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重难突破02 全等三角形的基础模型
重难突破
模型一：平移型
1．（2023秋·江苏·八年级校考周测）已知：，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】由平行线的性质推证角相等，从而得证两三角形全等，进而运用全等的性质，得到角相等，由角相等转化为直线间的平行关系．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，运用全等三角形求证角相等是解题的关键．
2．（2023秋·浙江金华·八年级校联考开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，且，，．将下面证明的过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴，即
∵（已知）
∴__________（ ）
在和中，
__________（已知）
∵ __________（ 已证 ）
（已证）
∴_____（ ）
∴（ ）
【答案】，，两直线平行，同位角相等，，，，，，，全等三角形对应角相等
【分析】根据三角形全等的判定方法，出现题中已知条件的需写已知．对应线段写在对应位置．三边对应相等的两个三角形全等，利用的是定理：．
【详解】证明：∵（已知）
∴，即
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
在和中，
（已知）
∵（已证）
（已证）
∴（）
∴（全等三角形对应角相等），
故答案为：，，两直线平行，同位角相等，，，，，，，全等三角形对应角相等．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．
3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析 ②
【分析】（1）可证得，结合，即可证明结论．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
4．（2023秋·八年级课时练习）完成下列证明过程．
如图，已知，，D，C在上，且，求证：．

证明：∵，
∴______________________（__________________________），
∵，∴，即______________，
在和中，，__________________________，
∴___________________．
【答案】A；；两直线平行，同位角相等；；，；
【分析】先证明，求得，利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴，即，
在和中，
，，，
∴．
故答案为：A；；两直线平行，同位角相等；；，；．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判断条件是解题的关键．
5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由此可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
模型二：对称型
6．（2023春·江苏南通·七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）如图，，请添加一个条件（不添加任何辅助线），使．
下面是两位同学的思路：
小明：可以添加．
因为要得到，只要证明．而题目已经给出了和公共边，添加可得；
小华：可以添加．思路与小明的相同．
(1)根据添加条件，能得出的同学是_______，其得到的依据是_______；
(2)请你添加一个不同的条件，并写出得出的思路．
【答案】(1)小明，
(2)添加的条件：，证明见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理求解即可；
（2）添加条件，然后证明出，进而可得到．
【详解】（1）小明：添加
在和中
∴
∴
∴添加小明的条件可以证明；
小华：
∵，，
∴得到的条件是
∴无法证明
∴无法证明出
综上所述，根据添加条件，能得出的同学是小明，其得到的依据是；
（2）添加的条件：
在和中
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
7．（2023秋·八年级课时练习）如图为一风筝骨架：已知，，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，即可根据证明，即可求证．
【详解】证明：连接．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握三条边都相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等．
8．（2023秋·八年级课时练习）（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：

(1)．
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可以证得；
（2）利用全等三角形的对边相等即可证明．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
9．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图，点D，E分别在，上，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，利用ASA的判定方法证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，即可证明．
【详解】证明：由题意得，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质的知识，熟练掌握证明三角形全等的方法是解本题的关键．
10．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在与中，，平分．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理直接可证；
（2）根据全等三角形的性质—对应角相等得出，再利用三角形内角和可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴；
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理．
模型三：旋转型
11．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，已知，，，求证：．

【答案】见详解
【分析】通过平行线的性质可得，再直接证明，问题得证．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质的等知识，证明，是解答本题的关键．
12．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点 C，F，E，B 在一条直线上，，，，求证：．

【答案】见详解
【分析】证明即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确全等三角形的判定是解答本题的关键．
13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，点在上，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据题意得，根据垂直得，根据得，可得，即可得．
【详解】证明：，
，
即．
，
．
在和中， ，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，得，根据 “”即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，然后根据即可求解．
【详解】（1）∵，

∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2023春·湖北咸宁·八年级统考开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据题意，找到，，再由两个三角形全等的判定定理判定即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
模型四：一线三等角模型
16．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图①，，，点C是上一点，且，．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)9
【分析】（1）根据条件证明可得出，就可以得出；
（2）根据可以得出，从而得出结论．
（3）根据可求的面积，根据可求的面积，最后利用的面积减去的面积即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
由平移知（2）中和（1）全等，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，在中，，，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．

(1)试说明；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得，，即，根据“”可证，可得；
（2）先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
18．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）求证，进而运用求证；
（2）由三角形全等得，，所以．
【详解】（1）解：∵，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴
（2）解：∵
∴，．
∵，，
∴，．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；运用全等三角形求证线段相等是解题的关键．
19．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，，，三点都在一条直线上，且，，
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据三角形外角性质推出，由“”可证．
【详解】证明：，且，
，
在和中，
，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，利用三角形外角性质得出是解题的关键．
20．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图（1），已知中，，，是过A的一条直线，且在的异侧，于D，于E．

(1)试说明：．
(2)若直线绕A点旋转到图2位置时（），其余条件不变，问与的关系如何？请直接写出结果；
(3)若直线绕A点旋转到图3位置时（），其余条件不变，问与、的关系如何？请直接写出结果，不需说明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，即可证得，，而，即可证得；
（2）证明，即可证得，，而，即可证得；
（3）证明，即可证得，，而，即可证得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
模型五：手拉手型
21．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接．
(1)求证：；
(2)图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程．
【答案】(1)见解析
(2)和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到
【分析】（1）通过正方形的性质得到等角和等边，然后判断全等即可；
（2）根据旋转的定义直接解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到．
【点睛】此题考查正方形的性质和全等三角形、旋转性质，解题关键是找准全等三角形判定条件来证明全等．
22．（2022秋·山东济南·八年级期中）在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，在等腰Rt△ABC外侧作△CAF≌△BAE，连接DF．
①∠DCF＝______度．
②△AED与△AFD是否全等？请说明理由；
③当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
【答案】(1)①90；②△AED≌△AFD，理由见解析；③DE＝
(2)DE的值为3或3
【分析】（1）①先由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠ACB＝45°，再由全等三角形的性质得∠ACF＝∠B＝45°，即可得出答案；②先证出∠DAE＝∠DAF，再由DA＝DA，AE＝AF，即可得出结论；③设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由勾股定理得DF2＝CD2+CF2，则x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，连接BE，由△EAB≌△DAC，推出∠ABE＝∠C＝45°，BE＝CD＝6，推出∠EBD＝90°，由勾股定理即可得出答案；②当点D在CB的延长线上时，同法可得DE的长．
（1）
（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°.
∵△CAF≌△BAE，
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠DCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°.
故答案为：90；
②△AED≌△AFD，理由如下：
∵△CAF≌△BAE，
∴AF＝AE，∠CAF＝∠BAE.
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝∠CAE+∠CAF＝∠BAC＝90°.
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF.
又∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
③∵△CAF≌△BAE，
∴CF＝BE＝3.
设DE＝x，则CD＝7﹣x，
由①得：∠DCF＝90°，
由②得：△AED≌△AFD，
∴DE＝DF＝x.
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，
即x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝，
∴DE＝；
（2）
①当点E在线段BC上时，连接BE，如图2所示：
∵△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝45°，BE＝CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE＝＝＝3；
②当点D在CB的延长线上时，连接BE，如图3所示：
同①得：△EAB≌△DAC（SAS），∠EBD＝90°，
∴BE＝CD＝BC+BD＝9+3＝12，
∴DE＝＝＝3；
综上所述，DE的值为3或3．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，分情况讨论等，构造全等三角形是解题的关键．
23．（2022秋·重庆丰都·八年级校联考期中）如图，点是线段上任意一点点与点，不重合，分别以，为边在直线的同侧作等边和等边，与相交于点，与相交于点，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】由已知可得，然后根据即可证明≌；
由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可得，过点作于点，于点，利用面积法可得可得，由角平分线的判定可得．
【详解】（1）证明：和为等边三角形，
，，．
，，
．
在和中，
，
≌．
（2）解：由≌，得到，
又，，
，
，
过点作于点，于点．
≌，
，，
，
，
平分．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及角平分线的判定等知识．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图1，在和中，，，．
（1）请说明．
（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．
【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；
(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；
(3) 连接AM，先证(SAS),得到AM=AN,,进而可得,由(2)可知,根据等腰三角形内角和可得= ，由三角形外角定理可得=-= .
【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，
∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，
即∠CAB =∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
（2）∵△ABC≌△ADE ，
∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，
在△MND和△ANB中，
∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，
∠CBA +∠ANB +∠DAB =，
又∵ ∠MND=∠ANB，
∴ ∠DAB=∠DMB=，
∴∠CAE =∠DAB=，
∵AC=AE，
∴∠ACE =∠AEC=，
∴∠ACE =，
（3）∠CBA=，
如图所示，连接AM，
,CN=EM,CA=EA,
(SAS),
AM=AN,,
=
即,
由(2)可得：,
=,
∠CAE =∠DAB=
=-= .
【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
25．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图①，△ABC中，，中，，现把两个三角形的点重合，且使，连接，．求证：．
（2）若将△DEC绕点旋转至图②③所示的情况时，其余条件不变，与还相等吗？利用图③说明理由．
【答案】（1）见解析（2）图（2），图（3）中，和还相等
【分析】（1）先证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD即可求证；
（2）图②③也是先证出∠BCE＝∠ACD，再根据SAS推出△BCE≌△ACD即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在△BCE和△ACD中，
∴，
∴．
（2）图（2），图（3）中，和还相等，
理由是：
∵，
∴，
∴，
在△BCE和△ACD中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，应熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
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重难突破02 全等三角形的基础模型
重难突破
模型一：平移型
1．（2023秋·江苏·八年级校考周测）已知：，，，求证：．

2．（2023秋·浙江金华·八年级校联考开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，且，，．将下面证明的过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴，即
∵（已知）
∴__________（ ）
在和中，
__________（已知）
∵ __________（ 已证 ）
（已证）
∴_____（ ）
∴（ ）
3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
4．（2023秋·八年级课时练习）完成下列证明过程．
如图，已知，，D，C在上，且，求证：．

证明：∵，
∴______________________（__________________________），
∵，∴，即______________，
在和中，，__________________________，
∴___________________．
5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
模型二：对称型
6．（2023春·江苏南通·七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）如图，，请添加一个条件（不添加任何辅助线），使．
下面是两位同学的思路：
小明：可以添加．
因为要得到，只要证明．而题目已经给出了和公共边，添加可得；
小华：可以添加．思路与小明的相同．
(1)根据添加条件，能得出的同学是_______，其得到的依据是_______；
(2)请你添加一个不同的条件，并写出得出的思路．
7．（2023秋·八年级课时练习）如图为一风筝骨架：已知，，求证：．
8．（2023秋·八年级课时练习）（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：

(1)．
(2)．
9．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图，点D，E分别在，上，，．求证：．
10．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在与中，，平分．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
模型三：旋转型
11．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，已知，，，求证：．

12．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点 C，F，E，B 在一条直线上，，，，求证：．

13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，点在上，，．求证：．

14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
15．（2023春·湖北咸宁·八年级统考开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

模型四：一线三等角模型
16．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图①，，，点C是上一点，且，．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若，，求四边形的面积．
17．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，在中，，，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．

(1)试说明；
(2)若，求的长．
18．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求DE的长．
19．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，，，三点都在一条直线上，且，，
求证：．
20．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图（1），已知中，，，是过A的一条直线，且在的异侧，于D，于E．

(1)试说明：．
(2)若直线绕A点旋转到图2位置时（），其余条件不变，问与的关系如何？请直接写出结果；
(3)若直线绕A点旋转到图3位置时（），其余条件不变，问与、的关系如何？请直接写出结果，不需说明．
模型五：手拉手型
21．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接．
(1)求证：；
(2)图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程．
22．（2022秋·山东济南·八年级期中）在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，在等腰Rt△ABC外侧作△CAF≌△BAE，连接DF．
①∠DCF＝______度．
②△AED与△AFD是否全等？请说明理由；
③当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
23．（2022秋·重庆丰都·八年级校联考期中）如图，点是线段上任意一点点与点，不重合，分别以，为边在直线的同侧作等边和等边，与相交于点，与相交于点，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)求的度数．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图1，在和中，，，．
（1）请说明．
（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．
25．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图①，△ABC中，，中，，现把两个三角形的点重合，且使，连接，．求证：．
（2）若将△DEC绕点旋转至图②③所示的情况时，其余条件不变，与还相等吗？利用图③说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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