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重难突破05 “将军饮马”模型求最值
重难突破
一、单选题
1．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】C
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，这样做的依据是：两点之间，线段最短，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟知两点之间线段最短是解本题的关键．
2．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可知点B和点C关于直线EF对称，所以当P与G重合时，的值最小，根据CD和BD的长度即可求得周长的最小值．
【详解】解：如图
∵，
∴是等腰三角形，
∵，于点D，
∴，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，
∴点B和点C关于直线EF对称，
∴当P与G重合时，的值最小，最小值等于CD的长，
∴周长的最小值是，
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出P点的位置．
3．（2022春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A．ab B．a+b C．ab D．a
【答案】B
【分析】先证明点E在射线CE上运动，由AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF周长的最小，
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于，此时AE+FE的最小值为MF，根据等边三角形的判定和性质求出答案．
【详解】解：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于，此时AE+FE的值最小，此时AE+FE=MF，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=a+b，
故选：B．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，图形中的动点问题，正确掌握各知识点作轴对称图形解决问题是解题的关键．
6．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF=C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG=∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
∴BC=BC'，
∵AC=BC=10，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5，
∴CE+EF的最小值为5，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键．
7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】解
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
8．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
【答案】D
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
【点睛】本题考查的是等边三角形的重心的概念和性质，熟记等边三角形的重心的概念和性质是解题的关键．
9．（2022秋·福建莆田·八年级校联考期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．
【详解】如图：
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为6，
点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM=CM，
此时△CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD
CD的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM的周长最小．
∵S△ABC=BC AD，
∴×6 AD=36，
∴AD=12，
∴AD+CD=12+3=15．
故选：C．
【点睛】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质．
10．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】D
【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3，
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1，
则B′E=4，即B′E=AE，
∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
二、填空题
11．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时， ．

【答案】/度
【分析】作，使，连接交于点，连接，由是等边三角形，且为的高，得，，，则，，所以，，再证明，得，则，可知当点与点重合时，的值最小，因此的值也最小，即可求得．
【详解】解：如图，作，使，连接交于点，连接，

是等边三角形，且为的高，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
此时的值也最小，
，
当取得最小值时，，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

【答案】150
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．

，
，
，，且，，
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
13．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度．
【答案】
【分析】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．
【详解】如图，作B关于的对称点D，连接，
的值最小，
则交于P，由轴对称可知：
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．
14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是 ．
【答案】4
【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出BD的长，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接BD，
∵AB=BC，点D是BC边的中点，
∴BD⊥AC，
∴S△ABC=AC BD=×2×BD=3，
解得BD=3，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴点C关于直线l的对称点为点B，
∴AB的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ．
【答案】30°/30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
16．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】到AC的距离为p（m）处．
【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，
∴AM＝（p＋q）m，
∴∠CAP＝45°，
∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处，
故答案为：到AC的距离为p（m）处．
【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点．
17．（2022秋·福建南平·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．
【答案】80°/80度
【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案．
【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，
此时周长最小，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．
18．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州外国语学校校考期末）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是 .
【答案】α－β＝90°
【分析】分别作点M,N关于OB,OA的对称点,连接，交OA于点Q,交OB于点P时MP＋PQ＋QN有最小值.通过三角形的内角和与外角和性质可得出， 从而得出两者间的关系.
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点主要有轴对称，最短路线问题，三角形的内角和定理，三角形外角和的性质，解题的关键是正确的作出图形.
19．（2019春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【详解】
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
20．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．
【答案】80°
【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；
【详解】∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上．

(1)画出关于y轴对称的并写出A，B，C的对应点，，的坐标；
(2)在y轴上画出点Q，使的周长最小．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)见解析
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴对称的，依据各顶点的位置，即可得出点的坐标．
（2）连接 (或)与y轴的交点即为Q．
【详解】（1）（1）如图，就是所求．
，，
（2）（2）如图，Q点就是所求．

【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，根据网格结构作出点的对应点是解决问题的关键，凡是涉及最短距离的问题．
22．（2022春·福建泉州·七年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．

(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________．
【答案】(1)见解析
(2)①12；②2
【分析】（1）根据模型作出图形；
（2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，

（2）①如图2，

作法：（Ⅰ）作关于的对称点，
（Ⅱ）作点关于的对称点，
（Ⅲ）连接，分别交于点，交于，
则的周长最小，
连接、，
点和点关于对称，
，，
同理可得，，，
，
，
为等边三角形，
，
的周长；
②如图3，

作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点，
（Ⅱ）连接交于，交于，
（Ⅲ）连接、，
，
，
此时的值最小，最小值为，
，，，，
，，
，
为等边三角形，
，即 的值最小为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
23．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并简要说明理由.
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可画出图形；
（2）作点B关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，连接，，即可得到结论；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：作点B关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，连接，，
则 ，
根据两点之间，线段最短，此时的周长最小，如图所示．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．
24．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，在高速公路的同一侧有、两座城市．
(1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据；
(2)若要在高速公路边建一个停靠站，使得城市的人到该停靠点最方便（即距离最近），请在图中标出的位置，并简要说明你的依据．
【答案】(1)图见解析，两点之间，线段最短
(2)图见解析，垂线段最短
【分析】（1）根据两点之间，线段最短画图解答即可；
（2）根据垂线段最短画图解答即可．
【详解】（1）这条公路的位置如图所示，我的依据是“两点之间，线段最短”．
（2）点的位置如图所示，我的依据是“垂线段最短”．
【点睛】本题考查最短路径问题及垂线段最短，解题关键是掌握两点之间，线段最短及垂线段最短．
25．（2019秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1 ；B1 ；C1
（2）在y轴上找一点P，使PA＋PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标 ．
（3）若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .
【答案】（1）见详解，A1（-2，-3）；B1 （-3，-2）；C1 （-1，-1）；（2）见详解，P（0，1）；（3）1.5 ．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用对称点求最短路线的性质得出答案;
（3）根据格点求出三角形的面积.
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；
（2）如图，点P的坐标为：（0，1）．
（3）
【点睛】【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
26．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．

【答案】
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，

∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
27．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．

(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
【答案】(1)4；45
(2)
(3)或或
(4)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据轴对称图形的性质可得答案；
（3）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（4）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【详解】（1）解： ，，
，
，
点是边的中点，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或．
（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，

，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
28．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

【答案】
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结交于点，交于点，当、、、共线时，的周长最小，先求，则．
【详解】解：如答图①，分别作点关于直线，的对称点，，

则，．
的周长，
当，，，四点共线（如答图②）时，的周长取到最小值．
，，
．
根据轴对称的性质可得，．
又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得 ，
又
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短的方法，灵活应用三角形、四边形内角和是解题的关键．
29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．

(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】(1)与始终相等
(2)5
(3)7
【分析】（1）证明即可；
（2）根据，得到，即，求出即可；
（3）作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，则，证明为等边三角形，即可求的值．
【详解】（1）解：由已知可得，，
∴，
∵是等边三角形
∴，，
∴，
∴，
∴与始终相等；
（2）
解：∵是等边三角形
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴平分，
作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，

∵，
当点三点共线时，有最小值，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段，再由等边三角形的性质求解的长是解题的关键．
30．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，若，的周长是20．
(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①求的长度；
②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②20
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是20．，即可求的长度；
②依据，，即可得到当与重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）①，的周长是，
即，
垂直平分，
，
，
，
．
的长度为8．
②当与重合时，的周长最小．
理由：，，
当与重合时，，此时最小值等于的长，
的周长最小值．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
31．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
∴的长度为．
②当P与M重合时，的周长最小．
理由：∵，，
∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长，
∴的周长最小值．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
32．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图：
(1)在图1中作线段的垂直平分线；
(2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P和点M，则直线即为所求；
（2）以点A为圆心，以适当长度为半径画弧与直线交于点E和点F，分别以点E和点F为圆心，以同样长度为半径画弧，两弧相交于点A和点H，则与互相垂直平分，连接，交于点N，则点N即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）解：如图所示，点N即为所求，
由作图可知，与互相垂直平分，
∴点A与点H关于直线成轴对称，
∴，
∴,
当点H、N、D三点共线时，取得最小值，
∴点N满足要求．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质、轴对称的作图和性质等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键．
33．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)B
【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可；
（2）取中点即可；
（3）作N到的垂线段即可；
（4）直接根据图作答即可．
【详解】（1）
理由：两点之间线段最短．
（2）
（3）
（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
34．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
【答案】(1)，
(2)垂直，见解析
(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）证明：过点E作轴于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为垂直；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
取点G，连接，
∵，，
∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，
此时最小，，
∵E到的距离相等，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，小正方形的顶点叫格点．
(1)画，使它与关于直线l对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点B、C的距离相等；
(3)在直线l上找一点Q，使的周长最小；
(4)请找出格点D（不与点A重合），使得与的面积相等，这样的点D有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)图见解析；
【分析】（1）根据轴对称的性质，分别找出的对应点，然后依次连接即可；
（2）作的垂直平分线，交直线于点，即可得所求点；
（3）要使的周长最小，即最小即可，连接，交直线于点，即可得所求点；
（4）在的两侧作的平行线，且到的距离等于点到的距离，则这两条直线上的格点，即为点，即可得出答案；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点即为所求点，使点到点、的距离相等；
（3）解：如图，点即为所求点，使的周长最小；
（4）解：如图，使得与的面积相等，这样的点有个．
故答案为：
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、垂直平分线的性质、轴对称—最短问题、三角形的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并正确作出所求图．
36．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
37．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则，
∵，
∵，
要使周长最小，
即最小，
当点P是直线m与AB的交点时，最小，
即，此时．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
38．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【答案】见解析
【分析】作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长最短．
【详解】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
【点睛】此题考查了轴对称－最短路径问题，解题的关键是根据对称的性质画出点P''、P'．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；
（2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P；
（3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可．
【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE，
∴DE∥AC，
∵∠DCE=∠B，
∴CD∥AB，
∵∠EAC=∠ACB，
∴AE∥CB；
（2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P，
∵AB=AQ，AC⊥BQ，
∴AC是BQ的垂直平分线，
∴BP=PQ，
∴BM+PM=PQ+PM=MQ；
即此时BP＋PM取得最小值；
（3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，
∵AE∥DB，
∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B，
∴∠ENA=90°，
∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，
∴AN=CE，
连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，
∵DE=NE，CE⊥DN，
∴DP=NP，
∴DP+PM=NP+PM，
当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，
∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH，
∴2c×NH=2a×2b，
解得NH=，
∴DP+PM的最小值为．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问题的思路并解决问题是解题的关键．
40．（2022秋·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点．
(1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）；
(2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是；
(2)
【分析】（1）作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；
（2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等于CE计算即可．
【详解】（1）如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；
故答案为：是
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
∵D关于直线AB的对称点E
∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE
∴∠CBE=90°
∵D是BC的中点
∴DB=DC=BE
∵
∴
∴
∴
即PC + PD的最小值为
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．
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重难突破05 “将军饮马”模型求最值
重难突破
一、单选题
1．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
2．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
3．（2022春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A．ab B．a+b C．ab D．a
6．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
8．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
9．（2022秋·福建莆田·八年级校联考期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．10 C．15 D．16
10．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
二、填空题
11．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时， ．

12．（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

13．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度．
14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△PCD的周长的最小值是 ．
15．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ．
16．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
17．（2022秋·福建南平·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．
18．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州外国语学校校考期末）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是 .
19．（2019春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
20．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．
三、解答题
21．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上．

(1)画出关于y轴对称的并写出A，B，C的对应点，，的坐标；
(2)在y轴上画出点Q，使的周长最小．
22．（2022春·福建泉州·七年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．

(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________．
23．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并简要说明理由.
24．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，在高速公路的同一侧有、两座城市．
(1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据；
(2)若要在高速公路边建一个停靠站，使得城市的人到该停靠点最方便（即距离最近），请在图中标出的位置，并简要说明你的依据．
25．（2019秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1 ；B1 ；C1
（2）在y轴上找一点P，使PA＋PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标 ．
（3）若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .
26．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．

27．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．

(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
28．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．

(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
30．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，若，的周长是20．
(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①求的长度；
②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．
31．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
32．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图：
(1)在图1中作线段的垂直平分线；
(2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小．
33．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
34．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
35．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，小正方形的顶点叫格点．
(1)画，使它与关于直线l对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点B、C的距离相等；
(3)在直线l上找一点Q，使的周长最小；
(4)请找出格点D（不与点A重合），使得与的面积相等，这样的点D有______个．
36．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
37．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
38．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
40．（2022秋·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点．
(1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）；
(2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由．
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