全等即可；
（2）过点分别作于点，于点，根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线性质得出即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：．
证明：过点分别作于点，于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴平分，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．证明三角形的全等是解题的关键．
15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，于点E，于点F，且，．
(1)求证：AC平分
(2)猜想与之间的数量关系并证明；
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的判定定理证明即可；
（2）证明，得到，再证明，得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】（1）证明：，，，
平分；
（2）解：，
证明如下：在和中，
，
（HL），
，
在和中，
，
（HL），
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
模型四：作平行线型
16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明 EMD CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DE，
∵，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴ EMD CME，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
17．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，已知点D是等边三角形中边所在直线上的点，连接，过点D作，与的邻补角的平分线交于点F．
(1)如图①，当点D在线段上时，过点D作，且交于点E．求证：；
(2)如图①，在（1）的条件下，求证：；
(3)如图②，当点D在线段的延长线上时，（2）中线段，，之间的数量关系式还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段，，之间新的数量关系式，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)不成立，，理由见解析
【分析】(1)根据平行线的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可证得；
(2)证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形即可证得；
(3)过点D作交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形证明即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
（2）证明： 与都是等边三角形，
，，
，即．
，
．
是的邻补角的平分线，的邻补角为，
，
，
．
，，
．
，
．
在和中，
，
，
，
∴；
（3）解：（2）中线段，，之间的数量关系式不成立，
新的数量关系式是：．
理由如下：
过点D作交于点G，
则，，
为等边三角形，，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2022春·四川成都·七年级统考期末）在中，的角平分线交于点，当时，过点作交直线于点．
(1)如图，当点在线段上时，判断，，的数量关系．
(2)如图，当点在的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立；如果不成立，请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)EF+BC=CF，
(2)BC=EF+CF，理由见解析．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，再利用AAS证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上时，BC=EF+CF．
（1）
结论：EF+BC=CF，
理由：如图1，延长CD，FE交于点M，
∴MFBC，
∴∠MED=∠B，∠M=∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM，
∴CF=MF，
又∵BD=DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME=BC，
∴CF=MF=ME+EF=BC+EF，
即EF+BC=CF；
（2）
当点E在线段BA的延长线上时，BC= EF+CF，
如图2，延长CD，EF交于点M．
同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME=BC，
由①证明过程同理可得出MF=CF，
∴BC=ME=EF+MF=EF+CF．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型．
19．（2023·全国·八年级假期作业） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在△PDF和△QDC中，，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
20．（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
【答案】(1)详见解析
(2)ED＝2
【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
又∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，，
∴△DPF≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；
（2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC，
可得AE＝EF，
由（1）知，△DPF≌△DQC
∴FD＝CD，
∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD，
∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，
∵AC＝BC＝4，
∴2ED＝4，
∴ED＝2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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重难突破03 全等三角形的辅助线模型
重难突破
模型一：倍长中线型
1．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
2．（2022秋·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，．

(1)若，，则的取值范围是______；
(2)求证：；
(3)求证：．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．

4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是______．
(2)求得的取值范围是______．
(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
5．（2023·全国·八年级专题练习）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点P，连接，请证明．
模型二：截长补短型（半角模型）
6．（2022春·广东广州·七年级广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．

7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．

8．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．
(1)，与之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）
(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
(1)求∠APC的度数；
(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
10．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；
（2）证明：EF＝BE＋DF
模型三：角平分线+垂直型
11．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，于，，.求证：；.
13．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
14．（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．
15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，于点E，于点F，且，．
(1)求证：AC平分
(2)猜想与之间的数量关系并证明；
模型四：作平行线型
16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
17．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，已知点D是等边三角形中边所在直线上的点，连接，过点D作，与的邻补角的平分线交于点F．
(1)如图①，当点D在线段上时，过点D作，且交于点E．求证：；
(2)如图①，在（1）的条件下，求证：；
(3)如图②，当点D在线段的延长线上时，（2）中线段，，之间的数量关系式还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段，，之间新的数量关系式，并说明理由．
18．（2022春·四川成都·七年级统考期末）在中，的角平分线交于点，当时，过点作交直线于点．
(1)如图，当点在线段上时，判断，，的数量关系．
(2)如图，当点在的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立；如果不成立，请写出结论，并说明理由．
19．（2023·全国·八年级假期作业） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
20．（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
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